Vidéo : Plan complexe d’Argand

Dans cette leçon, nous apprendrons à identifier des nombres complexes tracés sur un plan complexe d’Argand et à découvrir leurs propriétés géométriques.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous apprendrons à identifier des nombres complexes sur le plan complexe. Nous allons commencer par apprendre ce qu’est réellement un plan complexe et comment nous représentons des nombres complexes sur ce plan. Nous étendrons cela à l’interprétation géométrique pour l’addition de nombres complexes et la multiplication par des nombres réels et imaginaires purs. Enfin, nous apprendrons l’interprétation géométrique de choses appelées racines de l’unité.

Lorsque nous commençons à en apprendre davantage sur les nombres, nous apprenons que nous pouvons les représenter sur une droite numérique unidimensionnelle. Ceci est généralement utile car elle nous permet de former des stratégies mentales pour l’addition et la soustraction, en plus de fournir un contexte visuel pour se faire une idée des nombres négatifs. Lorsque nous introduisons des nombres imaginaires purs, nous ajoutons une deuxième dimension et pouvons commencer à considérer les nombres complexes comme des points dans un plan. Tout comme une droite numérique peut nous permettre d’obtenir des informations sur l’ensemble des nombres réels, penser à nos nombres complexes comme des points dans un plan nous permet d’obtenir des informations sur leurs propriétés.

Nous appelons cette représentation visuelle le plan complexe ou le plan d’Argand. Conçu par le mathématicien suisse John Argand au début des années 1800, il se compose d’un axe réel, c’est-à-dire horizontal, et d’un axe imaginaire, c’est-à-dire vertical. Cela signifie que nous pouvons représenter un nombre complexe de la forme 𝑥 plus 𝑦𝑖, où 𝑥 et 𝑦 sont bien sûr des nombres réels, par le point dont les coordonnées cartésiennes sont 𝑥, 𝑦. Regardons un exemple qui utilise ces concepts.

Si le nombre 𝑧 égal à huit plus 𝑖 est représenté sur un plan complexe par le point 𝐴, déterminez les coordonnées cartésiennes de ce point.

Pour répondre à cette question, nous pourrions aller directement de l’avant et placer le nombre complexe 𝑧 sur le plan complexe, puis lire les informations à partir de là. Mais c’est une façon assez longue de répondre à cette question. Au lieu de cela, nous nous rappelons la définition du plan complexe. Nous savons qu’un nombre complexe de la forme 𝑥 plus 𝑦𝑖 peut être représenté par un point dont les coordonnées cartésiennes sont 𝑥, 𝑦. La partie réelle est la coordonnée 𝑥. Et la partie imaginaire est la coordonnée 𝑦.

La partie réelle de notre nombre complexe est huit. Et nous pouvons représenter la partie imaginaire comme le coefficient de 𝑖. Donc, dans ce cas, la partie imaginaire de 𝑧 est un. Cela signifie que les coordonnées cartésiennes du point qui représente le nombre complexe 𝑧 sur le plan d’Argand sont huit, un.

Et qu’en est-il des paires conjuguées complexes ? Comment pourraient-elles apparaître sur le plan complexe ?

Examinons le point qui représente le nombre complexe huit plus 𝑖 sur le plan complexe. Nous avons vu qu’il est représenté par un point dont les coordonnées cartésiennes sont huit, un. On peut trouver le conjugué complexe de 𝑧 en changeant le signe de la partie imaginaire. Et donc le conjugué de huit plus 𝑖 est huit moins 𝑖. Nous représentons donc le conjugué de 𝑧 sur notre plan complexe par le point dont les coordonnées cartésiennes sont huit, moins un. On voit que le point est une réflexion dans l’axe réel. Et en fait, cela est vrai pour tous les nombres complexes et leur conjugué complexe.

