Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment calculer le champ magnétique induit par le passage d'un courant dans une spire circulaire.
Lorsqu’un fil conducteur est parcouru par un courant, il crée un champ magnétique associé, comme représenté sur le schéma ci-dessous. Les lignes noires représentent quelques-unes des lignes de champ de ce champ magnétique.
Les caractéristiques de ce champ magnétique dépendent du sens du courant et de la forme du fil.
Par exemple, considérons un fil incurvé. L’orientation du champ magnétique change selon la courbure du fil. Le schéma ci-dessous représente le champ magnétique en trois points du fil, indiqués par les points verts.
Nous pouvons continuer à courber ce fil de manière à obtenir un demi-cercle. Les lignes des champs magnétiques autour des points définis se superposeraient alors en un point particulier, comme représenté sur le schéma ci-dessous.
Plus on s’éloigne du fil, plus l’intensité du champ magnétique est faible. Cependant, si le fil est incurvé de cette manière, les lignes de champ magnétique peuvent se superposer et s’additionner les unes aux autres pour créer un champ magnétique plus fort au niveau du point central.
Un fil incurvé formant un cercle complet créera un champ magnétique très fort en son centre qui sera orienté dans un sens particulier.
Le sens du champ magnétique créé peut être déterminé par la règle de la main droite, également appelée règle du tire-bouchon, que l’on peut aussi associée à une vis. Une vis pour droitier ne peut être vissée que dans un seul sens pour s’enfoncer dans une surface.
Le sens dans lequel on tourne la vis correspond au sens du courant dans une spire. Le sens vers lequel la pointe de la vis se dirige quand elle est vissée, correspond au sens du champ magnétique au centre de cette spire.
Pour indiquer si le sens va « dans l’écran » ou « hors de l’écran », nous utilisons les symboles ci-dessous.
Ces symboles correspondent à la vue que nous pourrions avoir d’une vis pointant vers nous ou s’éloignant de nous.
Observons le sens du champ magnétique sur le schéma ci-dessus.
Le courant circule dans la boucle dans le sens contraire des aiguilles d’une montre. La vis doit donc être tournée dans le sens contraire des aiguilles d’une montre. Le sens dans lequel elle est enfoncée est « hors de l’écran ». Cela signifie que le sens du champ magnétique est également « hors de l’écran ».
Considérons un exemple.
Exemple 1: Le sens d’un champ magnétique au centre d’une spire
Une spire circulaire transporte un courant constant circulant dans le sens des aiguilles d’une montre, vu de dessus. Le courant crée un champ magnétique. D’après le schéma, indiquez le sens du champ magnétique au centre de la spire.
Réponse
Le champ magnétique créé par une spire circulaire parcourue par un courant aura un sens unique au niveau du centre de la spire. En utilisant la règle de la main droite, nous savons que le sens dans lequel la vis doit tourner est le même que le courant dans cette spire : le sens des aiguilles d’une montre. Regardons cette vis vue sur un côté de la spire.
Pour que la vis puisse tourner dans le sens des aiguilles d’une montre, elle doit pointer vers la spire. Si on se replace dans la perspective de départ, cela signifie que la vis doit pointer vers l’écran.
La bonne réponse est donc la réponse D : dans l’écran.
Chaque point de la spire contribue à l’intensité du champ magnétique total créé au centre. Pour déterminer l’intensité du champ magnétique produit au centre de la spire, il existe une formule très simple.
Équation : intensité du champ magnétique créé par un courant au centre d’une spire circulaire
L’intensité du champ magnétique au centre d’une spire circulaire parcourue par un courant est donnée par où est le courant dans la spire, le rayon de la spire circulaire et la perméabilité magnétique du vide, dont une valeur usuelle est .
Par conséquent, si le rayon de la spire et l’intensité du courant sont connus, il est possible de calculer l’intensité du champ magnétique.
Plus le courant circulant dans une spire augmente, plus l’intensité du champ magnétique augmente. L’intensité du champ magnétique est directement proportionnelle au courant dans la spire.
