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Fiche explicative de la leçon : Champ magnétique induit par le passage d’un courant dans une spire circulaire Physique

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment calculer le champ magnétique induit par le passage d'un courant dans une spire circulaire.

Lorsqu’un fil conducteur est parcouru par un courant, il crée un champ magnétique associé, comme représenté sur le schéma ci-dessous. Les lignes noires représentent quelques-unes des lignes de champ de ce champ magnétique.

Les caractéristiques de ce champ magnétique dépendent du sens du courant et de la forme du fil.

Par exemple, considérons un fil incurvé. L’orientation du champ magnétique change selon la courbure du fil. Le schéma ci-dessous représente le champ magnétique en trois points du fil, indiqués par les points verts.

Nous pouvons continuer à courber ce fil de manière à obtenir un demi-cercle. Les lignes des champs magnétiques autour des points définis se superposeraient alors en un point particulier, comme représenté sur le schéma ci-dessous.

Plus on s’éloigne du fil, plus l’intensité du champ magnétique est faible. Cependant, si le fil est incurvé de cette manière, les lignes de champ magnétique peuvent se superposer et s’additionner les unes aux autres pour créer un champ magnétique plus fort au niveau du point central.

Un fil incurvé formant un cercle complet créera un champ magnétique très fort en son centre qui sera orienté dans un sens particulier.

Le sens du champ magnétique créé peut être déterminé par la règle de la main droite, également appelée règle du tire-bouchon, que l’on peut aussi associée à une vis. Une vis pour droitier ne peut être vissée que dans un seul sens pour s’enfoncer dans une surface.

Le sens dans lequel on tourne la vis correspond au sens du courant dans une spire. Le sens vers lequel la pointe de la vis se dirige quand elle est vissée, correspond au sens du champ magnétique au centre de cette spire.

Pour indiquer si le sens va « dans l’écran » ou « hors de l’écran », nous utilisons les symboles ci-dessous.

Ces symboles correspondent à la vue que nous pourrions avoir d’une vis pointant vers nous ou s’éloignant de nous.

Observons le sens du champ magnétique sur le schéma ci-dessus.

Le courant circule dans la boucle dans le sens contraire des aiguilles d’une montre. La vis doit donc être tournée dans le sens contraire des aiguilles d’une montre. Le sens dans lequel elle est enfoncée est « hors de l’écran ». Cela signifie que le sens du champ magnétique est également « hors de l’écran ».

Considérons un exemple.

Exemple 1: Le sens d’un champ magnétique au centre d’une spire

Une spire circulaire transporte un courant constant 𝐼 circulant dans le sens des aiguilles d’une montre, vu de dessus. Le courant crée un champ magnétique. D’après le schéma, indiquez le sens du champ magnétique au centre de la spire.

Réponse

Le champ magnétique créé par une spire circulaire parcourue par un courant aura un sens unique au niveau du centre de la spire. En utilisant la règle de la main droite, nous savons que le sens dans lequel la vis doit tourner est le même que le courant dans cette spire:le sens des aiguilles d’une montre. Regardons cette vis vue sur un côté de la spire.

Pour que la vis puisse tourner dans le sens des aiguilles d’une montre, elle doit pointer vers la spire. Si on se replace dans la perspective de départ, cela signifie que la vis doit pointer vers l’écran.

La bonne réponse est donc la réponse D:dans l’écran.

Chaque point de la spire contribue à l’intensité du champ magnétique total créé au centre. Pour déterminer l’intensité du champ magnétique produit au centre de la spire, il existe une formule très simple.

Équation : intensité du champ magnétique créé par un courant au centre d’une spire circulaire

L’intensité du champ magnétique 𝐵 au centre d’une spire circulaire parcourue par un courant est donnée par 𝐵=𝜇𝐼2𝑟,𝐼 est le courant dans la spire, 𝑟 le rayon de la spire circulaire et 𝜇 la perméabilité magnétique du vide, dont une valeur usuelle est 4𝜋×10/TmA.

Par conséquent, si le rayon de la spire et l’intensité du courant sont connus, il est possible de calculer l’intensité du champ magnétique.

Plus le courant circulant dans une spire augmente, plus l’intensité du champ magnétique augmente. L’intensité du champ magnétique est directement proportionnelle au courant dans la spire.

