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Simplifiez l’expression 𝑛 de 𝑥 égale cinq 𝑥 carré moins 15𝑥 sur 𝑥 à la puissance quatre plus deux 𝑥 cube moins 15𝑥 carré moins 36 moins 𝑥 carré sur 𝑥 carré moins 𝑥 moins 30, puis trouver l’ensemble solution de l’équation 𝑛 de 𝑥 égale zéro.
Dans cette question, on nous a demandé de simplifier une fonction donnée par une soustraction de deux expressions rationnelles. Dans ce cas, le processus impliquera beaucoup de factorisations et de simplifications de termes. La première étape sera de factoriser les expressions polynomiales qui forment les numérateurs et les dénominateurs des deux fractions algébriques.
Commençons par considérer le numérateur de notre première fraction, cinq 𝑥 au carré moins 15𝑥. Le plus grand commun diviseur des termes de cette expression est cinq 𝑥. En factorisant cela, on obtient l’expression cinq 𝑥 multipliée par 𝑥 moins trois. Notons que cette expression est maintenant entièrement composée de facteurs linéaires. Ces facteurs linéaires ne peuvent pas être factorisés davantage et peuvent donc être traités un peu comme les LEGOs d’une expression polynomiale.
Pour les prochaines étapes, nous cherchons également à exprimer les autres polynômes en termes de facteurs linéaires, en commençant par 𝑥 à la puissance quatre plus deux 𝑥 au cube moins 15𝑥 au carré. Au début, cela peut sembler un peu compliqué, puisque l’exposant le plus élevé de 𝑥 est quatre, ce qui en fait un polynôme de degré quatre. Nous pouvons remarquer, cependant, que les termes ont un facteur commun 𝑥 au carré. Cela nous permet de factoriser l’expression et d’avoir 𝑥 carré multiplié par 𝑥 carré plus deux 𝑥 moins 15. La partie du second degré de cette expression peut être factorisée davantage. Pour cette vidéo, nous n’entrerons pas dans les détails des différentes méthodes pour le faire, mais dans ce cas, nous devrions être en mesure de constater que la factorisation correcte est 𝑥 plus cinq multiplié par 𝑥 moins trois.
Le dénominateur du premier terme est donc 𝑥 au carré multiplié par 𝑥 plus cinq multiplié par 𝑥 moins trois. Encore une fois, nous avons formé une expression composée de facteurs linéaires. Vous devez savoir que 𝑥 carré n’est techniquement pas un facteur linéaire, mais il peut être considéré comme 𝑥 fois 𝑥. En ce sens, il s’agit en fait de deux facteurs linéaires, ou d’un facteur linéaire répété de 𝑥.
Passons au numérateur de la deuxième expression rationnelle, qui est 36 moins 𝑥 au carré. Il est sous la forme d’une différence de deux carrés, qui est 𝑎 carré moins 𝑥 carré. Nous savons que cela peut donc être factorisé sous la forme 𝑎 moins 𝑥 multipliée par 𝑎 plus 𝑥. Dans notre cas, nous savons que six au carré donne 36. Et donc, notre expression peut être factorisée et donne six moins 𝑥 multiplié par six plus 𝑥.
Bien, enfin, nous allons considérer le dénominateur de la deuxième expression rationnelle. Encore une fois, nous sommes confrontés à un polynôme du second degré. Et en regardant un peu, nous pouvons voir que 𝑥 au carré moins 𝑥 moins 30 est égal à 𝑥 moins six multiplié par 𝑥 plus cinq.
Maintenant que les numérateurs et dénominateurs ont été exprimés en termes de facteurs linéaires, nous pouvons maintenant réécrire la fonction 𝑛 de 𝑥 en utilisant ces expressions factorisées. Vous pouvez voir les remplacements plus clairement si nous posons le numérateur et le dénominateur de la première expression rationnelle comme un et deux, et le numérateur et le dénominateur de la deuxième expression rationnelle comme trois et quatre. Avant de poursuivre, faisons un peu d’espace. Nous allons également déplacer la nouvelle expression de 𝑛 de 𝑥 en haut de l’écran.
Afin de procéder à la simplification, la prochaine étape consiste à rechercher des facteurs communs, en haut et en bas des expressions rationnelles, pour les simplifier. Avant de faire cela, cependant, il y a une étape intermédiaire importante. L’annulation de facteurs communs en haut et en bas d’une expression rationnelle supprime des informations sur le domaine de définition de la fonction en question. Nous devons donc examiner le domaine avant d’effectuer les simplifications. Nous n’entrerons pas trop dans les détails sur le domaine de définition d’une fonction ici, mais il suffit de se rappeler qu’une fonction n’est pas définie aux valeurs de 𝑥 où le dénominateur de toute expression rationnelle est égal à zéro. La raison étant, comme vous le savez, que nous ne pouvons pas diviser par zéro.