Plus le rayon augmente, plus l’intensité du champ magnétique diminue. L’intensité du champ magnétique est inversement proportionnelle au rayon de la spire. Le schéma ci-dessous représente deux spires parcourues par le même courant mais ayant des rayons différents.
Comme les deux spires sont parcourues par le même courant, , le seul facteur ayant un impact sur l’intensité du champ magnétique est le rayon. La boucle ayant le plus grand rayon, , crée donc un champ magnétique avec une intensité plus faible, .
Essayons d’utiliser cette équation avec des données chiffrées. Supposons que nous avons une spire circulaire avec un rayon de 2,5 cm traversée par un courant de 1 A.
Avant de pouvoir utiliser ces valeurs pour calculer l’intensité du champ magnétique au centre de cette boucle, nous devons nous assurer que les unités correspondent. La perméabilité magnétique du vide , est exprimée en teslas-mètres par ampère. Cela signifie que nous voulons les unités de longueur en mètres, pas centimètres.
Pour convertir 2,5 cm, on sait qu’il y a 100 cm dans 1 mètre :
En multipliant par 2,5 cm on obtient
Nous avons maintenant toutes les valeurs à introduire dans l’équation de l’intensité du champ magnétique :
Le courant est 1 A, est 0,025 m et la perméabilité magnétique du vide est :
Les ampères s’annulent au numérateur et on fait la multiplication par 2 au dénominateur :
Lors de la division, les mètres s’annulent, en laissant seulement des teslas :
Ainsi, une spire circulaire de rayon 2,5 cm parcourue par un courant de 1 A produit un champ magnétique d’intensité en son centre.
Regardons un exemple de question.
Exemple 2: Intensité d’un champ magnétique au centre d’une spire
Une spire circulaire transporte un courant constant de 0,9 A. Le rayon de la boucle est 13 mm. Calculez l’intensité du champ magnétique au centre de la boucle. Donnez votre réponse en teslas exprimée en notation scientifique au dixième près. Utilisez une valeur de pour .
Réponse
Voici un représentation de la boucle.
Pour déterminer l’intensité du champ magnétique de cette boucle, nous utiliserons l’équation suivante
Nous avons les valeurs du courant, 0,9 A, et le rayon, 13 mm. Cependant, avant d’utiliser directement ces valeurs, les unités doivent correspondre. On veut le rayon, 13 millimètres, en mètres pour être homogène avec la perméabilité magnétique du vide.
Il y a 1 000 mm dans 1 m :
En multipliant par 13 mm on obtient
Ainsi, le rayon est 0,013 mètre.
On peut maintenant mettre les valeurs de 0,9 A, 0,013 m et dans l’équation :
Les ampères s’annulent au numérateur lorsque le courant et la perméabilité sont multipliés ensemble :
Le dénominateur est multiplié par 2 comme suit :
La division annule les mètres, laissant juste des teslas :
Ainsi, l’intensité du champ magnétique au centre de cette spire circulaire, arrondie à la décimale près, est .
La bonne réponse est E.
Si l’intensité du champ magnétique au centre de la boucle est connue, alors elle peut être utilisée pour trouver d’autres variables dans l’équation.
À titre d’exemple, disons que nous avons une spire avec un rayon inconnu. Si le courant dans le fil et l’intensité du champ magnétique au centre sont connus, alors le rayon peut être déterminé. En commençant par l’équation de base, nous avons :
Afin d’isoler le rayon, nous voulons d’un côté. Nous pouvons obtenir cela en multipliant de chaque côté par comme suit :
Cela annule le sur le côté droit de l’équation :
Pour isoler , on divise les deux côtés par :
Le disparait du côté gauche, laissant
Cette nouvelle forme de l’équation peut ensuite être utilisée pour déterminer le rayon d’une boucle.
Considérons la boucle présentée sur le schéma ci-dessous.
