Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à interpréter les graphiques distance-temps et vitesse-temps représentant le mouvement d’objets.
La représentation graphique est un moyen pratique pour montrer la relation qui lie deux variables physiques. L’une des variables dans un graphique peut être le temps, dans ce cas le graphique montre comment l’autre variable, quelle qu’elle soit, évolue au cours du temps. Dans cette fiche explicative, nous examinerons les graphiques montrant les relations suivantes :
- la distance parcourue par un objet en fonction du temps,
- la vitesse d’un objet en fonction du temps.
Un graphique représentant l’évolution de la distance parcourue par un objet au cours du temps est appelé un graphique distance-temps ou graphique -.
Un graphique représentant l’évolution de la vitesse d’un objet au cours du temps est appelé un graphique vitesse-temps ou graphique -.
Commençons par nous intéresser à des graphiques distance-temps et vitesse-temps d’un objet qui est au repos à l’instant initial et dont la vitesse reste constante. Ceux-ci sont illustrés par les figures suivantes.
Pour ces deux graphiques, tous les points placés sont sur l’axe du temps. Pour tous ces points, la valeur de leur ordonnée est nulle, il s’agit bien d’un objet immobile.
Voyons maintenant quelle est l’allure des graphiques distance-temps et vitesse-temps pour un objet se déplaçant à vitesse constante depuis l’instant initial. Ceux-ci sont illustrés par les figures suivantes.
Nous pouvons ajouter une courbe de tendance, comme le montre les figures suivantes.
On voit que la courbe du graphique vitesse-temps est une droite horizontale et que la courbe du graphique distance-temps est une droite avec une pente positive.
Sur le graphique vitesse-temps, où l’axe des ordonnées représente les valeurs de la vitesse, a bien une valeur constante.
La vitesse d’un objet est représentée par la distance parcourue par l’objet rapportée à la durée de ce parcours ; on a la formule suivante : où est la vitesse de l’objet, est la distance parcourue par l’objet, et est la durée mise par l’objet pour parcourir cette distance.
Comme la vitesse de l’objet en question est constante, à des durées égales correspondent des distances parcourues égales, comme le montre la figure suivante.
La pente de la droite sur ce graphique distance-temps est égale à la vitesse de l’objet.
La figure suivante montre les graphiques distance-temps et vitesse-temps de deux objets où la vitesse de l’objet le plus rapide (en vert) est le double de la vitesse de l’objet le plus lent (en bleu).
On peut voir sur le graphique distance-temps que la pente de la ligne verte est le double de celle de la ligne bleue.
Regardons maintenant un exemple d’interprétation d’un graphique distance-temps.
Exemple 1: Identifier l’intervalle de temps où un objet est au repos
La distance parcourue par un objet au cours du temps est indiquée sur le graphique. Le graphique est divisé en trois sections : I, II et III. Quelle section correspond à un vitesse nulle pour l’objet ?
Réponse
Un objet a une vitesse nulle si la distance parcourue est égale à zéro durant l’intervalle de temps considéré. Sur ce graphique, cela se traduit par un intervalle de temps pendant lequel la distance ne varie pas.
Dans les sections I et III, les distances parcourues par l’objet augmentent entre le début et la fin de l’intervalle. Tandis que dans la section II, la distance parcourue entre le début et la fin reste inchangée. Dans cette partie du graphique, la courbe de tendance est une droite horizontale, ainsi il n’y a pas de variation de la distance. Cela signifie que la vitesse est nulle dans la section II.
Regardons maintenant un autre exemple similaire.
Exemple 2: Identifier l’intervalle de temps durant lequel un objet a la plus grande vitesse
La distance parcourue par un objet au cours du temps est indiquée sur le graphique suivant. Le graphique est divisé en trois sections : I, II et III. Dans quelle section du graphique la vitesse de l’objet est-elle la plus grande ?
Réponse
La vitesse est la plus grande lorsque le rapport de la distance parcourue et de l’intervalle de temps correspondant est le plus grand.
La figure suivante montre l’évolution de la distance parcourue dans chaque section du graphique à l’aide d’une couleur différente. Sur le schéma d’en-dessous, on a reporté les trois segments sur un même intervalle de temps afin de les comparer.
On voit que est le plus grand pour la courbe bleue, c’est donc dans la section I qu’on a la plus grande vitesse.
Regardons maintenant un autre exemple.
Exemple 3: Analyser le graphique distance-temps pour un objet de vitesse variable
Le graphique montre l’évolution de la distance parcourue par un chien pendant une durée de 8 secondes.
- À quel moment le chien a changé de vitesse ?
- La vitesse d’avant le point changement était-elle plus grande ou plus petite ?
- Quelle est la différence entre les vitesses d’avant et d’après le point changement ?