Plus le rayon augmente, plus l’intensité du champ magnétique diminue. L’intensité du champ magnétique est inversement proportionnelle au rayon de la spire. Le schéma ci-dessous représente deux spires parcourues par le même courant mais ayant des rayons différents.

Comme les deux spires sont parcourues par le même courant, 𝐼, le seul facteur ayant un impact sur l’intensité du champ magnétique est le rayon. La boucle ayant le plus grand rayon, 𝑟, crée donc un champ magnétique avec une intensité plus faible, 𝐵.

Essayons d’utiliser cette équation avec des données chiffrées. Supposons que nous avons une spire circulaire avec un rayon de 2,5 cm traversée par un courant de 1 A.

Avant de pouvoir utiliser ces valeurs pour calculer l’intensité du champ magnétique au centre de cette boucle, nous devons nous assurer que les unités correspondent. La perméabilité magnétique du vide 𝜇, est exprimée en teslas-mètres par ampère. Cela signifie que nous voulons les unités de longueur en mètres, pas centimètres.

Pour convertir 2,5 cm, on sait qu’il y a 100 cm dans 1 mètre:1100.mcm

En multipliant par 2,5 cm on obtient 1100×2,5=0,025.mcmcmm

Nous avons maintenant toutes les valeurs à introduire dans l’équation de l’intensité du champ magnétique:𝐵=𝜇𝐼2𝑟.

Le courant est 1 A, 𝑟 est 0,025 m et la perméabilité magnétique du vide est 4𝜋×10/TmA:𝐵=4𝜋×10/(1)2(0,025).TmAAm

Les ampères s’annulent au numérateur et on fait la multiplication par 2 au dénominateur:𝐵=4𝜋×100,05.Tmm

Lors de la division, les mètres s’annulent, en laissant seulement des teslas:4𝜋×100,05=2,51×10.TmmT

Ainsi, une spire circulaire de rayon 2,5 cm parcourue par un courant de 1 A produit un champ magnétique d’intensité 2,51×10T en son centre.

Regardons un exemple de question.

Exemple 2: Intensité d’un champ magnétique au centre d’une spire

Une spire circulaire transporte un courant constant de 0,9 A. Le rayon de la boucle est 13 mm. Calculez l’intensité du champ magnétique au centre de la boucle. Donnez votre réponse en teslas exprimée en notation scientifique au dixième près. Utilisez une valeur de 4𝜋×10/TmA pour 𝜇.

  1. 3,3×10T
  2. 1,4×10T
  3. 8,7×10T
  4. 3,5×10T
  5. 4,3×10T

Réponse

Voici un représentation de la boucle.

Pour déterminer l’intensité du champ magnétique de cette boucle, nous utiliserons l’équation suivante 𝐵=𝜇𝐼2𝑟.

Nous avons les valeurs du courant, 0,9 A, et le rayon, 13 mm. Cependant, avant d’utiliser directement ces valeurs, les unités doivent correspondre. On veut le rayon, 13 millimètres, en mètres pour être homogène avec la perméabilité magnétique du vide.

Il y a 1‎ ‎000 mm dans 1 m:11000.mmm

En multipliant par 13 mm on obtient 11000×13=0,013.mmmmmm

Ainsi, le rayon est 0,013 mètre.

On peut maintenant mettre les valeurs de 0,9 A, 0,013 m et 4𝜋×10/TmA dans l’équation:𝐵=4𝜋×10/(0,9)2(0,013).TmAAm

Les ampères s’annulent au numérateur lorsque le courant et la perméabilité sont multipliés ensemble:𝐵=3,6𝜋×102(0,013).Tmm

Le dénominateur est multiplié par 2 comme suit:𝐵=3,6𝜋×100,026.Tmm

La division annule les mètres, laissant juste des teslas:3,6𝜋×100,026=4,349×10.TmmT

Ainsi, l’intensité du champ magnétique au centre de cette spire circulaire, arrondie à la décimale près, est 4,3×10T.

La bonne réponse est E.

Si l’intensité du champ magnétique au centre de la boucle est connue, alors elle peut être utilisée pour trouver d’autres variables dans l’équation.

À titre d’exemple, disons que nous avons une spire avec un rayon inconnu. Si le courant dans le fil et l’intensité du champ magnétique au centre sont connus, alors le rayon peut être déterminé. En commençant par l’équation de base, nous avons:𝐵=𝜇𝐼2𝑟.

