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Fiche explicative de la leçon: Plan d’Argand Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous apprendrons à identifier les nombres complexes représentés sur le plan d’Argand et à découvrir leurs propriétés géométriques.

L’une des choses les plus fascinantes à propos des nombres complexes est qu’ils introduisent une signification géométrique aux opérations arithmétiques familières. Lorsque nous travaillons avec des nombres purement réels, nous pouvons les représenter sur une droite graduée. Les représenter de cette manière nous a donné un aperçu supplémentaire de leurs propriétés. Puisqu’avec l’introduction de 𝑖 nous pouvons ajouter une deuxième dimension et considérer les nombres complexes comme des points dans un plan, nous verrons que la visualisation de nombres complexes de cette manière nous donnera un aperçu supplémentaire de leurs propriétés.

Définition : plan complexe d’Argand

Un nombre complexe peut être représenté géométriquement sur un plan à deux dimensions avec deux axes perpendiculaires représentant respectivement les parties réelle et imaginaire du nombre. Le nombre complexe 𝑧=𝑥+𝑦𝑖 est représenté par le point (𝑥;𝑦) en coordonnées cartésiennes. Ce plan est appelé plan complexe, plan d’Argand ou plan complexe d’Argand.

Commençons par un exemple simple où nous déterminerons les coordonnées cartésiennes d’un nombre complexe sur un plan complexe d’Argand.

Exemple 1: Coordonnées de nombres complexes sur un plan complexe d’Argand

Si le nombre 𝑍=8+𝑖 est représenté sur le plan complexe d’Argand par le point 𝐴, déterminez les coordonnées cartésiennes de ce point.

Réponse

D’après la définition du plan complexe d’Argand, nous savons que le nombre complexe 𝑧=𝑎+𝑏𝑖 est représenté par un point de coordonnées cartésiennes (𝑎;𝑏).

Par conséquent, 𝑍 est représenté par le point 𝐴(8;1).

Dans notre prochain exemple, nous identifierons des nombres complexes et leurs conjugués à partir d’un plan complexe d’Argand.

Exemple 2: Représentation de nombres complexes sur le plan complexe d’Argand

Sept nombres complexes 𝑧, 𝑧, 𝑧, 𝑧, 𝑧, 𝑧 et 𝑧 sont représentés sur le plan complexe d’Argand.

  1. Lequel des nombres complexes est 3+2𝑖?
  2. Quel nombre complexe est représenté par 𝑧?
  3. Quel nombre complexe a des parties réelle et imaginaire égales?
  4. Quels sont les deux nombres complexes qui forment une paire conjuguée?Quelle est leur relation géométrique?

Réponse

Partie 1

D’après la définition du plan complexe d’Argand, le nombre complexe 3+2𝑖 est représenté par le point (3;2). En lisant ces coordonnées sur le plan, on constate que 3+2𝑖=𝑧.

Partie 2

On commence par lire les coordonnées de 𝑧 sur le plan complexe d’Argand, soit (4;1) qui, selon la définition, représentent le nombre complexe 4𝑖. Par conséquent, 𝑧=4𝑖.

Partie 3

Un nombre complexe dont les parties réelle et imaginaire sont égales se situera sur la droite 𝑥=𝑦. En traçant cette droite sur le plan d’Argand, nous constatons qu’un seul des nombres se situe sur cette droite:𝑧.

Partie 4

Rappelons que le conjugué complexe de 𝑧=𝑎+𝑏𝑖 est 𝑧=𝑎𝑏𝑖. Par conséquent, nous pouvons représenter 𝑧 au point de coordonnées (𝑎;𝑏) et nous pouvons représenter 𝑧 au point de coordonnées (𝑎;𝑏). Ainsi, les points représentant un nombre complexe et son conjugué ont tous deux la même abscisse 𝑥 mais des ordonnées 𝑦 opposées. En regardant le diagramme qui nous a été donné, nous voyons qu’il n’y a que deux paires de points de même abscisse 𝑥:𝑧 et 𝑧 et 𝑧 et 𝑧. Si l’on considère 𝑧 et 𝑧, on constate que l’ordonnée 𝑦 de 𝑧 est 3 alors que l’ordonnée 𝑦 de 𝑧 est 2. Par conséquent, ces deux éléments ne forment pas une paire de nombres complexes conjugués, alors que, si l’on considère 𝑧 et 𝑧, on constate que l’ordonnée 𝑦 de 𝑧 est 3 et l’ordonnée 𝑦 de 𝑧 est 3. Par conséquent, ils forment une paire de nombres complexes conjugués. De plus, nous pouvons voir qu’en tant que paire de nombres complexes conjugués, les points 𝑧 et 𝑧 sont symétriques par rapport à l’axe réel (axe des 𝑥).

