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Vidéo de la leçon : Combinaison Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à utiliser les propriétés de combinaison pour résoudre des problèmes, et à utiliser les propriétés pour compter les combinaisons pour dénombrer les issues possibles.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à utiliser les propriétés de combinaison pour résoudre des problèmes, et à utiliser les propriétés pour compter les combinaisons pour dénombrer les issues possibles. La combinaison parmi 𝑛 représente le nombre de façons différentes de sélectionner 𝑘 objets parmi un total de 𝑛 objets distincts. L’ordre n’a pas d’importance dans les combinaisons. Il faut cependant noter que 𝑛 et 𝑘 doivent être des entiers positifs et que 𝑛 doit être supérieur ou égal à 𝑘. On rappelle alors que l’arrangement A 𝑛 𝑘 est très similaire. Mais, dans ce cas, l’ordre est important. Nous allons commencer cette vidéo par comparer les arrangements et les combinaisons avec un exemple concret.

Comme déjà mentionné, la principale différence entre un arrangement et une combinaison est la notion d’ordre. La notation utilisée pour ces deux concepts est similaire, où 𝑛 est le nombre total d’objets distincts et 𝑘 le nombre d’objets ordonnés ou sélectionnés. Imaginons à présent une course avec 𝑛 coureurs. Dans la première situation, les 𝑘 meilleurs coureurs reçoivent des médailles avec leur position. Si 𝑘 est égal à trois, voici deux façons possibles d’attribuer les médailles. Bien que les mêmes coureurs aient obtenu les trois premières places dans les deux cas, les médailles qu’ils ont remportées diffèrent.

Car l’ordre a une importance. Le nombre de différentes façons d’attribuer des médailles pour cette course est le nombre de différentes façons d’ordonner 𝑘 objets parmi 𝑛 objets au total. Et cela est défini comme l’arrangement A 𝑛 𝑘. Si, dans une deuxième situation, les trois premiers reçoivent des médailles identiques, contrairement à celles avec leurs positions, alors il n’y a qu’un seul moyen de sélectionner les trois mêmes finalistes. Car l’ordre n’a pas d’importance. Cette valeur est définie comme la combinaison 𝑘 parmi 𝑛. Nous allons maintenant examiner comment les calculer en utilisant le principe fondamental du dénombrement.

Le principe fondamental du dénombrement stipule que pour deux événements indépendants 𝐴 et 𝐵 tels que le nombre d’issues possibles de l’événement 𝐴 est 𝑥 et le nombre d’issues possibles de l’événement 𝐵 est 𝑦, alors le nombre total d’issues possibles distinctes de ces deux événements ensemble est le produit 𝑥 fois 𝑦. En appliquant ceci à notre exemple, nous voyons que le nombre de façons de sélectionner coureurs parmi 𝑛 fois le nombre de façons d’ordonner 𝑘 coureurs est égal au nombre de façons d’ordonner 𝑘 coureurs parmi 𝑛. En utilisant la notation des combinaisons et des arrangements, le premier terme du membre gauche est 𝑘 parmi 𝑛 et le terme du membre droit est A 𝑛 𝑘.

Comme il y a factorielle 𝑘 façons d’ordonner 𝑘 coureurs, on a 𝑘 parmi 𝑛 fois factorielle 𝑘 égale A 𝑛 𝑘, en rappelant que factorielle 𝑘 est le produit de tous les entiers positifs inférieurs ou égaux à 𝑘. En divisant les deux membres de l’équation par factorielle 𝑘, on a 𝑘 parmi 𝑛 égale A 𝑛 𝑘 divisé par factorielle 𝑘. Et comme A 𝑛 𝑘 est égal à factorielle 𝑛 sur factorielle 𝑛 moins 𝑘, on peut reformuler le membre droit et obtenir une formule de la combinaison. La définition formelle d’une combinaison s’affiche à l’écran avec 𝑘 parmi 𝑛 égale factorielle 𝑛 divisé par factorielle 𝑛 moins 𝑘 fois factorielle 𝑘.