Afin d’isoler le rayon, nous voulons 𝑟 d’un côté. Nous pouvons obtenir cela en multipliant de chaque côté par 𝑟 comme suit:𝐵×𝑟=𝜇𝐼2𝑟×𝑟.

Cela annule le 𝑟 sur le côté droit de l’équation:𝑟𝐵=𝜇𝐼2.

Pour isoler 𝑟, on divise les deux côtés par 𝐵:𝑟𝐵𝐵=𝜇𝐼2𝐵.

Le 𝐵 disparait du côté gauche, laissant 𝑟=𝜇𝐼2𝐵.

Cette nouvelle forme de l’équation peut ensuite être utilisée pour déterminer le rayon d’une boucle.

Considérons la boucle présentée sur le schéma ci-dessous.

Le rayon est inconnu, mais le courant est 1 A et l’intensité du champ magnétique au centre est 5×10T. Pour trouver le rayon, nous avons besoin de mettre les autres valeurs données dans la nouvelle équation. En prenant la perméabilité magnétique du vide égale à 4𝜋×10/TmA, nous avons 𝑟=𝜇𝐼2𝐵𝑟=4𝜋×10/(1)2(5×10).TmAAT

Les ampères au numérateur, s’annulent lors de la multiplication:𝑟=4𝜋×102(5×10).TmT

On effectue la multiplication par 2 au dénominateur:𝑟=4𝜋×1010×10.TmT

En divisant ces valeurs, les teslas s’annulent, en laissant seulement des mètres:𝑟=1,257×10.m

En prenant cette valeur au centième près, le rayon de la boucle est 1,26×10mètres.

L’équation de l’intensité du champ magnétique au centre d’une boucle peut également être réarrangée pour un courant inconnu. Regardons à nouveau l’équation de base:𝐵=𝜇𝐼2𝑟.

On commence par isoler 𝐼 en multipliant les deux côtés par 2𝑟 comme suit:𝐵×2𝑟=𝜇𝐼2𝑟×2𝑟.

Cela annule le 2𝑟 sur le côté droit de l’équation:2𝑟𝐵=𝜇𝐼.

On divise ensuite les deux côtés par la perméabilité magnétique du vide, 𝜇, comme suit:2𝑟𝐵𝜇=𝜇𝐼𝜇.

Cela annule la perméabilité magnétique du vide, ne laissant que le courant:2𝑟𝐵𝜇=𝐼.

Regardons un exemple qui utilise cette forme de l’équation.

Exemple 3: Détermination de l’intensité du courant dans une spire

Une spire circulaire d’un rayon de 9,5 cm transporte un courant constant de 𝐼A. La force du champ magnétique créé par ce courant est 5,2×10T au centre de la spire. Calculez 𝐼, en arrondissant la réponse au dixième. On utilisera une valeur de 4𝜋×10/TmA pour 𝜇.

Réponse

L’intensité du courant dans ce fil est inconnue, mais l’intensité du champ magnétique et le rayon de la spire sont connus. Nous pouvons trouver le courant en utilisant l’équation modifiée de l’intensité du champ magnétique d’une boucle:𝐼=2𝑟𝐵𝜇.

Pour obtenir les unités correctes, nous devons d’abord convertir le rayon de centimètres à mètres. Il y a 100 cm dans 1 m:1100.mcm

En multipliant par 9,5 cm on obtient 1100×9,5=0,095.mcmcmm

Le rayon est 0,095 m et l’intensité du champ magnétique est 5,2×10T. La valeur que nous utilisons pour 𝜇 est 4𝜋×10/TmA. Donc, nous avons 𝐼=2(0,095)5,2×104𝜋×10/.mTTmA

La multiplication sur l’ensemble du numérateur donne des unités de teslas-mètres ( T⋅m ):𝐼=9,88×104𝜋×10/.TmTmA

La division de ces nombres permet de simplifier les teslas-mètres laissant 1A au dénominateur:𝐼=9,88×104𝜋×10.A

Le terme 1A au dénominateur est équivalent à un A au numérateur. En effet, diviser par un nombre revient à multiplier par son inverse:1=1×1×=.AAAA

Ainsi, lorsque les nombres sont divisés, il nous reste des ampères:9,88×104𝜋×10=7,86.AA

Arrondi au dixième près, le courant dans la spire circulaire est 7,9 ampères.