En utilisant le plan complexe d’Argand, nous pouvons interpréter géométriquement l’addition de nombres complexes. Pour deux nombres complexes 𝑧=𝑎+𝑏𝑖 et 𝑧=𝑐+𝑑𝑖, leur somme peut être exprimée par 𝑧+𝑧=(𝑎+𝑐)+(𝑏+𝑑)𝑖. Si nous représentons ces nombres sur le plan complexe d’Argand, nous représentons les points (𝑎;𝑏), (𝑐;𝑑) et (𝑎+𝑐;𝑏+𝑑). La représentation de ces points suggère une sorte d’équivalence entre les nombres complexes et les vecteurs. Cela est en fait vrai, et pour un certain nombre d’opérations avec des nombres complexes, les considérer comme des vecteurs dans le plan complexe d’Argand est en réalité très utile. En particulier, pour l’addition et la soustraction, on peut considérer que les deux nombres complexes 𝑧 et 𝑧 représentent des vecteurs de composantes (𝑎,𝑏) et (𝑐,𝑑) respectivement. De cette manière, l’addition de nombres complexes peut être interprétée comme l’addition de vecteurs. Par exemple, additionner les nombres complexes 1+2𝑖 et 3+𝑖 en utilisant la règle du parallélogramme peut être représenté comme suit.

Dans l’exemple suivant, nous calculerons l’addition de deux nombres complexes en utilisant la méthode graphique présentée ci-dessus.

Exemple 3: Déterminer la somme de deux nombres complexes représentés sur un plan complexe d’Argand

En utilisant le plan complexe d’Argand, déterminez la valeur de 𝑧+𝑧.

Réponse

Une façon d’ajouter des nombres complexes donnés dans le plan complexe d’Argand est de lire les valeurs et de les ajouter algébriquement. On rappelle que le point (𝑎;𝑏) sur le plan complexe d’Argand représente le nombre complexe 𝑎+𝑏𝑖. Ainsi, on trouve des expressions pour 𝑧 et 𝑧 en identifiant les points.

Nous pouvons voir que 𝑧 est au point de coordonnées (2;3), donc 𝑧=2+3𝑖 et 𝑧 est au point de coordonnées (4;3), donc 𝑧=43𝑖.

Maintenant, nous pouvons ajouter les nombres en additionnant respectivement leurs composantes réelle et imaginaire:𝑧+𝑧=(2+3𝑖)+(43𝑖)=(24)+(33)𝑖=2+0𝑖=2.

Ainsi, la réponse est 2.

De plus, on note que si l’on représente 2 comme le point de coordonnées (2;0) sur la figure, c’est l’une des extrémités de la diagonale d’un parallélogramme dont les sommets opposés sont 𝑧 et 𝑧.

Après avoir vu comment l’addition de nombres complexes peut être représentée à l’aide de la loi du parallélogramme sur le plan complexe d’Argand, on peut se demander comment d’autres constructions géométriques correspondent aux opérations avec des nombres complexes. Par exemple, qu’en est-il du point milieu entre deux nombres complexes?Explorons cette notion dans l’exemple suivant.

Exemple 4: Déterminer le milieu de deux nombres complexes dessinés sur le plan complexe d’Argand

Quel nombre complexe se situe au milieu de 𝑧 et 𝑧 sur le plan complexe donné?

Réponse

Pour trouver le milieu entre deux points, différentes méthodes sont à notre disposition. Une façon de faire cela consiste à utiliser la formule pour le milieu d’un segment. Plus précisément, pour des paramètres donnés (𝑥;𝑦) et (𝑥;𝑦), le milieu est 𝑥+𝑥2,𝑦+𝑦2.

D’après le plan complexe d’Argand, nous pouvons voir que 𝑧 a pour coordonnées (2;7) et 𝑧 a pour coordonnées (6;3). Par conséquent, en utilisant la formule, leur milieu est 2+62,7+(3)2=42,42=(2,2).

Rappelons que le point (𝑎;𝑏) sur le plan complexe d’Argand représente le nombre complexe 𝑎+𝑏𝑖. Ainsi, le nombre complexe situé au milieu de 𝑧 et 𝑧 est 2+2𝑖.

Analysons ce que signifie la réponse au dernier exemple. En lisant les points sur le plan complexe d’Argand, nous pouvons voir que 𝑧 et 𝑧 sont situés aux points de coordonnées (2;7) et (6;3) respectivement, ce qui signifie qu’ils valent 𝑧=2+7𝑖,𝑧=63𝑖.

Si l’on considère leur somme, nous avons 𝑧+𝑧=(2+6)+(73)𝑖=4+4𝑖.

Notez qu’il s’agit du double de 2+2𝑖, qui est le point milieu que nous avons calculé. Cela est en fait une propriété générale qui s’applique au milieu de deux nombres sur le plan complexe.

Propriété : milieu de nombres complexes

Le milieu du segment entre deux nombres complexes 𝑧 et 𝑧 sur le plan complexe d’Argand correspond au nombre complexe 𝑧 défini par 𝑧=𝑧+𝑧2.

Continuons à étudier les relations géométriques entre les points du plan complexe d’Argand et leurs homologues complexes dans l’exemple suivant.