On peut noter ici qu’il existe des notations équivalentes telles que celles indiquées. Nous allons maintenant étudier quelques exemples pour mettre en pratique nos connaissances.

Quelle expression parmi les suivantes est égale à cinq parmi 41? Est-ce A 41 cinq divisé par factorielle cinq, A 41 cinq divisé par cinq, A 41 cinq fois factorielle cinq, ou A 41 cinq fois cinq ?

Commençons par rappeler les formules de l’arrangement et de la combinaison. L’arrangement A 𝑛 𝑘 est égal à factorielle 𝑛 divisé par factorielle 𝑛 moins 𝑘. Et la combinaison 𝑘 parmi 𝑛 est égale à factorielle 𝑛 divisé par factorielle 𝑛 moins 𝑘 fois factorielle 𝑘. En combinant ces deux formules, nous voyons que 𝑘 parmi 𝑛 est égal à A 𝑛 𝑘 sur factorielle 𝑘. Dans cette question, 𝑛 est égal à 41 et 𝑘 est égal à cinq. Cela signifie que cinq parmi 41 est égal à A 41 cinq divisé par factorielle cinq. La bonne réponse est donc l’option (A).

Dans l’exemple suivant, nous devons évaluer une combinaison.

Évaluez 19 parmi 23.

Pour répondre à cette question, nous commençons par rappeler la formule d’une combinaison. 𝑘 parmi 𝑛 est égal à factorielle 𝑛 divisée par factorielle 𝑛 moins 𝑘 fois factorielle 𝑘. Dans cette question, 𝑛 est égal à 23 et 𝑘 est égal à 19. 19 parmi 23 est donc égal à factorielle 23 divisée par factorielle 23 moins 19 fois factorielle 19. Le dénominateur se simplifie par factorielle quatre fois factorielle 19. On peut alors reformuler le numérateur par 23 fois 22 fois 21 fois 20 fois factorielle 19. Et en divisant le numérateur et le dénominateur par factorielle 19, on obtient 23 fois 22 fois 21 fois 20 divisé par factorielle quatre.

En écrivant factorielle quatre comme quatre fois trois fois deux fois un, on peut ensuite éliminer les facteurs communs suivants. On obtient alors 23 fois 11 fois sept fois cinq, ce qui est égal à 8 855. 19 parmi 23 est donc égal à 8 855.

Dans le prochain exemple, nous allons étudier un problème de dénombrement impliquant des combinaisons.

Combien de mains de trois cartes peuvent être choisies dans un jeu de 52 cartes ?

Commençons par rappeler que la combinaison 𝑘 parmi 𝑛 représente le nombre de façons différentes de sélectionner 𝑘 objets parmi 𝑛 objets distincts. Elle est égale à factorielle 𝑛 divisé par factorielle 𝑛 moins 𝑘 fois factorielle 𝑘. Dans cette question, nous avons un jeu de 52 cartes, donc 𝑛 est égal à 52, et nous souhaitons en sélectionner trois, donc 𝑘 égale trois. Ceci signifie que nous devons calculer trois parmi 52, ce qui est égal à factorielle 52 divisé par factorielle 49 fois factorielle trois.

En utilisant nos connaissances des factorielles, nous savons que factorielle 52 peut être réécrite comme 52 fois 51 fois 50 fois factorielle 49. Et ceci nous permet d’annuler factorielle 49 au numérateur et au dénominateur. Factorielle trois est égal à trois fois deux fois un. On peut alors annuler les facteurs trois et deux comme indiqué. Et 26 fois 17 fois 50 égale 22 100. Par conséquent, comme trois parmi 52 est égal à 22 100, il s’agit du nombre de mains de trois cartes qui peuvent être choisies dans un jeu de 52 cartes.

