Vidéo de la leçon: Angles d’élévation et de dépression Mathématiques

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment résoudre des problèmes de la vie courante impliquant des angles d’élévation et de dépression. Avant de commencer, vous devriez déjà être familier avec l’utilisation de la trigonométrie dans les triangles rectangles pour calculer des mesures d’angles et des longueurs de côtés ainsi qu’avec l’application de la loi des sinus dans des triangles quelconques.

Commençons par donner la signification de ces termes d’angle d’élévation et d’angle de dépression. Supposons que vous vous teniez au bord d’une falaise. Un angle d’élévation est l’angle formé entre l’horizontale et l’axe de votre regard lorsque vous regardez quelque chose situé au-dessus de vous. Par exemple, si vous regardez vers le soleil, un angle d’élévation se forme entre l’horizon et l’axe de votre regard. À l’opposé, un angle de dépression est l’angle formé entre l’horizontale et l’axe de votre regard, la ligne de visée, lorsque vous regardez quelque chose situé en dessous de vous. Ainsi, si vous regardez par exemple un bateau en mer, il y a un angle de dépression ici. L’essentiel à retenir est que dans chaque cas, l’angle est formé entre l’horizontale et la direction d’observation.

On peut souvent résoudre des problèmes impliquant des angles d’élévation et de dépression en utilisant des triangles rectangles. Si on trace une droite verticale, on obtient des triangles rectangles formés par la verticale, l’horizontale et la ligne de visée. Ce sont ces triangles ici. Et l’angle d’élévation ou l’angle de dépression est un des angles de ce triangle. Savoir appliquer la trigonométrie dans des triangles rectangles est donc vraiment utile pour ce type de problèmes. Pour certains problèmes plus complexes, il faut parfois appliquer la loi des sinus dans des triangles quelconques, comme nous le verrons dans certains exemples.

Tous les problèmes que nous allons étudier dans cette vidéo sont des problèmes concrets. Dans certains cas, nous devrons dessiner nous-mêmes une figure à partir de l’énoncé. Il s’agit d’une compétence très importante. Et comme toujours, nous devrons nous assurer de lire attentivement toutes les informations présentes dans l’énoncé. Pour notre premier problème cependant, une figure nous sera fournie.

La distance entre deux bâtiments est de 40 mètres. Le sommet du bâtiment 𝐶𝐷 est à un angle d’élévation de 30 degrés depuis le sommet du bâtiment 𝐴𝐵. Si la hauteur du bâtiment 𝐴𝐵 est de 30 mètres et que les rez-de-chaussée des deux bâtiments sont à la même altitude, quelle est la hauteur de 𝐶𝐷 au mètre près ?

La figure associée à ce problème nous est fournie. Et toutes les informations de la question y sont indiquées. Nous avons un angle d’élévation ici de 30 degrés entre l’horizontale et la ligne de visée lorsque l’on regarde le bâtiment 𝐶𝐷 depuis le sommet du bâtiment AB. Nous connaissons également la taille du bâtiment 𝐴𝐵, 30 mètres, et la distance horizontale entre les deux bâtiments, 40 mètres. Il est indiqué que les deux bâtiments sont à la même altitude, ce qui signifie simplement que nous pouvons supposer que le sol entre eux est plat.

Ce que nous cherchons maintenant à calculer c’est la taille du bâtiment 𝐶𝐷. Sur le schéma, on peut voir qu’elle est composé de deux longueurs, une partie qui est de la même longueur que la hauteur du bâtiment 𝐴𝐵, soit 30 mètres, et une partie qui est cette longueur actuellement inconnue et que l’on peut désigner par 𝑥 mètres. On peut également voir que cette longueur 𝑥 est un côté d’un triangle rectangle. Et dans ce triangle, nous connaissons un autre côté de 40 mètres et un angle de 30 degrés. On peut donc utiliser la trigonométrie pour calculer 𝑥.

