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Une personne a parcouru à vélo 7√2km vers l’est, puis a parcouru 21 km à 45 degrés vers le sud-est. Déterminez l’intensité et la direction du déplacement, en arrondissant la direction à la minute d’arc près.
La figure montre le déplacement de la personne du point 𝐴 au point 𝐶. Il a tout d'abord parcouru sept racine de deux kilomètres en direction de l'est. Ensuite, il a parcouru 21 kilomètres à 45 degrés vers le sud-est. La norme du déplacement est la distance 𝑥 entre 𝐴 et 𝐶 et le sens du déplacement est donné par l’angle 𝜃.
Puisque la somme des angles sur une droite est égale à 180 degrés, nous savons que l'angle 𝐴𝐵𝐶 est égal à 135 degrés. Nous pouvons maintenant utiliser la loi des cosinus - 𝐴 au carré égale 𝐵 au carré plus 𝐶 au carré moins deux 𝐵𝐶 cosinus 𝐴 - pour calculer la norme du déplacement.
En substituant nos valeurs, nous obtenons 𝑥 au carré égale 21 au carré plus sept racine de deux au carré moins deux fois 21 fois sept racine de deux fois cosinus 135. Nous obtenons ainsi une valeur de 𝑥 au carré égale à 833. La racine carrée des deux côtés de cette équation donne que 𝑥 égale sept racine de 17. Par conséquent, la norme du déplacement est de sept racine 17 kilomètres.
Pour déterminer le sens du déplacement - l'angle 𝜃 dans ce cas - nous allons utiliser la loi des sinus. Sinus 𝐴 divisé par 𝐴 égale sinus 𝐵 divisé par 𝐵. En substituant nos valeurs, nous obtenons sinus 𝜃 divisé par 21 égale sinus 135 divisé par sept racine de 17. Nous pouvons multiplier les deux côtés de cette équation par 21 de sorte que sinus 𝜃 est égal au sinus de 135 divisé par sept racine de 17 multiplié par 21. Nous obtenons ainsi une valeur de 0.5145.
Pour calculer 𝜃, nous appliquons la réciproque de la fonction sinus. Ainsi, notre angle 𝜃 est de 30.964 degrés. Puisque nous voulons notre réponse à une minute d’arc près, il nous faut convertir 0.964 en minutes. Pour cela, nous multiplions par 60, car il y a 60 minutes dans un degré. 0.964 multiplié par 60 est égal à 57.84. Ainsi, notre angle à la minute d’arc près est de 30 degrés et 58 minutes.
Cela signifie que le sens du déplacement à la minute d’arc près est de 30 degrés et 58 minutes vers le sud-est.
