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Si factorielle trois 𝑛 moins cinq est égale à 24, calculez le nombre de combinaisons de 𝑛 moins un parmi 𝑛.
Bien, cela peut sembler être une équation assez compliquée à résoudre, mais nous avons un petit avantage. Nous savons que nous pouvons calculer uniquement la factorielle de valeurs entières. Donc, tout d’abord, trois 𝑛 moins cinq doit être un entier. Et donc, posons 𝑥 égal trois 𝑛 moins cinq. Nous voulons trouver la valeur de 𝑥 telle que factorielle 𝑥 soit égale à 24.
Nous pouvons le connaitre ou, comme c’est un nombre assez petit, nous pouvons utiliser la méthode essai-erreur. Essayons factorielle trois. Factorielle trois c’est trois fois deux fois un, ce qui est égal à six. Donc, 𝑥 n’est pas égal à trois. Essayons alors factorielle quatre. factorielle quatre c’est quatre fois trois fois deux fois un, ce qui est égal à 24. Et donc, cela nous dit que 𝑥 doit être égal à quatre. Mais rappelez-vous, nous avons poser 𝑥 égal à trois 𝑛 moins cinq. On peut donc dire que cela signifie que trois 𝑛 moins cinq doit être égal à quatre.
Calculons 𝑛 en ajoutant cinq aux deux membres de notre équation, on trouve trois 𝑛 égal neuf. Ensuite, nous allons diviser par trois. Et on trouve 𝑛 égal trois. À ce stade, nous pourrions revenir à notre expression d’origine et vérifier que factorielle trois 𝑛 moins cinq est égal à 24 lorsque 𝑛 est égal à trois. Eh bien, factorielle trois 𝑛 moins cinq est égal à factorielle trois fois trois moins cinq, ce qui est bien égal à factorielle quatre. Et nous avons déjà vu que c’était égal à 24. Donc, nous savons que nous avons trouvé la bonne valeur de 𝑛.
Maintenant, la question est de calculer le nombre de combinaisons de 𝑛 moins un parmi 𝑛. Nous venons de calculer que 𝑛 est égal à trois. Donc, le nombre de combinaisons de 𝑛 moins un parmi 𝑛 doit être le nombre de combinaisons de 2 parmi 3. Et donc, ensuite, nous rappelons ce que nous entendons réellement par le nombre de combinaisons de 𝑟 parmi 𝑛 ou 𝑛𝐶𝑟. C’est factorielle 𝑛 sur factorielle 𝑟 fois factorielle 𝑛 moins 𝑟. Ainsi, en posant 𝑛 égal à trois et 𝑟 égal à deux, nous constatons que le nombre de combinaisons de 𝑛 moins un parmi 𝑛 est factorielle trois sur factorielle deux factorielle trois moins deux soit factorielle trois sur factorielle deux fois factorielle un.
Mais, bien sûr, factorielle trois, qui est égal à trois fois deux fois un, peut s’écrire trois fois factorielle deux. Et puis, nous pouvons remarquer qu’il est possible de simplifier le numérateur et le dénominateur par factorielle deux. Enfin, factorielle un vaut simplement un. Ainsi, nous obtenons trois divisé par un, ce qui est égal à trois. Et donc, si factorielle trois 𝑛 moins cinq est égal à 24, alors le nombre de combinaisons de 𝑛 moins un parmi 𝑛 est égal à trois.