Le rayon est inconnu, mais le courant est 1 A et l’intensité du champ magnétique au centre est . Pour trouver le rayon, nous avons besoin de mettre les autres valeurs données dans la nouvelle équation. En prenant la perméabilité magnétique du vide égale à , nous avons
Les ampères au numérateur, s’annulent lors de la multiplication :
On effectue la multiplication par 2 au dénominateur :
En divisant ces valeurs, les teslas s’annulent, en laissant seulement des mètres :
En prenant cette valeur au centième près, le rayon de la boucle est .
L’équation de l’intensité du champ magnétique au centre d’une boucle peut également être réarrangée pour un courant inconnu. Regardons à nouveau l’équation de base :
On commence par isoler en multipliant les deux côtés par comme suit :
Cela annule le sur le côté droit de l’équation :
On divise ensuite les deux côtés par la perméabilité magnétique du vide, , comme suit :
Cela annule la perméabilité magnétique du vide, ne laissant que le courant :
Regardons un exemple qui utilise cette forme de l’équation.
Exemple 3: Détermination de l’intensité du courant dans une spire
Une spire circulaire d’un rayon de 9,5 cm transporte un courant constant de . La force du champ magnétique créé par ce courant est au centre de la spire. Calculez , en arrondissant la réponse au dixième. On utilisera une valeur de pour .
Réponse
L’intensité du courant dans ce fil est inconnue, mais l’intensité du champ magnétique et le rayon de la spire sont connus. Nous pouvons trouver le courant en utilisant l’équation modifiée de l’intensité du champ magnétique d’une boucle :
Pour obtenir les unités correctes, nous devons d’abord convertir le rayon de centimètres à mètres. Il y a 100 cm dans 1 m :
En multipliant par 9,5 cm on obtient
Le rayon est 0,095 m et l’intensité du champ magnétique est . La valeur que nous utilisons pour est . Donc, nous avons
La multiplication sur l’ensemble du numérateur donne des unités de teslas-mètres ( T⋅m ) :
La division de ces nombres permet de simplifier les teslas-mètres laissant au dénominateur :
Le terme au dénominateur est équivalent à un A au numérateur. En effet, diviser par un nombre revient à multiplier par son inverse :
Ainsi, lorsque les nombres sont divisés, il nous reste des ampères :
Arrondi au dixième près, le courant dans la spire circulaire est 7,9 ampères.
Pour augmenter l’intensité du champ magnétique au centre d’une boucle, le courant peut être augmenté ou le rayon peut être diminué. Il y a un autre moyen d’augmenter l’intensité du champ magnétique : en ajoutant plus de boucles.
Lorsque nous avons un ensemble de boucles qui ont exactement le même rayon et qui sont traversées par le même courant, nous déterminons l’intensité du champ magnétique en leur centre en utilisant l’équation suivante.
Équation : intensité du champ magnétique au centre d’un ensemble de plusieurs spires
L’intensité du champ magnétique au centre d’une série de boucles, qui ont le même rayon et transportent le même courant, est donnée par où est le courant dans les boucles, est le rayon des boucles, est le nombre de boucles, et est la perméabilité magnétique du vide, souvent assimilée à la valeur de .
Quand vaut 1, l’équation est la même que celle de l’intensité du champ magnétique de base au centre d’une spire unique. Chaque boucle supplémentaire multiplie l’intensité du champ magnétique total, de sorte que 2 boucles double l’intensité, 3 le triple, et ainsi de suite.
Cette équation est essentiellement l’équation à une seule spire, mais elle est multipliée par le nombre de spires :
Regardons l’exemple de la boucle avec un courant de 1 A et un rayon de 2,5 cm. Si nous alignions 5 de ces boucles à la suite, cela ressemblerait au schéma ci-dessous.
Puisqu’il y a 5 boucles, la valeur de dans l’équation est 5. La valeur du courant est toujours 1 A ; le nombre de boucles ne change pas cela. Nous savons de l’exemple précédent que le rayon exprimé en mètres est 0,025 m. Donc, en mettant ces variables dans l’équation, on obtient
La multiplication au numérateur annule les ampères, laissant des teslas-mètres. Le nombre de boucles est sans unité :
Au dénominateur, on multiplie le rayon par 2 :
La division de ces nombres annule les mètres, laissant l’unité d’intensité du champ magnétique, les teslas :
Si on compare cette valeur de à la valeur obtenue pour une seule boucle de ce rayon et courant, on verra qu’il est 5 fois plus grand.
