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Fiche explicative de la leçon : Combinaisons Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à utiliser les propriétés des combinaisons pour résoudre des problèmes et à utiliser les combinaisons pour dénombrer les issues possibles.

Le nombre de combinaisons C représente le nombre de façons différentes de sélectionner 𝑘 objets parmi 𝑛 objets distincts. L’ordre des 𝑘 objets n’a pas d’importance pour les combinaisons. Pour que cette définition soit réalisable, il faut que les paramètres 𝑛 et 𝑘 soient des entiers non négatifs et vérifient 𝑛𝑘.

On rappelle que le nombre d’arrangements 𝐴 représente le nombre de façons d’ordonner 𝑘 objets parmi 𝑛 objets distincts. L’ordre des 𝑘 objets est pris en compte pour le nombre d’arrangements 𝐴, ce qui le distingue du nombre de combinaisons C.

Pour illustrer la distinction entre les combinaisons et les arrangements, on considère deux types de courses avec 𝑛 participants. Dans la première course, les 𝑘 premiers arrivés reçoivent des médailles avec leurs rangs imprimés. Par exemple, deux façons différentes d’attribuer des médailles avec 𝑘=3 sont illustrées ci-dessous.

Bien que c’est les mêmes trois coureurs qui ont pris les trois premières places dans les deux cas, ils ont remporté des médailles différentes. En effet, l’ordre des trois arrivants est important car ils reçoivent différentes médailles en fonction de leur rang. Le nombre de façons différentes d’attribuer des médailles pour cette course est le même que le nombre de façons différentes d’ordonner 𝑘 objets parmi 𝑛 objets. Cela est donné par le nombre d’arrangements 𝐴.

On modifie le système de récompense de la course de sorte que les trois premiers reçoivent, non plus des médailles différentes, mais plutôt des trophées identiques avec le mot « VAINQUEUR » gravé dessus. Dans ce système, l’ordre des 𝑘 premiers arrivé n’aboutit pas à des résultats différents. Par exemple, si on applique le système de récompense modifié aux deux résultats ci-dessus, on a le même ensemble de gagnants du trophée comme illustré ci-dessous.

Le nombre de différents ensembles de vainqueurs de trophées de cette course est le même que le nombre de façons différentes de sélectionner 𝑘 objets parmi 𝑛 objets au total. Cela est donné par le nombre de combinaisons C. Voyons comment calculer ce nombre en utilisant le principe fondamental du dénombrement.

Théorème : Principe fondamental du dénombrement

Pour deux évènements indépendants 𝐴 et 𝐵 tels que le nombre d’issues possibles de l’évènement 𝐴 est 𝑥 et le nombre d’issues possibles de l’évènement 𝐵 est 𝑦, le nombre total d’issues possibles distinctes de ces deux évènements ensemble est le produit 𝑥×𝑦.

On rappelle que deux évènements sont indépendants si l’issue d’un évènement ne change pas le nombre d’issues possibles de l’autre évènement.

On applique le principe fondamental du dénombrement à l’exemple ci-dessus. Soit 𝐴 l’événement de sélection des 𝑘 premiers coureurs parmi 𝑛 coureurs au total, et 𝐵 l’événement de classement des 𝑘 premiers coureurs. Ce sont des événements indépendants, et l’application des deux donne le nombre de façons d’ordonner 𝑘 coureurs parmi 𝑛. Puis, d’après le principe fondamental du dénombrement, on a #𝑘𝑛×#𝑘=#𝑘𝑛.façonsdesélectionnerparmifaçonsdordonnercoureursfaçonsdordonnercoureursparmi

Comme indiqué ci-dessus, C représente le nombre de façons de sélectionner 𝑘 coureurs parmi 𝑛, et il y a 𝐴 façons d’ordonner 𝑘 coureurs parmi 𝑛 au total. En outre, on rappelle qu’il y a 𝑘! façons d’ordonner 𝑘 coureurs. Donc, C×𝑘!=𝐴.

