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Fiche explicative de la leçon : Angles d’élévation et de dépression Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à résoudre des problèmes de la vie courante avec des angles d’élévation et de dépression.

Avant de commencer avec cette fiche explicative, il est important d'être à l'aise avec les techniques pour trouver des mesures d'angles et des longueurs de côtés inconnus à partir de la trigonométrie dans le triangle rectangle et des lois du sinus et du cosinus.

Maintenant, avant de regarder des exemples et de rappeler les formules de trigonométrie ainsi que les lois du sinus et du cosinus, nous allons définir les angles d’élévation et de dépression.

Définition : Angles d’élévation et de dépression

Un angle d’élévation est l’angle « vers le haut » entre l’horizontale et une ligne de visée reliant l’objet à un point donné, tandis qu’un angle de dépression correspond à un angle « vers le bas » entre l’horizontale et un point donné, comme indiqué ci-dessous.

Maintenant, nous allons voir les étapes pour résoudre un problème avec des angles d’élévation ou de dépression où un triangle rectangle peut être formé.

  • D’abord, si ce n'est pas déjà fait dans l'énoncé, faire un schéma avec un triangle rectangle pour représenter le scénario donné.
  • Ensuite, mettre sur le schéma toutes les distances connues et l’angle d’élévation ou de dépression donné.
  • Enfin, utiliser les fonctions trigonométriques sinus, cosinus et tangente pour déterminer les distances ou les angles inconnus.

Dans notre premier exemple, nous allons résoudre un problème où un schéma a déjà été tracé.

Exemple 1: Déterminer une longueur inconnue de la vie courante étant donné un schéma

La distance entre deux bâtiments est de 40 m. Le sommet de l’immeuble 𝐶𝐷 a un angle d’élévation de 30, mesuré depuis le sommet du bâtiment 𝐴𝐵. Si la hauteur du bâtiment 𝐴𝐵=30m et les bases des deux bâtiments sont sur le même plan horizontal, alors la hauteur de 𝐶𝐷 au mètre près est =m.

Réponse

Dans l'énoncé, on peut voir que la situation a été représentée sur un schéma, et, à partir des informations données, un triangle rectangle a été tracé. C’est ce triangle que nous allons examiner en premier.

Afin de déterminer la hauteur de 𝐶𝐷, il faut calculer 𝑥. En effet, si l'on ajoute 𝑥 à la hauteur de 𝐴𝐵, alors cela nous donne la hauteur de 𝐶𝐷.

Utilisons les formules trigonométriques pour nous aider à trouver 𝑥. Pour utiliser des formules trigonométriques dans un triangle rectangle, on peut suivre ces quatre étapes:

  1. Identifier les côtés;
  2. Choisir la formule trigonométrique;
  3. Remplacer par des valeurs connues;
  4. Résoudre.

Appliquons cela à notre problème.

Étape 1

D’abord, étiquetons l’hypoténuse, le côté opposé et le côté adjacent.

Étape 2

Pour choisir la bonne formule, on identifie le côté qui nous a été donné et celui que l'on souhaite trouver. Dans notre problème, ce sont les côtés opposé et adjacent. En utilisant ces informations, choisissons la formule. Il y a un moyen mnémotechnique que l'on peut utiliser pour savoir quelle formule choisir.

Cet aide-mémoire nous montre de quels côtés nous avons besoin pour chaque rapport. Comme on a le côté opposé (O) et le côté adjacent (A), on utilise la formule de la tangente. Cela nous indique que tan𝜃=𝑂𝐴.

Étape 3

Puis, on remplace les valeurs connues, tan30=𝑥40.

Étape 4

Enfin, on manipule l'équation pour trouver 𝑥:𝑥=40(30).tan

Pour un résultat final plus précis, gardons 𝑥 sous cette forme jusqu’au calcul final.

Maintenant, pour déterminer la hauteur de 𝐶𝐷, on ajoute 𝑥 à la hauteur de 𝐴𝐵, qui d'après l'énoncé vaut 30 m:𝐶𝐷=40(30)+30𝐶𝐷=53,094.tan

Dans l'énoncé, on nous demande de donner le nombre de mètres en arrondissant au mètre près;donc, la réponse est 53 mètres.

Dans notre prochain exemple, nous allons voir un problème qui peut à nouveau être résolu en utilisant la trigonométrie dans le triangle rectangle. Cependant, dans cet exemple, nous devons tracer un schéma pour représenter la situation et on aura à la fois un angle de dépression et un angle d’élévation.