Dans le dernier exemple, nous allons voir comment calculer un paramètre inconnu dans une combinaison.

Sachant que trois parmi 𝑛 est égal à 120, déterminez 𝑛.

Nous commençons par rappeler la formule des combinaisons. 𝑘 parmi 𝑛 est égal à factorielle 𝑛 divisé par factorielle 𝑛 moins 𝑘 fois factorielle 𝑘. Pour cette question, nous savons que 𝑘 est égal à trois et que trois parmi 𝑛 est égal à 120. En remplaçant ces valeurs dans la formule, on a factorielle 𝑛 divisé par factorielle 𝑛 moins trois fois factorielle trois égale 120. En utilisant le fait que factorielle trois est égal à six, puis en multipliant les deux membres de l’équation par factorielle trois, on obtient factorielle 𝑛 sur factorielle 𝑛 moins trois égale 720.

Mais factorielle 𝑛 peut être réécrit comme ceci. On peut alors diviser le numérateur et le dénominateur du membre gauche par factorielle 𝑛 moins trois. Ceci nous donne alors l’équation 𝑛 fois 𝑛 moins un fois 𝑛 moins deux égale 720. Le produit de trois entiers consécutifs est égal à 720. Nous pourrions déterminer la valeur de 𝑛 par tâtonnements. Cependant, nous pouvons également utiliser le fait que pour tout 𝑛 supérieur à deux, le produit de ces trois entiers est supérieur à 𝑛 moins deux au cube et inférieur à 𝑛 au cube. C’est-à-dire, 720 est supérieur à 𝑛 moins deux au cube et inférieur à 𝑛 au cube. On peut alors prendre la racine cubique de chaque membre de l’inéquation.

Au centième près, la racine cubique de 720 est égale à 8,96. Par conséquent, cette valeur est supérieure à 𝑛 moins deux et inférieure à 𝑛. En résolvant les deux parties de cette inéquation, on trouve que 𝑛 doit être inférieur à 10,96 et supérieur à 8,96. Ceci signifie qu’il y a deux valeurs possibles pour 𝑛 : neuf ou 10. En remplaçant 𝑛 égale neuf au membre gauche de notre équation, on a neuf fois huit fois sept. Ceci est égal à 504, ce qui n’est pas la bonne réponse car le membre droit est 720. Lorsque 𝑛 est égal à 10, on a 10 fois neuf fois huit. Ce qui est bien égal à 720. Nous pouvons donc conclure que si trois parmi 𝑛 est égal à 120, alors 𝑛 est égal à 10.

Nous allons maintenant terminer cette vidéo en récapitulant les points clés. La combinaison 𝑘 parmi 𝑛 représente le nombre de façons différentes de choisir 𝑘 objets parmi un total de 𝑛 objets distincts, où l’ordre des 𝑘 objets n’a pas d’importance. Les deux notations différentes écrites ici sont équivalentes. L’arrangement A 𝑛 𝑘 représente le nombre de façons différentes d’ordonner 𝑘 objets parmi 𝑛 objets au total. Cette fois, l’ordre des 𝑘 objets est important. Nous avons vu que 𝑘 parmi 𝑛 est égal à factorielle 𝑛 divisé par factorielle 𝑛 moins 𝑘 fois factorielle 𝑘. Et que A 𝑛 𝑘 est égal à factorielle 𝑛 divisée par factorielle 𝑛 moins 𝑘.

Ceci nous a conduit à la propriété selon laquelle le nombre de combinaisons est égal au nombre d’arrangements divisé par factorielle 𝑘. Bien que nous ne l’ayons pas évoqué dans cette vidéo, la combinaison 𝑘 parmi 𝑛 vérifie l’identité 𝑘 parmi 𝑛 égale 𝑛 moins 𝑘 parmi 𝑛. Par exemple, trois parmi 12 est égal à neuf parmi 12 car 12 moins trois égale neuf.

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