En divisant chaque membre par 𝑘!, on obtient C=𝐴𝑘!.

C’est une identité importante qui relie les combinaisons aux arrangements. Comme 𝐴=𝑛!(𝑛𝑘)! on obtient C!()!=𝐴𝑘!=𝑘!=𝑛!(𝑛𝑘)!𝑘!.

Cela conduit à la formule ci-dessous.

Définition : Combinaisons

Soient des entiers non négatifs 𝑛 et 𝑘 satisfaisant 𝑛𝑘, le nombre de combinaisons C représente le nombre de façons différentes de sélectionner 𝑘 objets parmi 𝑛 objets distincts au total. L’ordre des 𝑘 objets n’a pas d’importance. Sa formule est donnée par C=𝑛!(𝑛𝑘)!𝑘!.

On remarque que plusieurs notations équivalentes sont utilisées pour les combinaisons. Les notations C , C , et C(𝑛;𝑘) sont toutes équivalentes.

En observant la formule C=𝑛!(𝑛𝑘)!𝑘!, on remarque qu’il y a deux facteurs au dénominateur, alors que le nombre d’arrangements 𝐴=𝑛!(𝑛𝑘)! n’a qu’un seul facteur au dénominateur. Le facteur supplémentaire au dénominateur du nombre de combinaisons permet d’établir une identité qui est due à la symétrie:CC=𝑛!(𝑛(𝑛𝑘))!(𝑛𝑘)!=𝑛!𝑘!(𝑛𝑘)!=.

Par conséquent, on a l’identité CC=. Par exemple, CC=.

On peut également comprendre cette identité du point de vue du dénombrement. Le nombre de combinaisons C représente le nombre de façons différentes de sélectionner 𝑘 objets parmi un total de 𝑛 objets. Mais quand on sélectionne 𝑘 objets, on crée un groupe de 𝑛𝑘 objets en tant que résultat annexe. Ainsi, chaque façon de choisir 𝑘 objets parmi 𝑛 objets consiste indirectement à choisir 𝑛𝑘 objets parmi 𝑛 objets. En bref, cela implique que CC=.

Étudions quelques exemples pour nous familiariser avec différents contextes.

Exemple 1: Exprimer des combinaisons en fonction d’arrangements

Lequel des nombres suivants est égal à C?

  1. 𝐴5!
  2. 𝐴5
  3. 𝐴×5!
  4. 𝐴×5

Réponse

On présente deux méthodes pour répondre à cette question. Pour la première méthode, on utilise les formules du nombre d’arrangements et de combinaisons pour déterminer leur relation. Pour la deuxième méthode, on utilise le principe fondamental du dénombrement pour trouver la solution.

Méthode 1

  • On rappelle les formules du nombre d’arrangements et de combinaisons:𝐴=𝑛!(𝑛𝑘)! et C=𝑛!(𝑛𝑘)!𝑘!. Comme on a 𝑛=41 et 𝑘=5 , 𝐴=41!(415)!=41!36!,=41!(415)!5!=41!36!5!.C
  • On remarque qu’il y a un 5! supplémentaire au dénominateur de C. En multipliant 5! par C, on obtient C×5!=41!36!5!×5!=41!36!.
  • On remarque que l’expression résultante est la même que celle de 𝐴. On a donc l’identité C×5!=𝐴. En divisant les deux membres de l’équation par 5!, on obtient C=𝐴5!.

Méthode 2

  • On rappelle que le nombre de combinaisons C représente le nombre de façons différentes de sélectionner 5 objets parmi 41 objets. D’un autre côté, on rappelle également que le nombre d’arrangement 𝐴 représente le nombre de façons différentes d’ordonner 5 objets parmi 41 objets.
  • On rappelle le principe fondamental du dénombrement, qui stipule que le nombre total d’issues distinctes de plusieurs évènements indépendants est le produit de leur nombre respectif d’issues possibles. D’après les définitions données ci-dessus, on remarque que la tâche associée à l’arrangement peut être décomposée en deux étapes. La première étape consiste à sélectionner 5 objets parmi 41 objets, et il y a C différentes façons de le faire. La deuxième étape consiste à ordonner les 5 objets, et il y a 5! différentes façons d’y parvenir. Puis, d’après le principe fondamental du dénombrement, C×5!=𝐴.
  • En divisant les deux membres par 5! on obtient C=𝐴5!.