En identifiant les côtés de ce triangle par rapport à l’angle de 30 degrés, nous constatons que nous connaissons la longueur du côté adjacent et que nous souhaitons calculer la longueur du côté opposé Nous allons donc utiliser la tangente. En rappelant que tangente égale côté opposé sur côté adjacent, on a tangente de 30 degrés égale 𝑥 sur 40. En multipliant les deux membres de cette équation par 40, on obtient 𝑥 égale 40 fois tangente 30 degrés. Et en évaluant cela sur une calculatrice, tout en s’assurant qu’elle est paramétrée en mode degré, on trouve que 𝑥 est égal à 23,0940.

Nous n’avons pas encore tout à fait fini car nous recherchons la hauteur totale du bâtiment 𝐶𝐷. Nous devons donc ajouter la longueur supplémentaire de 30 mètres. Cela nous donne 53,0940. Et on nous demande un réponse au mètre près. Comme le chiffre de la première décimale est un zéro, on arrondit à 53. En appliquant la trigonométrie dans le triangle rectangle formé par l’horizontale, la verticale et la ligne de visée, nous avons pu calculer que la taille du bâtiment 𝐶𝐷 est de 53 mètres au mètre près.

Dans le prochain exemple, nous devrons dessiner nous-mêmes nue figure à partir de l’énoncé d’un problème portant sur des angles d’élévation et de dépression.

Un bâtiment mesure huit mètres de haut. L’angle d’élévation du sommet du bâtiment au sommet de l’arbre est de 44 degrés et l’angle de dépression du sommet du bâtiment à la base de l’arbre est de 58 degrés. Calculez la distance entre la base du bâtiment et la base de l’arbre en donnant votre réponse au centième près.

Commençons donc par faire une fiure de ce problème. On a tout d’abord un bâtiment de huit mètres de haut. Il y a ensuite un angle d’élévation du sommet de ce bâtiment au sommet d’un arbre. Rappelez-vous qu’un angle d’élévation est mesuré à partir de l’horizontale vers quelque chose de plus haut. Donc, cet arbre est plus grand que le bâtiment. On ajoute ainsi l’arbre et l’angle d’élévation de 44 degrés. Il est ensuite indiqué que l’angle de dépression du haut du bâtiment à la base de l’arbre est de 58 degrés. Mais nous devons être prudents lorsque nous identifions cet angle. Rappelez-vous qu’un angle de dépression est mesuré de l’horizontale vers quelque chose de plus bas, donc l’angle de 58 degrés est cet angle ici.

Et ce que nous cherchons à calculer c’est la distance entre la base du bâtiment et la base de l’arbre, qui est cette longueur ici. Maintenant, en observant attentivement notre schéma, nous pouvons voir que nous avons un triangle rectangle. Et la longueur que nous cherchons à calculer, que nous appelons 𝑦 mètres, est un de ses côtés. Nous connaissons également un autre côté. C’est la taille du bâtiment qui est de huit mètres. Et nous sommes en mesure de calculer la mesure d’un des angles de ce triangle. Si on soustrait l’angle de dépression de 58 degrés à l’angle droit de 90 degrés, on obtient la mesure de l’angle du haut du triangle. Il mesure 32 degrés. Nous avons donc maintenant un triangle rectangle dans lequel nous connaissons une longueur et un autre angle et où nous souhaitons calculer une deuxième longueur.

En identifiant les côtés du triangle par rapport à l’angle de 32 degrés, nous connaissons la longueur du côté adjacent et nous souhaitons calculer la longueur du côté opposé. Nous allons donc utiliser la tangente. On rappelle que la tangente est égale à côté opposé sur côté adjacent, donc on a tangente de 32 degrés égale 𝑦 sur huit. En multipliant les deux membres de cette équation par huit, on obtient 𝑦 égale huit tangente de 32 degrés. Et à l’aide d’une calculatrice en mode degré, on obtient 4,9989.