Pour trouver ces valeurs problématiques de 𝑥, nous pouvons examiner les deux dénominateurs factorisés. Lorsque l’un des facteurs linéaires des dénominateurs est égal à zéro, cela signifie que l’un des dénominateurs est égal à zéro. Cette situation se produit lorsque 𝑥 au carré est égal à zéro, 𝑥 plus cinq est égal à zéro, 𝑥 moins trois est égal à zéro ou 𝑥 moins six est égal à zéro. Si nous résolvons ces équations simples, nous constatons que la fonction 𝑛 de 𝑥 n’est pas définie lorsque 𝑥 est égal à moins cinq, zéro, trois et six. Mettons ces informations de côté pour plus tard et revenons à la simplification.
Comme mentionné précédemment, nous allons maintenant chercher des facteurs communs à simplifier en haut et en bas des expressions rationnelles. Dans la première expression rationnelle, nous pouvons simplifier le facteur 𝑥 et le facteur 𝑥 moins trois en haut et en bas. Pour la deuxième expression rationnelle, avant de commencer, nous allons d’abord réécrire un des facteurs pour rendre la simplification plus évidente. Tout d’abord, notez que nous soustrayons le deuxième terme dans la fonction 𝑛 de 𝑥. Cela peut être considéré comme avoir un facteur de moins un devant tout le terme. Nous avons également un facteur de six moins 𝑥 au numérateur. Moins un multiplié par six moins 𝑥 peut plutôt être exprimé comme 𝑥 moins six.
Remplaçons cela dans l’expression de 𝑛 de 𝑥. Nous ajoutons maintenant le deuxième terme de l’expression rationnelle, qui est 𝑥 moins six multiplié par six plus 𝑥 sur 𝑥 moins six multiplié par 𝑥 plus cinq. Il est maintenant beaucoup plus facile de voir que le facteur commun 𝑥 moins six peut être simplifié en haut et en bas de la fraction. Superbe ! Notre nouvelle expression simplifiée est donc cinq sur 𝑥 multipliée par 𝑥 plus cinq plus 𝑥 plus six sur 𝑥 plus cinq.
Pour procéder à la simplification, notre objectif est maintenant d’exprimer l’addition de ces deux expressions rationnelles en une seule expression rationnelle. Nous le faisons en déterminant un dénominateur commun aux deux termes. Dans notre cas, la façon la plus simple de le faire est de multiplier le haut et le bas du deuxième terme par 𝑥. Cela nous donne un dénominateur commun 𝑥 multiplié par 𝑥 plus cinq. Nous pouvons maintenant ajouter les deux termes pour avoir cinq plus 𝑥 multiplié par 𝑥 plus six divisé par le nouveau dénominateur commun, 𝑥 multiplié par 𝑥 plus cinq.
Comme nous l’avons dit précédemment, chaque fois que nous avons une expression polynomiale, il est utile de l’exprimer en termes de facteurs linéaires. Actuellement, le numérateur n’est pas sous cette forme. Pour simplifier ce numérateur, nous allons d’abord distribuer le facteur 𝑥 sur nos parenthèses. Et puis, nous allons réécrire l’expression sous la forme standard d’une expression du second degré. En factorisant cette expression du second degré, nous obtenons 𝑥 plus un multiplié par 𝑥 plus cinq, qui peut être remplacée dans l’expression de 𝑛 de 𝑥.
Notez que nous avons déjà examiné l’ensemble de définition de la fonction, nous pouvons donc maintenant procéder directement à l’annulation des facteurs communs. Ici, il devrait être facile de repérer qu’un facteur commun 𝑥 plus cinq peut être simplifié en haut et en bas de la fraction. Cela nous laisse avec l’expression rationnelle 𝑥 plus un sur 𝑥. Comme il n’y a plus de simplifications utiles, nous avons atteint la fin du processus. La fonction 𝑛 de 𝑥 se simplifie en 𝑥 plus un sur 𝑥.
Bien que nous ayons atteint la fin de la simplification, nous n’avons pas encore terminé la question. Faisons de la place pour considérer la dernière partie, qui consiste à trouver l’ensemble solution de l’équation 𝑛 de 𝑥 égale zéro. Et maintenant que nous avons une expression simplifiée de 𝑛 de 𝑥, pour trouver l’ensemble solution, nous pouvons simplement poser cette expression égale à zéro et résoudre. Pour que l’expression rationnelle 𝑥 plus un sur 𝑥 soit égale à zéro, le numérateur 𝑥 plus un doit être égal à zéro. Nous pourrions également penser à cela comme la multiplication des deux côtés de notre équation par 𝑥. La prochaine étape consiste à soustraire un des deux côtés de l’équation. En faisant cela, nous trouvons que 𝑥 est égal à moins un.
Pour la toute dernière étape, vérifions rapidement que 𝑥 égal moins un n’est pas l’une des valeurs pour lesquelles la fonction 𝑛 de 𝑥 est n’est pas définie. Si cela était vrai, la valeur ne ferait pas partie de l’ensemble de solutions. Puisque la fonction 𝑛 de 𝑥 est définie lorsque 𝑥 égale moins un, nous pouvons dire que l’ensemble solution est en effet moins un. Avec cette étape, nous avons maintenant trouvé la réponse à notre question. L’expression simplifiée pour 𝑛 de 𝑥 est 𝑥 plus un sur 𝑥. Et l’ensemble solution de l’équation 𝑛 de 𝑥 est égal à zéro est moins un.