Réponse
Partie 1
La pente de la courbe de tendance du graphique distance-temps a changé en l’instant t égal à 4 secondes. C’est donc à ce moment que la vitesse a changé.
Partie 2
La pente de la droite est moins raide après 4 secondes. Donc la vitesse du chien a diminué.
Partie 3
Durant les premières 4 secondes, le chien a parcouru une distance de 12 mètres. La vitesse du chien sur cet intervalle de temps est donnée par où est la vitesse du chien, est la distance parcourue, et est la durée.
On obtient
Comme la pente est constante tout au long des premiers 12 mètres, on obtiendra le même résultat en faisant le calcul sur un intervalle plus court.
Par exemple, on peut considérer le mouvement du chien entre 6 mètres et 12 mètres.
On obtient le même résultat :
Après l’instant t égal 4 secondes, le chien est en mouvement pendant encore 4 secondes. Pendant ce deuxième laps de temps, le chien parcourt une distance de 8 mètres. D’où la nouvelle vitesse du chien
On peut donc en déduire la variation de la vitesse du chien comme suit :
Considérons à présent le graphique vitesse-temps d’un objet.
On voit que la vitesse de l’objet augmente avec le temps. Nous pouvons comparer cela au graphique vitesse-temps d’un autre objet représenté sur la figure suivante.
Sur celui-ci, on voit que la vitesse diminue avec le temps.
Regardons un exemple de graphique vitesse-temps pour des objets se déplaçant à différentes vitesses.
Exemple 4: Comparer les vitesses de plusieurs objets à l’aide d’un graphique vitesse-temps
Les vitesses de trois objets sur un même intervalle de temps sont représentées sur le graphique suivant.
- Quel objet a la plus grande vitesse initiale ?
- Quel objet a la plus grande vitesse finale ?
- Quel objet a la plus grande vitesse moyenne ?
- Quel objet n’est pas en mouvement ?
Réponse
Partie 1
La vitesse initiale d’un objet représentée sur le graphique est la vitesse à l’instant t égal à zéro. Nous voyons qu’à l’instant initial, la courbe en jaune indique la plus grande vitesse, l’objet III a donc la plus grande vitesse initiale.
Partie 2
La vitesse finale d’un objet représentée sur le graphique est la vitesse de l’objet à la fin de l’intervalle du temps considéré. Nous voyons qu’en bout de l’axe des temps, la courbe en bleu indique la plus grande vitesse, c’est donc l’objet II qui a la plus grande vitesse finale.
Partie 3
La vitesse moyenne d’un objet qui a une vitesse constante n’est rien d’autre que la vitesse de cet objet. Seul l’objet I a une vitesse constante, car les autres objets changent de vitesse.
Les vitesses de l’objet II et de l’objet III évoluent de manière linéaire, de sorte que leur vitesse moyenne est donnée par
Aucune valeur numérique n’est fournie dans l’énoncé, cependant on peut par construction graphique estimer les vitesses moyennes des objets II et III, comme le montrent les figures suivantes.
À partir des représentations ci-dessus, on peut déduire que l’objet I a la plus grande vitesse moyenne.
Si les valeurs des vitesses initiales et finales sont connues, les vitesses moyennes peuvent être calculées en utilisant la formule de la vitesse moyenne.
Dans cette question, aucune valeur numérique n’est donnée, car le but ici est justement l’interprétation graphique des courbes, à partir notamment de la comparaison des pentes et des points d’intersection.
Il est important de comprendre que la méthode de traçage à l’échelle, illustrée ici, sert d’explication pour comprendre comment identifier la courbe avec la plus grande vitesse moyenne.
On aurait pu dire intuitivement que la ligne rouge représente la plus grande vitesse moyenne. Ceci est correct, mais il faut savoir également justifier sa réponse quand c’est nécessaire.
Partie 4
La courbe pour l’objet I est une ligne horizontale. Une ligne horizontale sur un graphique distance-temps traduit une vitesse nulle, mais ici, il s’agit d’un graphique vitesse-temps, et la vitesse en tout point est supérieure à zéro. L’objet I, tout comme les autres sont en mouvement. Aucun de ces objets n’est immobile.
Nous avons vu que la vitesse d’un objet peut rester constante, augmenter ou diminuer au cours du temps. Tandis que la distance parcourue par un objet peut seulement rester constante ou alors augmenter au cours du temps.
Les figures suivantes représentent les graphiques vitesse-temps et distance-temps pour deux objets, l’un de vitesse croissante, l’autre de vitesse décroissante. Il est important de noter que la distance parcourue par chacun des deux objets augmente avec le temps, mais cette augmentation ne se fait pas au même rythme.
Les lignes sur les deux graphiques distance-temps sont courbes.
