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Les vitesses correspondant aux droites indiquées sur le graphique distance-temps suivant changent-elles de valeur de manière égale pour toute paire de droites adjacentes?
Très bien, donc dans cette question, on nous donne un graphique distance-temps. C’est un graphique qui place la distance sur l’axe vertical ou l’axe des 𝑦 en fonction du temps sur l’axe horizontal ou l’axe des 𝑥. Nous pouvons voir qu’il y a quatre droites différentes sur ce graphique. Et dans cette question, on nous demande de comparer les vitesses correspondant à chacune de ces droites. Appelons la vitesse correspondant à la droite bleue 𝑣 indice b, la vitesse correspondant à la droite rouge 𝑣 indice r, la droite verte 𝑣 indice v et la droite orange 𝑣 indice o. On nous demande si les vitesses changent de valeur de manière égale pour toute paire de droites adjacentes sur le graphique. Si les vitesses changent de valeur de manière égale pour toute paire de droites adjacentes, cela signifie que la différence entre les vitesses de chaque paire de droites adjacentes doit être la même.
Sur le graphique, nous pouvons voir que la droite bleue et la droite rouge sont adjacentes. Et la différence entre leurs vitesses est 𝑣 indice b, la vitesse correspondant à la droite bleue, moins 𝑣 indice r, la vitesse correspondant à la droite rouge. Maintenant, la droite rouge est aussi adjacente à la droite verte. Ainsi, si les vitesses changent de valeur de manière égale pour toute paire de droites adjacentes, alors la différence entre la vitesse de la droite bleue et la droite rouge, c’est-à-dire 𝑣 indice b moins 𝑣 indice r, doit être égale à la différence entre les vitesses de la droite rouge et verte. C’est 𝑣 indice r moins 𝑣 indice v.
Ensuite, de la même manière, nous pouvons voir que la droite verte et la droite orange sont également adjacentes. Donc, si c’est vrai que les vitesses changent de manière égale entre les droites adjacentes, alors 𝑣 indice v moins 𝑣 indice o, c’est la différence entre les vitesses des droites verte et orange, doit également être égale à ces deux autres différences de vitesse.
Pour répondre à cette question, nous devons calculer ces trois différences entre les vitesses. Ensuite, nous pourrons comparer ces trois différences pour voir si cette affirmation est vraie. Si nous constatons que c’est vrai, alors nous savons que les vitesses changent de la même manière entre deux droites adjacentes. Au contraire, si nous constatons que l’affirmation n’est pas vraie, alors nous savons que les vitesses ne changent pas de valeur de la même façon entre les droites adjacentes.
Pour trouver ces trois différences, commençons par trouver les valeurs des quatre vitesses individuelles. Rappelons que la vitesse d’un objet est définie comme le taux de variation de la distance parcourue par cet objet avec le temps. Cela signifie que si un objet se déplace d’une distance Δ𝑑 et que cela prend un temps Δ𝑡 pour le faire, alors la vitesse moyenne de cet objet, que nous appellerons 𝑣, est égale à Δ𝑑 divisé par Δ𝑡.
Nous pouvons également écrire cette fraction d’une autre manière. Si entre un temps 𝑡 un et un temps 𝑡 deux l’objet se déplace d’une distance de 𝑑 un à une distance de 𝑑 deux, alors la vitesse moyenne de l’objet 𝑣 est égale à 𝑑 deux moins 𝑑 un divisé par 𝑡 deux moins 𝑡 un. Maintenant, puisqu’un graphique distance-temps trace la distance sur l’axe vertical par rapport au temps sur l’axe horizontal, alors si 𝑡 un, 𝑑 un et 𝑡 deux, 𝑑 deux sont les coordonnées de deux points le long d’une droite tracée sur un graphique distance-temps, cela signifie que cette expression pour la vitesse 𝑣 est égale à la variation de la coordonnée verticale entre ces deux points divisée par la variation de la coordonnée horizontale entre les deux mêmes points. En d’autres termes, cette expression est égale à la pente d’une droite tracée sur un graphique distance-temps.
On peut alors dire que la vitesse d’un objet est égale à la pente de la droite correspondante sur un graphique distance-temps. Une droite est une courbe qui a la même pente en tous points. En d’autres termes, c’est une courbe à pente constante. Ensuite, puisque pour un graphique distance-temps, la pente d’une droite nous indique la vitesse correspondante d’un objet, une droite sur un graphique distance-temps doit représenter un objet qui se déplace à une vitesse constante. Nous pouvons voir que les quatre courbes sur ce graphique distance-temps sont toutes des droites. Et cela signifie que ces quatre valeurs de vitesse seront toutes constantes. Pour un mouvement à vitesse constante, la vitesse moyenne de l’objet est la même que la vitesse en tout point de ce mouvement. Donc, cette expression pour la vitesse moyenne nous donnera les vitesses pour chacune de ces quatre droites.
Pour calculer chacune de ces quatre vitesses, nous devons choisir deux points sur chaque droite avec les coordonnées 𝑡 un, 𝑑 un et 𝑡 deux, 𝑑 deux. Ensuite, dans chaque cas, nous pouvons utiliser ces valeurs de temps et de distance dans cette expression afin de calculer la vitesse. Faisons maintenant un peu d’espace pour pouvoir continuer. Nous pouvons remarquer que les quatre droites de ce graphique passent par l’origine. C’est une valeur de temps de zéro seconde et une valeur de distance de zéro mètre. Nous pouvons utiliser l’origine comme premier point sur ces quatre droites. Donc, dans les quatre cas, nous avons 𝑡 un égal à zéro seconde et 𝑑 un égal à zéro mètre.