Nous devons ici donner notre réponse au centième près. Donc, en commençant par le huit de la troisième décimale et en arrondissant donc à la décimale supérieure, on obtient 5,00 mètres. Nous avons ainsi résolu le problème. La distance entre la base du bâtiment et la base de l’arbre est de 5,00 mètres au centième près.

Pour ce problème, nous n’avons en réalité pas eu besoin d’utiliser la première information concernant l’angle d’élévation. La trigonométrie impliquée ici était relativement simple. Ce que ce problème testait en réalité était notre compréhension des angles d’élévation et de dépression ainsi que notre capacité à faire une figure avec précision sur la base d’un énoncé.

Dans le prochain exemple, nous allons appliquer nos connaissances sur les angles d’élévation et de dépression à un problème plus complexe.

Un bateau navigue en ligne droite vers une falaise avec une vitesse constante de 96 mètres par minute. À un instant donné, l’angle d’élévation du bateau au sommet de la falaise est de 39 degrés. Trois minutes plus tard, cet angle est de 44 degrés. Calculez la hauteur de la falaise en donnant votre réponse au mètre près.

Nous devons tout d’abord réfléchir attentivement à comment faire une figure pour représenter ce problème. Il y a une falaise et un bateau, que l’on modélise par ce point rose. Il est indiqué que l’angle d’élévation initial du bateau au sommet de la falaise est de 39 degrés. Rappelez-vous qu’un angle d’élévation est mesuré de l’horizontale à la ligne de visée lorsque l’on regarde quelque chose plus haut. Il s’agit donc de cet angle ici. Le bateau continue ensuite sa navigation en ligne droite vers la falaise. Trois minutes plus tard, le nouvel angle d’élévation est de 44 degrés. Donc, à partir de la nouvelle position du bateau, c’est cet angle ici.

Nous avons alors un triangle formé par les deux segments entre les deux positions et le sommet de la falaise et par la distance parcourue par le bateau. Nous pouvons calculer cette distance puisque nous savons que le bateau navigue à une vitesse constante de 96 mètres par minute et que le trajet dure trois minutes. Si le bateau parcourt 96 mètres par minute, il parcourra 96 fois trois, soit 288 mètres, en trois minutes.

Nous cherchons maintenant la hauteur de la falaise. C’est cette longueur ici. Et ce n’est pas un des côtés de notre triangle. Il s’agit cependant de la longueur d’un des côtés du triangle rectangle formé par l’horizontale, la verticale et la ligne de visée depuis la deuxième position. Et nous connaissons un angle de 44 degrés dans ce triangle. Ce côté formé par la ligne de visée est commun avec le premier triangle. Notre approche va donc consister à utiliser le premier triangle pour essayer de calculer la longueur de ce côté commun, puis à utiliser cette longueur combinée avec l’angle de 44 degrés pour calculer la hauteur de la falaise dans le triangle rectangle.

Regardons de plus près ce triangle quelconque. Nous avons un angle de 39 degrés et nous pouvons calculer les mesures de chacun des deux autres angles. Par exemple, l’angle obtus forme un angle plat avec l’angle d’élévation de 44 degrés. On peut donc calculer sa mesure en soustrayant 44 à 180, ce qui donne 136 degrés. Pour calculer la mesure du troisième angle, on peut utiliser la somme des mesures des angles dans un triangle. 180 moins les deux autres mesures, c'est-à-dire 136 et 39, donne cinq. Nous connaissons donc maintenant les trois angles de ce triangle.

Pour calculer une longueur de côté dans un triangle quelconque dans lequel on connaît les mesures des trois angles et la longueur d’un autre côté, on peut utiliser la loi des sinus qui nous dit que la valeur du quotient entre un côté et le sinus de son angle opposé est la même pour tous les côtés du triangle. 𝑎 sur sin 𝐴 est égal à 𝑏 sur sin 𝐵, qui est égal à 𝑐 sur sin 𝐶, où les lettres minuscules représentent les longueurs des côtés et les lettres majuscules les mesures des angles.