Exemple 2: Utiliser la trigonométrie dans le triangle rectangle pour résoudre des problèmes avec des angles d’élévation et de dépression

Un bâtiment est haut de 8 mètres. L’angle d’élévation du sommet du bâtiment au sommet d’un arbre vaut 44 et l’angle de dépression entre le sommet du bâtiment et la base de l’arbre vaut 58. Déterminer la distance entre la base du bâtiment et la base de l’arbre en donnant la réponse au centième près.

Réponse

La première étape pour résoudre ce problème consiste à faire un schéma de la situation qui contient toutes les informations données.

Dans le schéma, on note 𝑥 la distance que l'on cherche à trouver. Maintenant, sur ce schéma, on peut mettre en évidence un triangle rectangle particulier pour calculer cette distance.

Comme on a maintenant un triangle rectangle et que l'on cherche un côté manquant, on peut utiliser des formules trigonométriques afin de déterminer 𝑥.

D’abord, étiquetons l’hypoténuse, le côté opposé et le côté adjacent.

Maintenant, pour choisir la bonne formule, identifions le côté qui nous a été donné et celui que l'on cherche à trouver. Dans cette situation, ce sont les côtés opposé et adjacent. En utilisant ces informations, on choisi la formule:tan𝜃=𝑂𝐴.

Ensuite, on remplace les valeurs connues et on résout pour trouver 𝑥:tantantan58=8𝑥𝑥58=8𝑥=858𝑥=4,9989.

Enfin, comme demandé dans la question, on arrondit au centième pour donner la distance entre la base du bâtiment et la base de l’arbre:5,00 m.

Dans la question suivante, encore une fois, nous utilisons la trigonométrie dans le triangle rectangle;cependant, dans cet exemple, nous devrons utiliser des compétences de résolution de problèmes pour déterminer la distance requise.

Exemple 3: Utiliser la trigonométrie dans le triangle rectangle pour résoudre des problèmes avec des angles d’élévation

La hauteur d’un phare est de 60 mètres. Les angles d’élévation entre deux bateaux dans la mer et le sommet du phare sont de 29 et 39 respectivement. Sachant que les deux bateaux et la base du phare sont colinéaires et que les deux bateaux sont du même côté du phare, calculer la distance entre les deux bateaux en donnant la réponse au mètre près.

Réponse

La première étape pour résoudre ce problème consiste à faire un schéma de la situation contenant toutes les informations données.

Maintenant, comme il est dit que les deux bateaux et la base du phare sont colinéaires, on peut créer deux triangles rectangles afin de déterminer la distance entre les deux bateaux, que nous avons notée 𝑑.

L’étape suivante consiste à utiliser des formules trigonométriques pour calculer la distance entre chaque bateau et le phare. À partir de ces distances, on peut calculer leur différence, ce qui donne la distance entre les deux bateaux.

Commençons par le bateau le plus éloigné. Tout d’abord, étiquetons l’hypoténuse, le côté opposé et le côté adjacent.

Maintenant, pour choisir la bonne formule, identifions le côté qui nous a été donné et celui que l'on souhaite trouver. Dans notre problème, ce sont les côtés opposé et adjacent. À partir de ces informations, on choisit la formule:tan𝜃=𝑂𝐴.

Ensuite, on remplace par les valeurs connues puis on résout pour trouver 𝑥 (la distance au phare):tantantan29=60𝑥𝑥29=60𝑥=6029.

À ce stade, gardons 𝑥 sous cette forme pour plus de précision. On calcule de la même manière la distance au bateau le plus proche du phare:

tantantan39=60𝑦𝑦39=60𝑦=6039.

On a maintenant les deux distances entre le phare et chacun des deux bateaux;donc, on peut calculer la distance entre eux comme suit 𝑑=𝑥𝑦.

Si l’on soustrait 𝑦 à 𝑥 on obtient 60296039=34,1490.tantan

On peut dire que la distance entre les deux bateaux, arrondie au mètre près, est de 34 m.

Dans notre prochain exemple, nous allons voir un problème où deux angles de dépression sont donnés et il faut utiliser la loi des sinus pour trouver la solution. Avant de commencer, rappelons rapidement la loi des sinus.

Formule : La loi des sinus

Considérer le triangle donné.

On a 𝑎(𝐴)=𝑏(𝐵)=𝑐(𝐶).sinsinsin

Exemple 4: Déterminer une hauteur inconnue en formant et en résolvant un système d’équations

Une tour est haute de 33 mètres. L’angle de dépression du sommet d’une colline au sommet de la tour est de 31. L’angle de dépression du haut de la colline au bas de la tour est de 52. Déterminer la hauteur de la colline sachant que les bases de la colline et de la tour sont situées au même niveau horizontal. Donner la réponse au mètre près.