Et tout comme nous pouvons interpréter des paires conjuguées sur un plan complexe, nous pouvons utiliser le plan pour interpréter l’addition de deux nombres complexes. Nous savons que, pour ajouter deux nombres complexes, nous ajoutons leurs parties réelles puis nous ajoutons séparément leurs parties imaginaires. Ainsi, la somme de 𝑎 plus 𝑏𝑖 et 𝑐 plus 𝑑𝑖 est 𝑎 plus 𝑐 plus 𝑏 plus 𝑑𝑖. Nous allons tracer 𝑧 un avec le point dont les coordonnées cartésiennes sont 𝑎, 𝑏. 𝑧 deux a pour coordonnées cartésiennes 𝑐, 𝑑. Il s’ensuit que leur somme a pour coordonnées cartésiennes 𝑎 plus 𝑐, 𝑏 plus 𝑑.

Vous pourriez voir qu’il y a une sorte de relation qui apparaît. Nous pouvons en fait considérer les nombres complexes tracés sur le plan d’Argand comme des vecteurs. Et en tant que tel, nous pouvons penser à l’addition de nombres complexes de la même manière que l’addition de vecteurs. On peut donc penser à 𝑧 un plus 𝑧 deux comme la résultante des deux vecteurs 𝑧 un et 𝑧 deux. Et cela peut être représenté dans le parallélogramme comme indiqué.

Tout comme nous pouvons représenter l’addition de nombres complexes sur un plan d’Argand en les considérant comme des vecteurs, il en va de même pour les multiplier par un nombre réel. Disons, par exemple, que nous voulions multiplier le nombre complexe trois plus quatre 𝑖 par la constante réelle deux. Nous représentons le nombre complexe par le point trois, quatre sur le plan d’Argand comme indiqué. La multiplication d’un vecteur par deux multiplie les composantes horizontale et verticale par deux. Donc, dans ce cas, nous représentons deux multiplié par le vecteur trois plus quatre 𝑖 comme le point six, huit. Et nous voyons que deux fois 𝑧 est égal à six plus huit 𝑖.

Interpréter des nombres complexes comme des vecteurs sur le plan d’Argand nous permet d’interpréter la multiplication par un nombre réel 𝑐 comme une homothétie ou un agrandissement de coefficient 𝑐 autour de l’origine. Cela s’étend même à l’idée de multiplier par un nombre négatif. Et alternativement, cela peut être interprété comme une rotation autour de l’origine de 𝜋 radians, suivie d’une homothétie par la valeur absolue du coefficient 𝑐. Mais comment représenter la multiplication d’un nombre complexe par un nombre imaginaire pur sur le plan d’Argand ?

Quatre nombres complexes 𝑧 un, 𝑧 deux, 𝑧 trois et 𝑧 quatre sont représentés sur le plan complexe. Partie 1) Trouvez l’image des points 𝑧 un, 𝑧 deux, 𝑧 trois et 𝑧 quatre par la transformation qui associe 𝑧 à 𝑖𝑧. Partie 2) En traçant ces points sur un plan complexe, ou autrement, donnez une interprétation géométrique de la transformation.

Nous cherchons à trouver la transformation qui associe 𝑧 à 𝑖𝑧. Pour ce faire, nous devons d’abord trouver les nombres complexes 𝑧 un, 𝑧 deux, 𝑧 trois et 𝑧 quatre. N’oubliez pas que l’axe horizontal représente la partie réelle d’un nombre complexe. Et l’axe vertical représente la partie imaginaire. 𝑧 un a pour coordonnées cartésiennes trois, zéro. Donc, sous forme de nombre complexe, c’est trois plus zéro 𝑖, ce qui n’est que trois. 𝑧 deux est deux plus trois 𝑖. 𝑧 trois est moins deux moins un 𝑖. 𝑧 quatre a pour coordonnées cartésiennes zéro, moins un. Donc, comme nombre complexe, c’est moins 𝑖.

Ensuite, nous allons multiplier chacun de ces nombres par 𝑖, en se rappelant bien sûr que 𝑖 au carré est égal à moins un. Cela signifie que 𝑖𝑧 un est trois 𝑖. 𝑖𝑧 deux est deux 𝑖 plus trois 𝑖 au carré. Et puisque 𝑖 au carré est moins un, c’est moins trois plus deux 𝑖. Et de la même manière, 𝑖𝑧 trois est un moins deux 𝑖. Et 𝑖𝑧 quatre est un. Nous devons maintenant tracer ces points sur le plan complexe.

