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Quel est le nombre complexe situé au milieu de 𝑧 un et 𝑧 deux dans le plan complexe donné ?
On sait que tout point du plan complexe d'Argand de coordonnées cartésiennes 𝑥, 𝑦 peut s'écrire comme un nombre complexe 𝑧 égale 𝑥 plus 𝑦𝑖. En effet, la coordonnée 𝑥 correspond à la partie réelle, et la coordonnée 𝑦 à la partie imaginaire. Les coordonnées de 𝑧 indice un sont : moins deux, sept. Elle représente donc le nombre complexe moins deux plus sept 𝑖. 𝑧 deux a pour coordonnées six, moins trois. Ce qui revient à dire que 𝑧 deux est égal au nombre complexe six moins trois 𝑖. Il nous faut trouver le point milieu de ces deux nombres complexes.
On sait que le point milieu de n'importe quelles deux coordonnées a pour abscisse la coordonnée 𝑥 un plus 𝑥 deux divisé par deux et pour ordonnée la coordonnée 𝑦 un plus 𝑦 deux divisé par deux. On doit trouver séparément les coordonnées 𝑥 et 𝑦 du point milieu. Les abscisses sont moins deux et six, et les ordonnées sont sept et moins trois. Moins deux plus six est égal à quatre. En divisant ce nombre par deux, on obtient deux. De même, sept plus moins trois est égal à quatre. Et en divisant ce résultat par deux, on obtient également deux. Les coordonnées du point milieu de 𝑧 un et 𝑧 deux sont deux, deux. Cela équivaut au nombre complexe deux plus deux 𝑖.
On peut également le représenter sur le plan complexe d'Argand. Pour aller de 𝑧 un au point milieu, on se déplace horizontalement de quatre unités vers la droite et on descend de cinq unités. Pour aller du point milieu à 𝑧 deux, on parcourt également quatre unités horizontalement vers la droite et on descend de cinq unités. Ce qui confirme que le point milieu a pour coordonnées deux, deux et le nombre complexe deux plus deux 𝑖.
