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Utilisez les dérivées pour identifier lequel des éléments suivants est le graphique de 𝑓 de 𝑥 égale moins 𝑥 plus un au cube multiplié par 𝑥 moins deux.
Afin d’identifier le graphique correct de la fonction, nous commencerions généralement par travailler sur les racines et l’ordonnée à l’origine. Nous trouvons l’ordonnée à l’origine en fixant 𝑥 égal à zéro et nous trouvons la ou les racines en définissant 𝑓 de 𝑥 égale à zéro et en résolvant l’équation résultante. Bien que nous puissions utiliser cette méthode pour éliminer certaines des options, nous allons plutôt utiliser les dérivées. Nous commençons par rappeler que la dérivée de 𝑓 de 𝑥, écrite 𝑓 prime de 𝑥, est égale à zéro en tout point critique. Chacun des graphiques en contient au moins deux et ceux-ci peuvent être des minima locaux, des maxima locaux ou des points d’inflexion. Nous examinerons leur statut plus tard.
Afin de dériver la fonction, nous devrons utiliser la règle du produit pour la dérivation. Elle indique que si 𝑓 de 𝑥 est le produit de deux termes 𝑢 et 𝑣, alors 𝑓 prime de 𝑥 est égal à 𝑢𝑣 prime plus 𝑣𝑢 prime. Dans cette question, nous allons poser 𝑢 égal moins 𝑥 plus un au cube et 𝑣 égal 𝑥 moins deux. La dérivation de moins 𝑥 plus un au cube nous donne moins trois multiplié par 𝑥 plus un carré. Nous multiplions l’exposant par les parenthèses, réduisons l’exposant de un, puis multiplions par la dérivée de l’expression à l’intérieur des parenthèses. Dans ce cas, la dérivation de l’expression entre parenthèses nous donne un. Nous appelons ceci la règle de derivation en chaîne.
Ensuite, nous dérivons l’expression 𝑥 moins deux par rapport à 𝑥. Cela équivaut à un. La dérivée de 𝑥 est un et la dérivation de la constante nous donne zéro. La substitution de ces expressions dans la règle du produit nous donne moins 𝑥 plus un au cube moins trois multiplié par 𝑥 plus un carré multiplié par 𝑥 moins deux. À ce stade, nous pourrions poser l’expression de 𝑓 prime de 𝑥 égale à zéro. Alternativement, nous pourrions d’abord essayer de simplifier le côté droit. Une façon de le faire serait de factoriser par moins 𝑥 plus un carré. Cela signifie que 𝑓 prime de 𝑥 est égale à moins 𝑥 plus un le tout au carré multiplié par 𝑥 plus un plus trois 𝑥 moins six. Nous pouvons alors rassembler les termes similaires entre crochets, ce qui nous donne moins 𝑥 plus un le tout au carré multiplié par quatre 𝑥 moins cinq.
Nous avons maintenant une expression simplifiée de la dérivée de 𝑓 de 𝑥. La prochaine étape consiste à fixer cette dérivée à zéro. Puisque le produit de deux termes est égal à zéro, l’un des deux termes, ou les deux, sont nuls. Cela signifie que moins 𝑥 plus un le tout au carré est égal à zéro ou que quatre 𝑥 moins cinq est égal à zéro. En multipliant par moins un puis en prenant la racine des deux côtés, la première équation nous donne 𝑥 plus un est égal à zéro. Nous pouvons alors soustraire un des deux côtés de cette équation, ce qui nous donne 𝑥 est égal à moins un. Nous avons donc un point critique en 𝑥 est égal à moins un. Les graphiques (A), (C) et (E) ont tous un point critique pour cette valeur de 𝑥. La courbe (A) a un point d’inflexion, la courbe (C) un maximum local et la courbe (E) un minimum local.
Puisque les graphiques (B) et (D) n’ont pas de point critique en 𝑥 égal à moins un, nous pouvons les éliminer. Nous pouvons résoudre la deuxième équation en ajoutant cinq des deux côtés, ce qui nous donne quatre 𝑥 est égal à cinq. En divisant par quatre, nous avons 𝑥 est égal à cinq sur quatre ou 1,25. Cela signifie que nous avons un deuxième point critique pour cette valeur de 𝑥. Les graphiques (C) et (D) ont trois points critiques. Cependant, nous avons montré que notre fonction n’en a que deux en 𝑥 égale moins un et 𝑥 égale cinq sur quatre. Nous pouvons donc exclure les options (C) et (E).
Si nous considérons le graphique (A), nous voyons qu’il a bien un point critique en 𝑥 égal à cinq sur quatre. Il s’agit d’un maximum local. Nous pouvons donc conclure que la courbe de 𝑓 de 𝑥 qui est égale à moins 𝑥 plus un le tout au cube multiplié par 𝑥 moins deux est la courbe (A).
Bien que cela ne soit pas requis dans cette question, nous pourrions aller plus loin et déterminer si les points critiques sont des maxima ou minima locaux ou des points d’inflexion en considérant la dérivée seconde. Nous savons que si la dérivée seconde est inférieure à zéro, nous avons un maximum local. Si la dérivée seconde est supérieure à zéro, c’est-à-dire positive, nous avons un minimum local. Enfin, si la dérivée seconde est égale à zéro et si la dérivée troisième n’est pas égale à zéro, nous avons un point d’inflexion. Selon la complexité de la fonction, on nous demandera parfois de trouver les dérivées secondes et troisièmes.