Réponse

Pour nous aider à résoudre ce problème, faisons un schéma de la situation contenant toutes les informations données. On a également placé certains points 𝐴, 𝐵, 𝐶 et 𝐷.

D’après le schéma, on peut voir que ce que l'on cherche à trouver est la longueur 𝐵𝐶. Pour ce faire, on doit déterminer la longueur inconnue:𝑥.

Puisque 𝐴𝐵 est horizontal et 𝐵𝐶 est vertical, on sait que 𝐴𝐵𝐶=90. Ainsi, dans le triangle 𝐴𝐵𝐶, on connaît deux des angles, donc 𝐴𝐶𝐵=1805290=38.

De même, on a 𝐷𝐴𝐶=5231=21.

Concentrons-nous maintenant sur le triangle 𝐴𝐷𝐶.

On peut trouver la longueur de 𝐴𝐷 en utilisant la loi des sinus. Celle-ci nous dit que 𝐴𝐷(𝐶)=𝐷𝐶(𝐴).sinsin

En remplaçant les valeurs connues et en réarrangeant, on peut déterminer la longueur de 𝐴𝐷:𝐴𝐷=33(38)(21)56,693.sinsinm

Maintenant, passons au triangle 𝐴𝐵𝐷.

Puisqu’il s’agit d’un triangle rectangle, on peut appliquer la formule trigonométrique sin(𝜃)=𝑂𝐻. En posant 𝜃=31, 𝐻=56,693 et 𝑂=𝑥, on trouve que 𝑥 vaut 𝑥=56,693(31)29,199.sinm

Enfin, pour déterminer la hauteur de la colline, on ajoute 𝑥 à 33

𝑥+33=62,198873.

Donc, on peut dire que la hauteur de la colline au mètre près est de 62 m.

Dans notre dernier exemple, nous allons montrer comment appliquer ce processus à une fonction contenant le logarithme.

Exemple 5: Utiliser des angles d’élévation pour résoudre un problème de la vie courante

L’angle d’élévation du sommet d’une colline par rapport à sa base est de 37. Un homme gravit la colline à partir de ce point selon un angle de 26 par rapport à l’horizontale sur une distance de 340 mètres. Son chemin continue ensuite vers le sommet selon un angle de 69 par rapport à l’horizontale. Déterminer la hauteur de la colline au mètre près.

Réponse

Commençons par faire un schéma de la situation.

Sur ce schéma, on peut voir que la base de la colline où l’homme commence à grimper correspond au point 𝐴, le sommet de la colline correspond au point 𝐵, la hauteur de la colline est notée , et le point où l’angle de la trajectoire change est noté 𝐶.

En observant les angles en 𝐴, on peut voir que 𝐶𝐴𝐵=11. Ensuite, considérons le triangle indiqué en vert ci-dessous.

Comme la somme des angles de ce triangle doit être égale à 180, on a 𝐶𝐵𝐷=21. De même, si l’on considère le triangle 𝐴𝐵𝐷, on peut voir que 𝐴𝐵𝐷=53.

À partir des deux angles que nous avons trouvés en 𝐵, on peut maintenant trouver que 𝐴𝐵𝐶=32.

Ensuite, on considère le triangle 𝐴𝐵𝐶.

Comme on connaît déjà deux angles dans ce triangle, on trouve que 𝐴𝐶𝐵=137. Nous sommes maintenant en mesure d’appliquer la loi des sinus à ce triangle pour déterminer la longueur du segment 𝐴𝐵. Ainsi, on trouve 𝐴𝐵(137)=340(32)𝐴𝐵=340(137)(32)437,575.sinsinsinsinm

Enfin, si l’on considère le triangle rectangle 𝐴𝐵𝐷, on peut trouver en utilisant des formules trigonométriques.

D’après le schéma, on peut voir que sin(37)=437,575.

Isolant , on obtient la solution, à savoir que la hauteur de la colline est de =263m au mètre près.

Terminons en récapitulant les points clés de cette fiche explicative.

Points clés

  • Un angle d’élévation est l’angle « vers le haut » entre l’horizontale et une ligne de vue depuis l’objet vers un point donné, tandis qu’un angle de dépression correspond à un angle « vers le bas » à partir de l’horizontale vers un point donné.
  • Faire un schéma de la situation donnée est souvent un bon point de départ pour résoudre des problèmes d’angles d’élévation et de dépression.
  • On peut utiliser les formules trigonométriques pour résoudre des problèmes simples d’angles d’élévation et de dépression.
  • Parfois, on a besoin de la loi des sinus ou de la loi des cosinus pour résoudre les problèmes d’angles d’élévation et de dépression.

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