Nous pouvons voir que 𝑖𝑧 un a pour coordonnées cartésiennes zéro, trois. C’est ici. 𝑖𝑧 deux a pour coordonnées cartésiennes moins trois, deux. C’est ici. 𝑖𝑧 trois est ici. Et 𝑖𝑧 quatre est ici. On voit que 𝑧 un s’est déplacé d’un quart de tour ici. 𝑧 deux s’est déplacé d’un quart de tour, tout comme 𝑧 trois et 𝑧 quatre. Et nous pouvons voir que la transformation qui associe 𝑧 à 𝑖𝑧 est une rotation autour de l’origine dans le sens trigonométrique d’angle 𝜋 sur deux radian.

Maintenant, il s’ensuit que puisque la multiplication d’un nombre complexe par 𝑖 conduit à une rotation, la multiplication d’un nombre complexe par un réel multiple de 𝑖 entraînera une rotation, suivie d’une homothétie comme nous l’avons vu précédemment. Et bien que nous ne soyons pas tout à fait prêts à représenter la multiplication de deux nombres complexes à l’aide d’un plan complexe, nous pouvons regarder l’interprétation géométrique de quelque chose appelé les racines de l’unité.

1) Trouver toutes les solutions de 𝑧 à la puissance six est égal à un. 2) En représentant les solutions sur un plan complexe, ou par une autre méthode, décrivez les propriétés géométriques des solutions de 𝑧 à la puissance six égale à un.

Nous pourrions résoudre cette équation en prenant la racine sixième des deux côtés. Cependant, nous savons qu’il y aura six solutions à cette équation. Nous devons donc envisager une autre méthode. Au lieu de cela, nous réorganisons en soustrayant un des deux côtés. Et nous voyons que 𝑧 à la puissance six moins un est égal à zéro. Il s’agit en fait d’un cas particulier de la différence de deux carrés, ce qui signifie que nous pouvons écrire l’expression sur le côté gauche comme 𝑧 cube moins un multiplié par 𝑧 cube plus un. Et maintenant, nous avons deux nombres dont le produit est zéro. Cela ne peut être le cas que si l’un des facteurs est égal à zéro.

Commençons par dire que 𝑧 cube moins un est égal à zéro. Nous pouvons observer que l’une des solutions à cette équation est un car un au cube moins un est en effet nul. Cela signifie que 𝑧 moins un doit être un facteur de 𝑧 cube moins un. Nous pourrions utiliser une longue division polynomiale pour trouver l’autre facteur. Ou nous pourrions dire que cela signifie que 𝑧 cube moins un est égal à 𝑧 moins un multiplié par une équation du second degré. Et puis, nous pouvons identifier les coefficients de 𝑧. En développant les parenthèses, nous voyons que 𝑎𝑧 cube plus 𝑏 moins 𝑎𝑧 au carré plus 𝑐 moins 𝑏𝑧 moins 𝑐 est égal à 𝑧 cube moins un.

En identifiant les coefficients de 𝑧 au cube, nous voyons que 𝑎 est égal à un. Et c’est parce que le coefficient de 𝑧 au cube sur le côté droit vaut un. Le coefficient de 𝑧 au carré dans le membre droit est nul. Nous voyons donc que lorsque nous identifions les coefficients de 𝑧 au carré, nous obtenons 𝑏 moins 𝑎 est égal à zéro. 𝑎 est bien sûr un. Donc, 𝑏 moins un est nul, ce qui signifie que 𝑏 doit être égal à un. Nous allons sauter l’identification des coefficients de 𝑧 à la puissance un et passer directement à l’équation des constantes ou des coefficients de 𝑧 à la puissance zéro.

