Transcription de la vidéo
Les côtés de même longueur d’un triangle isocèle mesurent 48 centimètres et l’angle de base mesure 75 degrés. Calculez l’aire du triangle au millième de centimètre carré près.
Pour commencer, dessinons ce triangle. Il s'agit d'un triangle isocèle dont deux côtés mesurent 48 centimètres. Ce sont donc deux côtés de même longueur. Les angles de base, qui correspondent aux angles entre chacun de ces côtés et le troisième côté du triangle, sont chacun de 75 degrés. Ce triangle ressemble donc à ceci. Nous devons déterminer l'aire de ce triangle.
En général, pour trouver l'aire d'un triangle, nous utilisons la formule de la base fois la hauteur perpendiculaire sur deux. Dans ce problème, cependant, nous ne connaissons ni la base ni la hauteur perpendiculaire de ce triangle. Nous pouvons calculer chacune de ces valeurs en utilisant la trigonométrie. Seulement, il existe en fait un moyen direct pour déterminer l'aire de ce triangle.
Il suffit de rappeler la formule trigonométrique de l'aire d'un triangle. Si nous avons un triangle 𝐴𝐵𝐶, où les lettres majuscules 𝐴, 𝐵 et 𝐶 représentent les sommets du triangle et les lettres minuscules 𝑎, 𝑏 et 𝑐 représentent les longueurs des côtés opposés à chacun de ces angles, l'aire de ce triangle est donnée par la formule suivante : un demi 𝑎𝑏 sinus 𝐶. Les lettres 𝑎 et 𝑏 représentent les longueurs de deux côtés quelconques du triangle. La majuscule 𝐶 représente la mesure de leur angle compris entre eux. Il s'agit de l'angle entre les deux longueurs de côtés 𝑎 et 𝑏.
En revenant au triangle isocèle de cette question, on nous donne les longueurs de deux côtés, les deux côtés identiques du triangle isocèle, qui ont chacun une longueur de 48 centimètres. Nous ne connaissons pas encore la mesure de leur angle compris entre eux, mais nous peut la calculer. Nous savons que la somme des angles d'un triangle est égale à 180 degrés. Nous pouvons donc calculer la mesure du troisième angle en soustrayant les mesures des deux autres, les deux angles de base, de 180 degrés. Nous avons 180 degrés moins 75 degrés moins 75 degrés, ce qui donne 30 degrés.
Nous connaissons maintenant les longueurs des deux côtés de ce triangle et la mesure de l’angle formé entre eux. Nous pouvons donc substituer ces valeurs dans la formule trigonométrique de l'aire d'un triangle. Nous obtenons que l'aire du triangle est égale à un demi fois 48 fois 48 fois sinus de 30 degrés. Cela donne 1152 fois sinus 30 degrés. Nous pouvons ensuite calculer cette valeur sur une calculatrice, en s'assurant qu'elle est en mode degré. Cela donne 576.
Il est précisé dans la question que nous devons donner notre réponse au millième près. Puisque la réponse obtenue est un nombre entier, nous pouvons donc l’écrire comme 576.000. Pour cette aire, les unités sont les centimètres carrés. Ainsi, en appliquant la formule trigonométrique pour l'aire d'un triangle, nous avons trouvé que l'aire de ce triangle isocèle au millième près est de 576 centimètres carrés.