Exemple 5: Déterminer la multiplication par un nombre réel d’un nombre complexe sur le plan complexe d’Argand

En utilisant le plan complexe d’Argand ci-dessous, déterminez la valeur de 2𝑧.

Réponse

On nous demande de trouver ce que vaut 2𝑧 étant donné 𝑧 sur le plan complexe d’Argand, que nous pouvons calculer en déterminant le nombre complexe représenté par 𝑧 et en le multipliant par 2.

Rappelons qu’un point de coordonnées (𝑎;𝑏) sur le plan complexe d’Argand représente le nombre complexe 𝑎+𝑏𝑖. Puisque 𝑧 est au point de coordonnées (1;2), cela signifie que 𝑧=12𝑖.

Maintenant, nous pouvons multiplier ce nombre par 2 pour trouver le nouveau nombre:2𝑧=2(12𝑖)=2(1)2(2𝑖)=2+4𝑖.

Bien que cela ne soit pas nécessaire, nous pouvons représenter la multiplication de la question précédente sur le plan complexe.

En interprétant cela géométriquement, nous pouvons voir que la distance depuis l’origine a été doublée, mais dans le sens opposé. Cela correspond à une dilatation du point avec un facteur d’échelle de 2 centrée à l’origine. Alternativement, on peut considérer cela comme une rotation par 𝜋 radians autour de l’origine suivie d’une dilatation par un facteur d’échelle de 2. Cela est un concept que nous pouvons généraliser.

Propriété : multiplication par des nombres réels dans le plan complexe d’Argand

Si un nombre complexe 𝑧 est multiplié par un nombre réel 𝑐, cela correspond à une dilatation par un facteur d’échelle 𝑐 centrée à l’origine du plan complexe d’Argand.

Nous allons maintenant nous intéresser à l’interprétation géométrique de la multiplication par 𝑖.

Exemple 6: Déterminer le quadrant dans lequel un nombre complexe se situe sur le plan complexe d’Argand

Considérez le nombre complexe 𝑧=5+3𝑖. Si 𝑖𝑧 est représenté sur le plan complexe d’Argand par le point 𝐴, dans quel quadrant du plan d’Argand se trouve le point 𝐴?

Réponse

Le moyen le plus simple de résoudre ce problème consiste à calculer 𝑖𝑧 directement:𝑖𝑧=𝑖(5+3𝑖)=5𝑖+3𝑖=3+5𝑖.

Maintenant, dessinons cela sur le plan complexe d’Argand (avec le point d’origine pour référence). Rappelons que le nombre 𝑎+𝑏𝑖 correspond au point (𝑎;𝑏) sur le plan complexe d’Argand. Ainsi, nous traçons les points (5;3) et (3;5) pour 𝑧 et 𝑖𝑧 respectivement.

En utilisant la convention selon laquelle le quadrant supérieur droit est le premier quadrant, et en continuant dans le sens antihoraire, nous pouvons voir que notre point 𝐴 (c’est-à-dire le point représentant 𝑖𝑧) se trouve dans le deuxième quadrant.

Interprétons géométriquement la transformation à partir de l’exemple précédent. Dans le plan complexe d’Argand, nous pouvons voir que le point est resté à la même distance de l’origine, mais que son angle avec l’axe réel a changé. Plus précisément, le point d’origine a été tourné autour de l’origine selon un angle de 𝜋2 radians (positif car il s’agit d’une rotation dans le sens antihoraire). C’est une propriété valable dans le cas général.

Propriété : multiplication par 𝑖 dans le plan complexe d’Argand

Si un nombre complexe 𝑧 est multiplié par 𝑖, cela correspond à une rotation (antihoraire) de 𝜋2 autour de l’origine du plan complexe d’Argand.

Nous pouvons d’ailleurs voir comment cela se rattache à la propriété précédente de multiplication par des nombres réels. Si un nombre complexe est multiplié par 𝑖 deux fois, cela équivaut à multiplier par 𝑖=1. En utilisant la définition d’avant, il s’agirait d’une dilatation par un facteur d’échelle 1. De manière équivalente, en utilisant notre nouvelle définition, cela serait deux rotations de 𝜋2 (ou une rotation de 𝜋), ce qui a le même effet.

Récapitulons les principales choses que nous avons apprises dans cette fiche explicative.

Points clés

  • Les nombres complexes peuvent être interprétés comme des points ou des vecteurs dans le plan complexe d’Argand.
  • De nombreuses opérations avec des nombres complexes peuvent être interprétées géométriquement.

OpérationInterprétation géométrique
Addition de 𝑧=𝑎+𝑏𝑖Translation par le vecteur (𝑎,𝑏)
ConjugaisonSymétrie par rapport à l’axe réel
Multiplication par un nombre réel 𝑐Dilatation centrée à l’origine avec facteur d’échelle 𝑐
Multiplication par 𝑖Rotation dans le sens antihoraire de 𝜋2radian autour de l’origine

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