Regardons un exemple.
Exemple 4: Détermination du champ magnétique dans une bobine à spires multiples
Une mince bobine circulaire de rayon 4,2 cm transporte un courant constant de 3,9 A. La bobine est composée de 35 spires. Quelle est l’intensité du champ magnétique au centre de la bobine ? Donnez votre réponse en teslas, en adoptant une notation scientifique au dixième près. Utilisez .
Réponse
Au lieu d’aligner parfaitement de nombreuses boucles, en réalité on utilise un seul fil mince qui est étroitement enroulé. Dans ce cas, correspond au nombre de tours que le fil fait, plutôt qu’au nombre de boucles individuelles.
Ce problème peut être résolu en utilisant l’équation :
Avant de le faire, convertissons 4,2 centimètres en mètres pour correspondre aux unités de . Il y a 100 cm dans 1 m :
En multipliant par 4,2 centimètres on obtient
Donc, 4,2 cm est égale à 0,042 m.
Nous pouvons maintenant mettre toutes les variables dans l’équation. Le courant est 3,9 A, le rayon est 0,042 m, et le nombre de tours est égal à 35 :
Les ampères s’annulent au numérateur lorsque les termes sont multipliés :
Multiplier par 2 au dénominateur donne
Lors de la division, les mètres vont se simplifier, laissant seulement des teslas :
Ainsi, au dixième près, l’intensité du champ magnétique au centre de cette bobine de 35 spires est soit la réponse E.
Supposons maintenant que nous avons une bobine où l’intensité du champ magnétique est connue, mais pas le nombre de spires.
Pour déterminer le nombre de spires, on veut déterminer la valeur de . Regarder l’équation nous voyons que nous devons isoler . Nous pouvons commencer à le faire en multipliant de chaque côté par :
Cela permet de supprimer du côté droit :
Maintenant, on peut diviser les deux côtés par
Cela simplifie le terme du côté droit, laissant juste :
Considérons un exemple.
Exemple 5: Détermination du nombre de spires à partir de l’intensité du champ magnétique
Une bobine mince avec un rayon de 22 mm, composée de tours est traversée par un courant constant de 0,45 A. La force du champ magnétique produit par le courant est au centre de la bobine. Calculez arrondi au nombre de tours le plus proche. Utilisez une valeur de pour .
Réponse
La forme modifiée de l’équation qui peut être utilisée pour trouver est :
Avant de pouvoir utiliser cette équation, nous devons nous assurer que les unités sont homogènes. Cela signifie que le rayon de 22 mm doit être converti en mètres.
Il y a 1 000 millimètres dans 1 mètre :
En multipliant par 22 mm on obtient
Donc, 22 mm est égale à 0,022 mètre.
Nous mettons maintenant les valeurs dans l’équation de . Le courant est 0,45 A, le rayon est 0,022 m, l’intensité du champ magnétique est et vaut . Cela nous donne :
En multipliant au numérateur, on obtient des teslas-mètres comme suit :
La multiplication au dénominateur annule les ampères, laissant des teslas-mètres :
En divisant ces deux nombres, les unités s’annulent complètement. C’est idéal, en effet le nombre de tours est sans dimension :
Arrondie à l’entier près, cette bobine comporte donc 18 tours.
Résumons ce que nous avons appris dans cette fiche explicative.
Points clés
- Le sens du champ magnétique au centre d’une spire circulaire est donné par la règle de la main droite.
- L’intensité du champ magnétique au centre d’une spire circulaire est donnée par l’équation où est le courant dans la boucle, est le rayon est la boucle, et est la perméabilité magnétique du vide, ayant pour valeur .
- Lorsqu’il s’agit d’une bobine composée de plusieurs spires de même rayon, l’intensité du champ magnétique est donnée par l’équation où est le courant dans chaque spire, est le rayon des spires, est le nombre de spires, et est la perméabilité magnétique du vide ayant pour valeur .