On voit que moins 𝑐 est égal à moins un, ce qui signifie que 𝑐 est égal à un. Et cela signifie que 𝑧 cube moins un est égal à 𝑧 moins un multiplié par 𝑧 carré plus 𝑧 plus un. Nous résolvons ensuite 𝑧 carré plus 𝑧 plus un égal à zéro en utilisant la formule du discriminant ou en complétant le carré.

Si nous utilisons la formule du discriminant, nous voyons que 𝑧 est égal à moins un plus ou moins la racine carrée de un carré moins quatre fois un fois un, le tout sur deux fois un. C’est moins un plus ou moins la racine carrée de moins trois sur deux. Nous allons diviser cela et l’écrire comme moins un demi plus ou moins la racine carrée de moins trois sur deux. Et comme la racine carrée de moins un est 𝑖, nos solutions en 𝑧 deviennent moins un demi plus ou moins la racine carrée de trois sur deux 𝑖.

Nous allons répéter ce processus pour 𝑧 cube plus un est égal à zéro. Cette fois, nous pouvons constater que l’une des solutions à cette équation est 𝑧 égale moins un. Et c’est parce que moins un au cube plus un est égal à zéro. Cette fois, cela signifie que 𝑧 plus un doit être un facteur de 𝑧 cube plus un. Et nous pouvons dire que nous pouvons écrire 𝑧 cube plus un comme 𝑧 plus un multiplié par une équation du second degré en 𝑧.

Cette fois, en distribuant les parenthèses, nous voyons que 𝑎𝑧 cube plus 𝑎 plus 𝑏 𝑧 au carré plus 𝑏 plus 𝑐 𝑧 plus 𝑐 est égal à 𝑧 cube plus un. Et cette fois, lorsque nous identifions les coefficients, nous obtenons que 𝑎 est égal à un. 𝑏 est égal à moins un. Et 𝑐 est égal à un. Donc, 𝑧 au cube plus un est égal à 𝑧 plus un multiplié par 𝑧 au carré moins 𝑧 plus un. Cette fois, nous résolvons 𝑧 au carré moins 𝑧 plus un égal à zéro, en utilisant à nouveau la formule du discriminant ou en complétant éventuellement le carré. Et quand nous le faisons, nous pouvons voir que 𝑧 est égal à un demi plus ou moins la racine carrée de trois sur deux 𝑖.

Et nous voyons que nous avons maintenant les six solutions de l’équation 𝑧 à la puissance six est égale à celle que nous recherchions. Et si nous le voulons, nous pourrions vérifier ces solutions en les replaçant dans l’équation 𝑧 à la puissance six est égal à un et en vérifiant que nos réponses ont du sens.

Pour la partie 2), nous allons tracer ces points sur un plan complexe. 𝑧 est égal à un et 𝑧 est égal à moins un sont assez simples. Nous avons le point un demi, racine trois sur deux représentant la solution un demi plus racine trois sur deux 𝑖. Et nous avons un demi moins racine trois sur deux, représentant la solution un demi moins racine trois sur deux 𝑖. Nous pouvons tracer les deux autres solutions comme indiqué. Et qu’en est-il des propriétés géométriques ? Eh bien, nous pouvons voir que ces nombres complexes sont régulièrement espacés autour de l’origine. En fait, les solutions sont les sommets d’un hexagone régulier inscrit dans un cercle unité dont le centre est l’origine du repère.

Dans cette vidéo, nous avons vu que nous pouvons représenter un nombre complexe 𝑥 plus 𝑦𝑖 sur le plan complexe d’Argand par le point dont les coordonnées cartésiennes sont 𝑥, 𝑦. Nous avons également vu qu’il existe de nombreuses interprétations géométriques des opérations avec des nombres complexes. L’addition de nombres complexes peut être représentée par une translation avec un vecteur 𝑎𝑏. Nous avons vu que les paires de complexes conjugués sont images par une réflexion par rapport à l’axe des réels. Nous avons appris que la multiplication par un nombre réel est une homothétie avec comme centre l’origine du plan dont le coefficient est ce nombre réel. Et nous avons vu que la multiplication par 𝑖 est une rotation autour de l’origine du plan dans le sens trigonométrique et d’angle 𝜋 sur deux radian.

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