Pour augmenter l’intensité du champ magnétique au centre d’une boucle, le courant peut être augmenté ou le rayon peut être diminué. Il y a un autre moyen d’augmenter l’intensité du champ magnétique:en ajoutant plus de boucles.

Lorsque nous avons un ensemble de boucles qui ont exactement le même rayon et qui sont traversées par le même courant, nous déterminons l’intensité du champ magnétique en leur centre en utilisant l’équation suivante.

Équation : intensité du champ magnétique au centre d’un ensemble de plusieurs spires

L’intensité du champ magnétique 𝐵 au centre d’une série de boucles, qui ont le même rayon et transportent le même courant, est donnée par 𝐵=𝜇𝑁𝐼2𝑟,𝐼 est le courant dans les boucles, 𝑟 est le rayon des boucles, 𝑁 est le nombre de boucles, et 𝜇 est la perméabilité magnétique du vide, souvent assimilée à la valeur de 4𝜋×10/TmA.

Quand 𝑁 vaut 1, l’équation est la même que celle de l’intensité du champ magnétique de base au centre d’une spire unique. Chaque boucle supplémentaire multiplie l’intensité du champ magnétique total, de sorte que 2 boucles double l’intensité, 3 le triple, et ainsi de suite.

Cette équation est essentiellement l’équation à une seule spire, mais elle est multipliée par le nombre de spires:𝐵=𝐵×𝑁𝜇𝑁𝐼2𝑟=𝜇𝐼2𝑟×𝑁.plusieursspiresspireunique

Regardons l’exemple de la boucle avec un courant de 1 A et un rayon de 2,5 cm. Si nous alignions 5 de ces boucles à la suite, cela ressemblerait au schéma ci-dessous.

Puisqu’il y a 5 boucles, la valeur de 𝑁 dans l’équation est 5. La valeur du courant est toujours 1 A;le nombre de boucles ne change pas cela. Nous savons de l’exemple précédent que le rayon exprimé en mètres est 0,025 m. Donc, en mettant ces variables dans l’équation, on obtient 𝐵=𝜇𝑁𝐼2𝑟𝐵=4𝜋×10/(5)(1)2(0,025).TmAAm

La multiplication au numérateur annule les ampères, laissant des teslas-mètres. Le nombre de boucles est sans unité:𝐵=6,28×102(0,025).Tmm

Au dénominateur, on multiplie le rayon par 2:𝐵=6,28×100,05.Tmm

La division de ces nombres annule les mètres, laissant l’unité d’intensité du champ magnétique, les teslas:6,28×100,05=1,26×10.TmmT

Si on compare cette valeur de 1,26×10T à la valeur obtenue pour une seule boucle de ce rayon et courant, on verra qu’il est 5 fois plus grand.

Regardons un exemple.

Exemple 4: Détermination du champ magnétique dans une bobine à spires multiples

Une mince bobine circulaire de rayon 4,2 cm transporte un courant constant de 3,9 A. La bobine est composée de 35 spires. Quelle est l’intensité du champ magnétique au centre de la bobine?Donnez votre réponse en teslas, en adoptant une notation scientifique au dixième près. Utilisez 𝜇=4𝜋×10/TmA.

  1. 1,7×10T
  2. 4,1×10T
  3. 4,9×10T
  4. 5,8×10T
  5. 2,0×10T

Réponse

Au lieu d’aligner parfaitement de nombreuses boucles, en réalité on utilise un seul fil mince qui est étroitement enroulé. Dans ce cas, 𝑁 correspond au nombre de tours que le fil fait, plutôt qu’au nombre de boucles individuelles.

Ce problème peut être résolu en utilisant l’équation:𝐵=𝜇𝑁𝐼2𝑟.

Avant de le faire, convertissons 4,2 centimètres en mètres pour correspondre aux unités de 𝜇. Il y a 100 cm dans 1 m:1100.mcm

En multipliant par 4,2 centimètres on obtient 1100×4,2=0,042.mcmcmm

Donc, 4,2 cm est égale à 0,042 m.

