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Une fine bobine circulaire de fil d’un rayon de 2,3 centimètres a 28 spires. La bobine transporte un courant constant de 330 milliampères. L’intensité du champ magnétique produit est mesurée à 𝐵 teslas au centre de la bobine. Après la mesure du champ magnétique, la bobine est modifiée de manière à avoir la même longueur mais six spires en moins. Le courant dans la bobine est ensuite ajusté jusqu’à ce que l’intensité du champ magnétique produit au centre de la bobine soit de 𝐵 teslas. Calculez la nouvelle valeur du courant. Donnez la réponse en milliampères à l’entier près. Utilisez une valeur de quatre 𝜋 fois 10 puissance moins sept tesla mètre sur ampère pour 𝜇 zéro.
Dans cette question, on nous donne une bobine circulaire de fil. Nous devons déterminer comment le courant dans le fil doit changer pour maintenir l’intensité du champ magnétique au centre de la bobine constante lorsque le nombre de spires diminue. Commençons par libérer de l’espace et réfléchissons à la configuration initiale de la bobine.
Ici, nous n’avons pas dessiné les 28 spires de la bobine, mais seulement un nombre représentatif. Nous savons que l’intensité du champ magnétique produit est égale à 𝐵 teslas au centre de la bobine. Pour répondre à cette question, nous devrons utiliser la formule qui nous donne l’intensité du champ magnétique au centre d’une bobine de fil. L’intensité du champ magnétique, 𝐵, au centre d’une bobine de fil avec 𝑁 spires est égale à 𝜇 zéro 𝑁𝐼 divisé par deux 𝑟, où 𝐼 est le courant dans le fil et 𝑟 est le rayon de la bobine. Puisque nous parlons de la première configuration de la bobine, étiquetons toutes les variables du côté droit de cette formule avec l’indice un.
On nous a donné les valeurs de ces grandeurs. 𝑟 un est de 2,3 centimètres, 𝑁 un est de 28 tours et 𝐼 un est de 330 milliampères. Nous pourrions résoudre cette question en substituant ces valeurs dans notre formule, en trouvant la valeur de 𝐵, puis en utilisant cette valeur pour calculer le courant dans la deuxième configuration de la bobine. Cependant, il existe en fait une méthode plus simple, qui nous permet de passer quelques calculs. Regardons cela.
Pour résoudre ce problème, nous devons penser à la deuxième configuration de la bobine après qu’elle a été ajustée. Nous savons que la bobine est configurée de sorte que l’intensité du champ magnétique au centre est toujours égale à 𝐵 teslas. Nous pouvons exprimer l’intensité du champ magnétique 𝐵 en utilisant la même formule que précédemment, sauf que maintenant nous étiquetons nos quantités avec l’indice deux. 𝐵 est égal à 𝜇 zéro 𝑁 deux 𝐼 deux divisé par deux 𝑟 deux. Nous avons maintenant deux expressions pour 𝐵: 𝐵 est égal à 𝜇 zéro 𝑁 deux 𝐼 deux divisé par deux 𝑟 deux et 𝐵 est égal à 𝜇 zéro 𝑁 un 𝐼 un divisé par deux 𝑟 un.
Puisque nous savons que 𝐵 a la même valeur dans les deux configurations de la bobine, nous pouvons en fait égaliser ces deux expressions : 𝜇 zéro 𝑁 deux 𝐼 deux divisé par deux 𝑟 deux égale 𝜇 zéro 𝑁 un 𝐼 un divisé par deux 𝑟 un. Ici, nous pouvons annuler les facteurs de 𝜇 zéro et deux. On ne nous dit pas que le rayon de la bobine change. On peut donc supposer que 𝑟 deux est égal à 𝑟 un et annuler également ces termes. Cela nous laisse avec une équation beaucoup plus simple: 𝑁 deux fois 𝐼 deux égale 𝑁 un fois 𝐼 un.
Dans cette question, on nous demande de trouver le courant dans la deuxième bobine, 𝐼 deux. Nous pouvons réorganiser cette expression pour isoler 𝐼 deux en divisant les deux côtés par 𝑁 deux. Cela nous laisse avec la formule 𝐼 deux est égal à 𝑁 un fois 𝐼 un divisé par 𝑁 deux. Tout ce que nous devons faire est de remplacer ces valeurs. Nous savons que 𝑁 un est 28 et 𝐼 un est 330 milliampères. Nous savons également que 𝑁 deux est six de moins que 𝑁 un. 28 moins six nous donne une valeur de 22. En les substituant, nous constatons que 𝐼 un est égal à 28 fois 330 milliampères divisé par 22. En l’insérant dans une calculatrice, nous obtenons une valeur de 420 milliampères.
Donc, voici notre réponse finale à cette question: le nouveau courant dans la bobine modifiée doit avoir une valeur de 420 milliampères.
