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La hauteur d’un phare est de 60 mètres. Les angles d’élévation entre deux bateaux dans la mer et le sommet du phare sont 29 degrés et 39 degrés respectivement. Sachant que les deux bateaux et la base du phare sont alignés et que les bateaux sont du même côté du phare, calculez la distance entre les deux bateaux en donnant la réponse au mètre près.
Alors, pour nous aider à comprendre ce qui se passe, je vais dessiner un croquis. Tout d’abord, j’ai dessiné le phare qui mesure 60 mètres de haut. Et puis, nous avons deux bateaux. Et ces deux bateaux sont alignés avec la base du phare. Donc, ils vont être sur une même droite avec la base du phare. Et aussi, ils sont du même côté du phare. Donc, je les ai dessinés du même côté du phare et je les ai appelés 𝐴 et 𝐵.
Et puis, on nous dit également que les angles d’élévation entre les deux bateaux et le sommet du phare sont respectivement de 29 degrés et 39 degrés. Et l’angle d’élévation est l’angle formé à partir de l’horizontale jusqu’au point que nous observons, qui est le sommet du phare. Donc, ce que nous avons créé ici, ce sont deux triangles rectangles. Et nous pouvons les utiliser pour essayer de résoudre le problème. Et pour résoudre le problème, nous devons trouver la distance entre les bateaux 𝐴 et 𝐵.
Donc, pour trouver cette distance, nous devons d’abord trouver la distance entre le bateau 𝐴 et le phare et la distance entre le bateau 𝐵 et le phare. Donc, nous allons commencer par le bateau 𝐴 jusqu’au phare. Et ce que j’ai fait, c’est que j’ai dessiné un triangle rectangle ici en bleu pour nous aider à voir avec quoi nous travaillons. Comme nous regardons un triangle rectangle, nous pourrions utiliser le théorème de Pythagore ou les rapports trigonométriques. Eh bien, nous allons utiliser des rapports trigonométriques parce que nous avons un angle et un côté.
Donc, maintenant, ce que je fais, c’est de désigner les côtés. Nous avons l’hypoténuse qui est opposée à l’angle droit et le côté le plus long. Nous avons l’opposé qui est opposé à l’angle de 39 degrés. Et nous avons le côté adjacent. Et l’adjacent est juste à côté de l’angle et se trouve entre l’angle en question et l’angle droit.
Maintenant, ce que nous devons faire, c’est décider quel rapport utiliser. Eh bien, nous avons le côté opposé et nous voulons trouver l’adjacent. Donc, nous avons O et A. Donc, par conséquent, nous allons utiliser la partie TOA de SOH CAH TOA, notre aide-mémoire. Et ce que cela nous dit, c’est que la tangente de 𝜃, donc la tangente de notre angle, va être égal à l’opposé divisé par l’adjacent.
Donc, par conséquent, si nous substituons les valeurs, nous allons avoir tangente de 39 va être égal à 60, car c’est l’opposé, divisé par 𝑥, parce que 𝑥 est l’adjacent. Donc, si nous multiplions chaque membre de l’équation par 𝑥, nous allons obtenir tangente 39 est égal à 60. Et puis, comme nous voulons trouver 𝑥, ce que nous faisons est de diviser chaque membre de l’équation par tangente 39. Donc, par conséquent, 𝑥 va être égal à 60 sur tangente 39.
Et juste pour maintenir la précision, je ne vais pas encore calculer cela. Je ne le calculerai que lorsque je chercherai la réponse finale. Et c’est la distance entre 𝐴 et 𝐵. D’accord, alors, nous savons maintenant ce que représente 𝑥, la distance entre le phare et 𝐴. Nous devons déterminer la distance entre le phare et 𝐵.
Donc, maintenant, comme je l’ai dit, ce que nous voulons faire, c’est trouver la distance entre le phare, donc la base du phare, et 𝐵. Et j’ai désigné cela dans le schéma comme 𝑦. Cette fois, nous allons avoir un triangle rectangle, que j’ai dessiné en vert. Mais l’angle qui nous intéresse cette fois sera de 29 degrés. Donc, encore une fois, parce que nous avons l’opposé et l’adjacent, parce que l’opposé est à nouveau 60 mètres, mais l’adjacent est ce que nous recherchons, donc c’est 𝑦, alors nous allons utiliser le rapport de tangente une fois de plus.
Donc, nous allons obtenir tangente 29 est égal à 60 sur 𝑦. Et puis, si nous réorganisons de la même manière que précédemment, nous allons obtenir 𝑦 est égal à 60 sur tangente 29. Et c’est parce que nous avons multiplié par 𝑦 puis divisé par tangente 29. Par conséquent, la distance de 𝐴 à 𝐵 sera égale à 𝑦 moins 𝑥. Donc, cela va être égal à 60 sur tangente 29 moins 60 sur tangente 39. Et cela va nous donner une réponse de 34,149, etc.
Alors, maintenant, ce que nous devons faire, c’est décider comment écrire la réponse. Eh bien, si nous observons la question, on nous demande de donner la réponse au mètre près. Donc, si nous arrondissons 34,149 au mètre près, nous obtiendrons 34 mètres. Et c’est parce que le chiffre après le quatre était un, nous gardons donc le quatre. Donc, on peut dire que la distance entre les deux bateaux est de 34 mètres.