Nous pouvons maintenant mettre toutes les variables dans l’équation. Le courant est 3,9 A, le rayon est 0,042 m, et le nombre de tours est égal à 35:𝐵=𝜇𝑁𝐼2𝑟𝐵=4𝜋×10/(35)(3,9)2(0,042).TmAAm

Les ampères s’annulent au numérateur lorsque les termes sont multipliés:𝐵=1,715×102(0,042).Tmm

Multiplier par 2 au dénominateur donne 𝐵=1,715×100,084.Tmm

Lors de la division, les mètres vont se simplifier, laissant seulement des teslas:1,715×100,084=2,04×10.TmmT

Ainsi, au dixième près, l’intensité du champ magnétique au centre de cette bobine de 35 spires est 2,0×10T soit la réponse E.

Supposons maintenant que nous avons une bobine où l’intensité du champ magnétique est connue, mais pas le nombre de spires.

Pour déterminer le nombre de spires, on veut déterminer la valeur de 𝑁. Regarder l’équation 𝐵=𝜇𝑁𝐼2𝑟, nous voyons que nous devons isoler 𝑁. Nous pouvons commencer à le faire en multipliant de chaque côté par 2𝑟:𝐵×2𝑟=𝜇𝑁𝐼2𝑟×2𝑟.

Cela permet de supprimer 2𝑟 du côté droit:2𝑟𝐵=𝜇𝑁𝐼.

Maintenant, on peut diviser les deux côtés par 𝜇𝐼2𝑟𝐵𝜇𝐼=𝜇𝑁𝐼𝜇𝐼.

Cela simplifie le terme 𝜇𝐼 du côté droit, laissant juste 𝑁:2𝑟𝐵𝜇𝐼=𝑁.

Considérons un exemple.

Exemple 5: Détermination du nombre de spires à partir de l’intensité du champ magnétique

Une bobine mince avec un rayon de 22 mm, composée de 𝑁 tours est traversée par un courant constant de 0,45 A. La force du champ magnétique produit par le courant est 2,3×10T au centre de la bobine. Calculez 𝑁 arrondi au nombre de tours le plus proche. Utilisez une valeur de 4𝜋×10/TmA pour 𝜇.

Réponse

La forme modifiée de l’équation qui peut être utilisée pour trouver 𝑁 est:𝑁=2𝑟𝐵𝜇𝐼.

Avant de pouvoir utiliser cette équation, nous devons nous assurer que les unités sont homogènes. Cela signifie que le rayon de 22 mm doit être converti en mètres.

Il y a 1‎ ‎000 millimètres dans 1 mètre:11000.mmm

En multipliant par 22 mm on obtient 11000×22=0,022.mmmmmm

Donc, 22 mm est égale à 0,022 mètre.

Nous mettons maintenant les valeurs dans l’équation de 𝑁. Le courant est 0,45 A, le rayon est 0,022 m, l’intensité du champ magnétique est 2,3×10T et 𝜇 vaut 4𝜋×10/TmA. Cela nous donne:𝑁=2𝑟𝐵𝜇𝐼𝑁=2(0,022)2,3×10(4𝜋×10/)(0,45).mTTmAA

En multipliant au numérateur, on obtient des teslas-mètres comme suit:𝑁=1,012×10(4𝜋×10/)(0,45).TmTmAA

La multiplication au dénominateur annule les ampères, laissant des teslas-mètres:𝑁=1,012×105,65×10.TmTm

En divisant ces deux nombres, les unités s’annulent complètement. C’est idéal, en effet le nombre de tours est sans dimension:1,012×105,65×10=17,89.TmTm

Arrondie à l’entier près, cette bobine comporte donc 18 tours.

Résumons ce que nous avons appris dans cette fiche explicative.

Points clés

  • Le sens du champ magnétique au centre d’une spire circulaire est donné par la règle de la main droite.
  • L’intensité du champ magnétique 𝐵 au centre d’une spire circulaire est donnée par l’équation 𝐵=𝜇𝐼2𝑟,𝐼 est le courant dans la boucle, 𝑟 est le rayon est la boucle, et 𝜇 est la perméabilité magnétique du vide, ayant pour valeur 4𝜋×10/TmA.
  • Lorsqu’il s’agit d’une bobine composée de plusieurs spires de même rayon, l’intensité du champ magnétique 𝐵 est donnée par l’équation 𝐵=𝜇𝑁𝐼2𝑟,𝐼 est le courant dans chaque spire, 𝑟 est le rayon des spires, 𝑁 est le nombre de spires, et 𝜇 est la perméabilité magnétique du vide ayant pour valeur 4𝜋×10/TmA.

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