La longueur de notre côté en rose, que nous pouvons appeler 𝑥 mètres, est opposé à l’angle de 39 degrés. Et nous connaissons également un côté de 288 mètres, qui est opposé à l’angle de cinq degrés. Donc en appliquant la loi des sinus, on a 𝑥 sur sinus de 39 degrés égale 288 sur sinus de cinq degrés. Pour résoudre cela, on peut multiplier les deux membres de l’équation par sinus de 39 degrés, ce qui nous donne 𝑥 égale 288 sinus de 39 degrés sur sinus de cinq degrés. En utilisant une calculatrice, on obtient une valeur de 2 079,544. Nous allons pour le moment garder cette valeur aussi précise que possible.

Maintenant que nous connaissons la longueur du côté commun, nous pouvons nous intéresser au triangle rectangle qui inclut la longueur que nous recherchons et que nous appelons cette fois 𝑦 mètres. En identifiant les côtés de ce triangle par rapport à l’angle de 44 degrés, le côté dont nous cherchons la longueur est le côté opposé. Et celui que nous connaissons est l’hypoténuse. A l’aide de SOH CAH TOA, nous savons que nous devons utiliser le sinus. On rappelle que le sinus est égal au côté opposé sur l’hypoténuse. En substituant les valeurs connues, on a donc sinus de 44 degrés égale le côté opposé 𝑦 sur l’hypoténuse 𝑥, que l’on sait égale à 2 079,544.

On peut ensuite multiplier les deux membres par cette valeur de 2 079,544 pour obtenir 𝑦 égale 2 079,544 fois sinus de 44 degrés. Il apparait maintenant clairement pourquoi nous avons conservé cette valeur exacte de 2 079,544 sur l’écran de notre calculatrice, cela nous permet de simplement taper « fois sinus de 44 degrés » et d’obtenir une réponse aussi précise que possible. La calculatrice donne une réponse de 1 444,57. Nous devons donner notre réponse au mètre près et le cinq de la première décimale signifie que nous arrondissons à la décimale supérieur, ce qui donne une taille de 1 445 mètres au mètre près.

Dans ce problème, nous avons donc utilisé la loi des sinus dans un triangle quelconque et la trigonométrie pour calculer une longueur inconnue. Une compétence clé à maîtriser pour le résoudre a été faire une figure.

Étudions maintenant un dernier exemple, impliquant cette fois des angles de dépression.

L’angle de dépression entre le sommet d’une colline et une voiture garée au sol est de 48 degrés. Un point de vue est situé 14 mètres verticalement en dessous du sommet de la colline et l’angle de dépression entre ce point de vue et la voiture est de 25 degrés. Calculez la hauteur de la colline en donnant votre réponse au mètre près.

Nous avons ici reçu beaucoup d’informations, mais nous ne disposons d’aucune figure. Nous devons donc commencer par en faire une. Il y a une colline, puis une voiture garée au sol à une certaine distance. Il est indiqué que l’angle de dépression entre le sommet de la colline et la voiture est de 48 degrés. Et c’est là que nous devons être particulièrement prudents. On trace la ligne de visée entre le sommet de la colline et la voiture et l’horizontale. On rappelle ensuite que l’angle de dépression est mesuré entre l’horizontale et la ligne de visée, vers le bas. Donc, c’est cet angle ici, qui est de 48 degrés.

Il y a également un point de vue sur la colline, situé 14 mètres en dessous du sommet de la colline. L’angle de dépression avec la voiture depuis ce point est alors de 25 degrés. Nous devons à nouveau être prudents. Cet angle est mesuré de l’horizontale vers la ligne de visée. Donc, c’est cet angle ici. Nous avons ainsi indiqué toutes les informations de l’énoncé sur notre schéma. Et ce que nous devons calculer c’est la hauteur de la colline. C’est cette longueur ici, qui est en fait composée de deux longueurs : la longueur de 14 mètres entre le sommet de la colline et le point de vue, puis une deuxième longueur, que nous devons calculer.