Examinons un exemple de graphique distance-temps avec une ligne droite et une ligne courbe.
Exemple 5: Comparer les mouvements de deux objets à l’aide d’un graphique distance-temps
Les tracés en rouge et en bleu représentent l’évolution des distances parcourues en fonction du temps pour deux objets.
- Quel tracé correspond à l’objet ayant parcouru la plus grande distance ?
- Quel tracé correspond à l’objet ayant la plus grande vitesse moyenne ?
- Quel tracé correspond à l’ objet ayant la plus grande vitesse maximale ?
Réponse
Partie 1
Il est important de ne pas confondre un graphique distance-temps avec un graphique qui représente le déplacement d’un objet. La courbe rouge est nettement plus longue que la courbe bleue. S’il s’agissait d’un graphique de représentant le déplacement, la ligne rouge aurait indiqué la plus grande distance.
Cependant, sur un graphique distance-temps, les distances parcourues sont indiquées non pas par les longueurs des tracés, mais par la valeur maximale sur l’axe des distances. Comme la distance parcourue ne peut pas diminuer avec le temps, c’est à la fin de l’intervalle temps considéré, c’est-à-dire à la fin du mouvement que l’on trouve la valeur maximale de la distance parcourue. Regardons à nouveau le graphique :
Nous pouvons voir que les deux tracés s’arrêtent en un même point, ce qui signifie que les distances parcourues par les objets sont égales.
Partie 2
La vitesse moyenne d’un objet sur un intervalle de temps considéré s’obtient en divisant la distance parcourue pendant un intervalle de temps par cet intervalle de temps. Puisque les tracés rouge et bleu s’arrêtent en un même point, on sait que les deux objets ont parcouru la même distance. Cela nous indique également que le mouvement a eu lieu pendant la même durée. Deux objets qui parcourent la même distance sur une même durée ont la même vitesse moyenne sur l’intervalle de temps considéré.
Partie 3
Les vitesses moyennes des deux objets sont égales, mais les vitesses instantanées ne sont pas nécessairement égales. Reprenons l’expression où est la vitesse de l’objet, est la distance parcourue par l’objet, et est la durée mise par l’objet pour parcourir cette distance.
Pour la courbe bleue, la valeur de est constante. Pour la courbe rouge, par contre, la distance parcourue pour une même durée de temps est plus grande vers la fin qu’au début du mouvement. Ceci est illustré dans la figure suivante.
Les vitesses des deux objets sont égales seulement au moment où les deux courbes ont la même pente. Après ce point, l’objet représenté par la courbe rouge a une vitesse plus grande que l’objet représenté par la courbe bleue. L’objet représenté par la courbe rouge a donc la vitesse maximale la plus élevée.
Un autre moyen pour répondre à la question consiste à définir une section de la courbe rouge correspondant à un intervalle de temps arbitraire, inférieur à la durée totale du mouvement des deux objets.
Ainsi une section de la courbe rouge serait délimitée arbitrairement par deux points sur l’axe des compris dans l’intervalle de temps total du mouvement des objets.
Cette section de courbe rouge peut ensuite subir une translation suivant l’axe des de sorte que l’extrémité gauche de la section soit positionnée au même endroit sur l’axe des que la courbe bleue au début de l’intervalle de temps choisi.
N’importe quelle section de la courbe rouge telle que son extrémité droite traduise une augmentation de la distance supérieure à la section de la courbe bleue prise sur un même intervalle de temps, permet de démontrer que la courbe rouge a une plus grande vitesse moyenne que la courbe bleue sur l’intervalle de temps considéré.
Différents intervalles de temps peuvent être choisis par essai et erreur. Pour ces intervalles, la vitesse représentée par la courbe bleue sera toujours la même.
Dès que on trouve un intervalle de temps sur lequel la courbe rouge à une vitesse moyenne supérieure à la courbe bleue, on peut alors affirmer que la vitesse maximale de l’objet représenté par la courbe rouge est la plus grande.
Résumons maintenant ce que nous avons appris dans ces exemples.
Points clés
- Le graphique distance-temps d’un objet au repos est une ligne droite horizontale confondue avec l’axe du temps.
- Le graphique vitesse-temps d’un objet de vitesse constante est une ligne droite horizontale dont l’intersection avec l’axe de vitesse donne la vitesse de l’objet.
- Le graphique distance-temps d’un objet de vitesse constante est une ligne droite dont la pente est égale à la vitesse de l’objet.
- Le graphique vitesse-temps d’un objet dont la vitesse varie uniformément en fonction du temps est une droite dont la pente est positive si la vitesse est croissante et négative si elle est décroissante.
- Si le graphique distance-temps n’est pas une ligne droite, alors la vitesse n’est pas constante.