Pour choisir le deuxième point sur chaque droite, nous pouvons remarquer qu’à une valeur de temps de huit secondes, chacune des quatre droites non seulement croise la droite verticale de la grille à huit secondes, mais elles se croisent également chacune avec une droite horizontale de la grille. Alors choisissons ce point sur la droite bleue, ce point sur la droite rouge, ce point sur la droite verte et ce point sur la droite orange. Ces quatre points se produisent à huit secondes. Et donc c’est la valeur de 𝑡 deux pour les quatre droites. Cela signifie qu’avec les points que nous avons choisis sur chaque droite, la seule grandeur qui diffère entre les quatre droites est 𝑑 deux. C’est la distance parcourue au deuxième point. Appelons cette deuxième distance 𝑑 indice deux b pour la droite bleue, 𝑑 indice deux r pour la droite rouge, 𝑑 indice deux v pour la droite verte et 𝑑 indice deux o pour la droite orange.
En commençant par la droite bleue et en traçant horizontalement à partir du deuxième point jusqu’à l’axe des distances, nous voyons que la distance 𝑑 indice deux b est égale à huit mètres. Ensuite, en traçant à partir du deuxième point de la droite rouge, nous rencontrons l’axe des distances à une hauteur de six mètres. Voilà donc notre valeur pour la grandeur 𝑑 indice deux r. En faisant la même chose pour le deuxième point de la droite verte, nous trouvons une valeur de quatre mètres pour 𝑑 indice deux v. Enfin, pour la droite orange, nous obtenons deux mètres pour notre valeur de 𝑑 indice deux o. Maintenant, pour chacune des droites du graphique, nous voulons prendre nos valeurs pour 𝑡 un, 𝑑 un et 𝑡 deux avec la valeur particulière de 𝑑 deux pour cette droite et les remplacer dans cette équation pour calculer la vitesse correspondante.
Commençons par la droite bleue, c’est-à-dire calculer la vitesse 𝑣 indice b. Sur la base de cette équation générale, nous savons que 𝑣 indice b est égal à 𝑑 indice deux b moins 𝑑 un divisé par 𝑡 deux moins 𝑡 un. Ensuite, en remplaçant 𝑑 indice deux b par huit mètres, 𝑑 un par zéro mètre, 𝑡 deux par huit secondes, et 𝑡 par est zéro seconde, nous obtenons cette expression pour la vitesse 𝑣 indice b. Au numérateur, nous avons huit mètres moins zéro mètre, ce qui équivaut à huit mètres. Et au dénominateur, nous avons huit secondes moins zéro seconde, soit huit secondes. Nous avons alors que 𝑣 indice b est égal à huit mètres divisés par huit secondes. Cela correspond à une vitesse d’un mètre par seconde.
Maintenant, continuons et faisons la même chose pour la droite rouge, c’est-à-dire trouver la vitesse 𝑣 indice r. L’expression pour la vitesse 𝑣 indice r va ressembler presque exactement à celle-ci pour 𝑣 indice b. La seule différence est qu’au lieu de ce terme 𝑑 indice deux b, pour la vitesse 𝑣 indice r, nous avons le terme 𝑑 indice deux r. En remplaçant 𝑑 indice deux r par six mètres avec les trois autres valeurs que nous avions auparavant, nous obtenons ici cette expression pour la vitesse 𝑣 indice r. Au numérateur, six mètres moins zéro mètre font six mètres. Et au dénominateur, huit secondes moins zéro seconde sont huit secondes. Nous avons donc que 𝑣 indice r est égal à six mètres divisés par huit secondes, ce qui équivaut à 0,75 mètre par seconde.
Faisons maintenant la même chose pour la droite verte, c’est-à-dire trouver la vitesse 𝑣 indice v. Cette fois dans notre expression pour la vitesse avec les mêmes trois grandeurs 𝑡 un, 𝑑 un et 𝑡 deux, nous avons la grandeur 𝑣 indice deux v. Ensuite, en remplaçant nos valeurs, nous obtenons cette expression numérique pour 𝑣 indice v. Nous pouvons alors calculer cela pour obtenir un résultat de 0,5 mètres par seconde. Notre dernière vitesse à déterminer est 𝑣 indice o, la vitesse correspondant à la droite orange. Cela équivaut à 𝑑 indice deux o moins 𝑑 un divisé par 𝑡 deux moins 𝑡 un. Remplacer nos valeurs de ces quatre grandeurs nous donne cette expression pour 𝑣 indice o. Cela correspond à une vitesse de 0,25 mètre par seconde.
Alors, nous avons donc trouvé les quatre vitesses correspondant aux quatre droites différentes sur ce graphique distance-temps. Laissons un peu d’espace sur le tableau pour pouvoir utiliser ces valeurs de vitesse pour calculer ces différences entre les vitesses des droites adjacentes. La première différence est 𝑣 indice b moins 𝑣 indice r. En remplaçant 𝑣 indice b par un mètre par seconde et 𝑣 indice r par 0,75 mètres par seconde, cette différence est de 0,25 mètres par seconde. Notre deuxième différence est 𝑣 indice r moins 𝑣 indice v. En utilisant nos valeurs de 0,75 mètre par seconde et 0,5 mètre par seconde, cette différence équivaut à 0,25 mètre par seconde.
Ensuite, la différence finale est 𝑣 indice v moins 𝑣 indice o. En utilisant les valeurs de 0,5 mètres par seconde et 0,25 mètres par seconde, cela équivaut de nouveau à une différence de 0,25 mètres par seconde. Nous avons donc constaté que ces trois différences sont identiques et égales à 0,25 mètre par seconde. Puisque nous avons trouvé la même différence entre les vitesses correspondant à chaque paire de droites adjacentes sur le graphique, notre réponse à cette question est oui. Les vitesses correspondant aux droites sur ce graphique distance-temps changent de valeur de manière égale pour toute paire de droites adjacentes.