Cette deuxième longueur est un des côtés du triangle rectangle formé par l’horizontale, la verticale et la ligne de visée du deuxième angle de dépression. Nous pouvons calculer un des angles de ce triangle. Entre l’horizontale et la verticale, on a un angle droit. Donc, cet angle ici mesure 90 moins 25 degrés, ce qui fait 65 degrés. Nous souhaitons calculer la longueur 𝑥 de ce côté mais nous avons besoin pour cela d’une longueur de côté de ce triangle rectangle. Considérons donc plutôt le triangle vert, qui est quelconque mais qui a un côté commun avec le triangle qui nous intéresse.

On sait que ce triangle a un côté de 14 mètres de long. Et on peut calculer les mesures de tous ses angles. En haut du triangle, l’angle entre l’horizontale et la verticale est de 90 degrés, donc l’angle du triangle mesure 90 moins 48, soit 42 degrés. Ce triangle a également un angle obtus composé par un angle droit et l’angle de dépression de 25 degrés, donc la mesure totale de cet angle est 115 degrés. On peut calculer la mesure du troisième angle de ce triangle en utilisant la propriété de la somme des angles d’un triangle. 180 moins 42 moins 115 égale 23 degrés.

Si on connaît une longueur de côté et au moins deux angles dans un triangle quelconque, on peut appliquer la loi des sinus pour calculer la longueur des autres côtés. Elle nous dit que le quotient entre la longueur d’un côté et le sinus de son angle opposé est constant. La longueur du côté que nous recherchons, que nous pouvons appeler 𝑦 mètres, est opposé à l’angle de 42 degrés. Et nous connaissons la longueur du côté de 14 mètres, qui est opposé à l’angle de 23 degrés. Donc, en appliquant la loi des sinus, on a 𝑦 sur sinus de 42 degrés égale 14 sur sinus de 23 degrés. On peut ensuite multiplier les deux membres de cette équation par sinus de 42 degrés et utiliser la calculatrice pour obtenir 23,975. Nous avons ainsi trouvé la longueur du côté commun.

En revenant à notre triangle rectangle, nous connaissons maintenant un angle de 65 degrés et l’hypoténuse de 23,975. Nous pouvons donc utiliser le cosinus pour calculer 𝑥. On rappelle que le cosinus est égal au côté adjacent sur l’hypoténuse, donc cosinus de 65 degrés égale 𝑥 sur 23,975. On peut ensuite multiplier les deux membres par 23,975 et avec une calculatrice on obtient 𝑥 égale 10,132. Nous devons enfin nous rappeler que nous cherchons à calculer la hauteur totale de la colline. Elle est donc égale à cette valeur à laquelle on ajoute les 14 mètres. En ajoutant 14, puis en arrondissant au mètre près, on trouve que la hauteur de la colline est de 24 mètres.

Résumons maintenant les points clés de cette vidéo. L’angle d’élévation est l’angle formé entre l’horizontale et la ligne de visée lorsque l’on regarde quelque chose situé plus haut, tandis que l’angle de dépression est l’angle formé entre l’horizontale et la ligne de visée lorsque l’on regarde quelque chose situé plus bas. Les problèmes impliquant des angles d’élévation et de dépression peuvent être résolus en utilisant les propriétés des triangles telles que la trigonométrie pour les triangles rectangles ou la loi des sinus pour les triangles quelconques. Il faut parfois combiner ces différentes propriétés dans un même problème. Si aucune figure n’illustre le problème, la première chose à faire est d’en dessiner une. Et comme toujours, il faut lire attentivement les informations de l’énoncé pour s’assurer que la figure représente fidèlement le problème.