Par conséquent, la réponse est l’option A.

Exemple 2: Calculer des nombres de combinaisons

Calculez C.

Réponse

On rappelle la formule du nombre de combinaisons C=𝑛!(𝑛𝑘)!𝑘!.

Dans C, on a 𝑛=23 et 𝑘=19, on doit donc calculer 23!(2319)!19!=23!4!19!.

On peut écrire 23!=23×22×21×20×19! et 4!=4×3×2×1, donc 23!4!19!=23×22×21×20×19!4!19!=23×22×21×204×3×2×1.

On peut réduire les facteurs:204=5, 213=7, et 222=11. On réduit ensuite la fraction du membre droit de l’équation ci-dessus par 23×11×7×5=8855.

Par conséquent, C=8855.

Exemple 3: Calculer des nombres de combinaisons

Calculez CC.

Réponse

On rappelle la formule du nombre de combinaisons C=𝑛!(𝑛𝑘)!𝑘!. Donc, CetC=7!(72)!2!=7!5!2!=8!(86)!6!=8!2!6!.

On remarque que diviser C par C pour calculer l’expression donnée équivaut à multiplier C par l’inverse de C. Donc, CC=7!5!2!×2!6!8!=7!5!×6!8!.

On peut écrire 8!=8×7!6!=6×5!.et

Puis 7!5!×6!8!=7!5!×6×5!8×7!=68=34.

Donc, CC=34.

Dans l’exemple suivant, nous allons étudier un problème de dénombrement impliquant des combinaisons.

Exemple 4: Résoudre un problème de dénombrement simple impliquant des combinaisons

Combien de mains de 3 cartes peuvent être choisies dans un jeu de 52 cartes?

Réponse

On rappelle que le nombre de combinaisons C représente le nombre de façons différentes de sélectionner 𝑘 objets parmi 𝑛 objets distincts. On compte les différents ensembles de trois cartes sélectionnées parmi 52 cartes distinctes. On remarque que l’ordre des trois cartes sélectionnées n’a pas d’importance. Ainsi, le nombre de façons de sélectionner 3 cartes parmi 52 cartes distinctes est donné par le nombre de combinaison C.

On rappelle la formule du nombre de combinaisons:C=𝑛!(𝑛𝑘)!𝑘!.

On souhaite choisir 3 cartes parmi 52, on définit donc 𝑛=52 et 𝑘=3, ce qui donne C=52!(523)!3!=52!49!3!.

On peut écrire 52!=52×51×50×49! et 3!=3×2×1. Donc, 52!49!3!=52×51×50×49!49!3!=52×51×503×2×1.

On peut réduire les fractions 513=17 et 522=26. Puis, la fraction du membre droit de l’équation ci-dessus est égale à 26×17×50=22100.

Cela conduit à C=22100.

Par conséquent, 22 100 mains de 3 cartes différentes peuvent être choisies dans un jeu de 52 cartes.

Dans les deux derniers exemples, nous allons étudier comment identifier des paramètres inconnus dans des combinaisons.

Exemple 5: Calculer des nombres de combinaisons pour déterminer la valeur d’une inconnue

Si CC=, alors 𝑛=.

Réponse

On rappelle que C représente le nombre de façons de sélectionner 𝑘 objets parmi 𝑛 objets distincts, où l’ordre des 𝑘 objets n’a pas d’importance. On rappelle l’identité suivante des combinaisons:CC=.

Cette identité peut être comprise dans le contexte d’un problème de dénombrement. C compte le nombre de façons de sélectionner 𝑘 objets parmi 𝑛 objets. Cependant, lorsque l’on sélectionne 𝑘 objets parmi 𝑛 objets, on crée automatiquement un groupe de 𝑛𝑘 objets restants. Ainsi, le nombre de façons de former un groupe de taille 𝑘 est exactement le même que le nombre de façons de former un groupe de taille 𝑛𝑘. Le premier nombre est donné par C, et le deuxième est donné par C.

Dans cet exemple, on a CC=. Si on définit 𝑛=3+9=12, alors le nombre de façons de former un groupe de taille 3 est identique au nombre de façons de former un groupe de taille 123=9. Donc, 𝑛=12 doit être la bonne réponse.

On peut vérifier cette réponse en calculant les deux nombres de combinaisons. On rappelle la formule C=𝑛!(𝑛𝑘)!𝑘!. Puis C=12!(123)!3!=12!9!3!.

D’un autre côté, C=12!(129)!9!=12!3!9!.

Cela vérifie la réponse:𝑛=12.

Donc, si CC=, alors 𝑛=12.

Exemple 6: Calculer des nombres de combinaisons pour déterminer la valeur d’une inconnue

Si C=120, trouver 𝑛.

Réponse

On rappelle la formule du nombre de combinaisons:C=𝑛!(𝑛𝑘)!𝑘!.

On rappelle qu’il est nécessaire que 𝑛𝑘 dans la définition de C. On sait que 𝑘=3, il faut donc que 𝑛3. Ainsi, remplacer par 𝑘=3 dans la formule donne 𝑛!(𝑛3)!3!=120.

On multiplie les deux membres par 3!=3×2×1=6 pour obtenir 𝑛!(𝑛3)!=720.

Comme 𝑛3, on peut écrire 𝑛!=𝑛×(𝑛1)×(𝑛2)×(𝑛3)!. Le membre gauche de l’équation ci-dessus est égal à 𝑛!(𝑛3)!=𝑛×(𝑛1)×(𝑛2)×(𝑛3)!(𝑛3)!=𝑛(𝑛1)(𝑛2).

On sait qu’il est égal à 120, on a donc l’équation 𝑛(𝑛1)(𝑛2)=720.

Pour tout 𝑛>2, on remarque que (𝑛2)<𝑛(𝑛1)(𝑛2)<𝑛.

On doit donc avoir la condition (𝑛2)<720<𝑛.

On prend la racine cubique des inégalités ci-dessus. Comme 7208,96, 𝑛2<8,96<𝑛.

Comme 8,96<𝑛, l’entier 𝑛 doit être au moins égal à 9. D’un autre côté, comme 𝑛2<8,96𝑛<10,96 , 𝑛 peut être égal à 10 maximum. Donc, 𝑛 doit être égal à 9 ou 10. , 𝑛 doit également satisfaire à l’équation 𝑛(𝑛1)(𝑛2)=720. On peut remplacer par 𝑛=9 et 𝑛=10 dans cette équation pour déterminer lequel est la valeur correcte de 𝑛.

Si 𝑛=9, 𝑛(𝑛1)(𝑛2)=9×8×7=504.

Comme ce nombre n’est pas égal à 720, 𝑛9.

Si 𝑛=10, 𝑛(𝑛1)(𝑛2)=10×9×8=720.

Donc 𝑛=10 satisfait à C=120.

Points clés

  • Le nombre de combinaisons C représente le nombre de façons différentes de choisir 𝑘 objets parmi 𝑛 objets distincts. L’ordre des 𝑘 objets n’a pas d’importance pour les combinaisons.
  • Les notations C, C, et C(𝑛;𝑘) sont toutes équivalentes.
  • Le nombre d’arrangements 𝐴 représente le nombre de façons d’ordonner 𝑘 objets parmi 𝑛 objets distincts. L’ordre des 𝑘 objets est important pour les arrangements.
  • C=𝑛!(𝑛𝑘)!𝑘! et 𝐴=𝑛!(𝑛𝑘)!. On note que C=𝐴𝑘!.
  • Le nombre de combinaisons C vérifie l’identité CC=.

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