Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à résoudre des problèmes de la vie courante avec des angles d’élévation et de dépression.
Avant de commencer avec cette fiche explicative, il est important d'être à l'aise avec les techniques pour trouver des mesures d'angles et des longueurs de côtés inconnus à partir de la trigonométrie dans le triangle rectangle et des lois du sinus et du cosinus.
Maintenant, avant de regarder des exemples et de rappeler les formules de trigonométrie ainsi que les lois du sinus et du cosinus, nous allons définir les angles d’élévation et de dépression.
Définition : Angles d’élévation et de dépression
Un angle d’élévation est l’angle « vers le haut » entre l’horizontale et une ligne de visée reliant l’objet à un point donné, tandis qu’un angle de dépression correspond à un angle « vers le bas » entre l’horizontale et un point donné, comme indiqué ci-dessous.
Maintenant, nous allons voir les étapes pour résoudre un problème avec des angles d’élévation ou de dépression où un triangle rectangle peut être formé.
- D’abord, si ce n'est pas déjà fait dans l'énoncé, faire un schéma avec un triangle rectangle pour représenter le scénario donné.
- Ensuite, mettre sur le schéma toutes les distances connues et l’angle d’élévation ou de dépression donné.
- Enfin, utiliser les fonctions trigonométriques sinus, cosinus et tangente pour déterminer les distances ou les angles inconnus.
Dans notre premier exemple, nous allons résoudre un problème où un schéma a déjà été tracé.
Exemple 1: Déterminer une longueur inconnue de la vie courante étant donné un schéma
La distance entre deux bâtiments est de 40 m. Le sommet de l’immeuble a un angle d’élévation de , mesuré depuis le sommet du bâtiment . Si la hauteur du bâtiment et les bases des deux bâtiments sont sur le même plan horizontal, alors la hauteur de au mètre près est .
Réponse
Dans l'énoncé, on peut voir que la situation a été représentée sur un schéma, et, à partir des informations données, un triangle rectangle a été tracé. C’est ce triangle que nous allons examiner en premier.
Afin de déterminer la hauteur de , il faut calculer . En effet, si l'on ajoute à la hauteur de , alors cela nous donne la hauteur de .
Utilisons les formules trigonométriques pour nous aider à trouver . Pour utiliser des formules trigonométriques dans un triangle rectangle, on peut suivre ces quatre étapes :
- Identifier les côtés ;
- Choisir la formule trigonométrique ;
- Remplacer par des valeurs connues ;
- Résoudre.
Appliquons cela à notre problème.
Étape 1
D’abord, étiquetons l’hypoténuse, le côté opposé et le côté adjacent.
Étape 2
Pour choisir la bonne formule, on identifie le côté qui nous a été donné et celui que l'on souhaite trouver. Dans notre problème, ce sont les côtés opposé et adjacent. En utilisant ces informations, choisissons la formule. Il y a un moyen mnémotechnique que l'on peut utiliser pour savoir quelle formule choisir.
Cet aide-mémoire nous montre de quels côtés nous avons besoin pour chaque rapport. Comme on a le côté opposé (O) et le côté adjacent (A), on utilise la formule de la tangente. Cela nous indique que
Étape 3
Puis, on remplace les valeurs connues,
Étape 4
Enfin, on manipule l'équation pour trouver :
Pour un résultat final plus précis, gardons sous cette forme jusqu’au calcul final.
Maintenant, pour déterminer la hauteur de , on ajoute à la hauteur de , qui d'après l'énoncé vaut 30 m :
Dans l'énoncé, on nous demande de donner le nombre de mètres en arrondissant au mètre près ; donc, la réponse est 53 mètres.
Dans notre prochain exemple, nous allons voir un problème qui peut à nouveau être résolu en utilisant la trigonométrie dans le triangle rectangle. Cependant, dans cet exemple, nous devons tracer un schéma pour représenter la situation et on aura à la fois un angle de dépression et un angle d’élévation.
Exemple 2: Utiliser la trigonométrie dans le triangle rectangle pour résoudre des problèmes avec des angles d’élévation et de dépression
Un bâtiment est haut de 8 mètres. L’angle d’élévation du sommet du bâtiment au sommet d’un arbre vaut et l’angle de dépression entre le sommet du bâtiment et la base de l’arbre vaut . Déterminer la distance entre la base du bâtiment et la base de l’arbre en donnant la réponse au centième près.
Réponse
La première étape pour résoudre ce problème consiste à faire un schéma de la situation qui contient toutes les informations données.
Dans le schéma, on note la distance que l'on cherche à trouver. Maintenant, sur ce schéma, on peut mettre en évidence un triangle rectangle particulier pour calculer cette distance.
Comme on a maintenant un triangle rectangle et que l'on cherche un côté manquant, on peut utiliser des formules trigonométriques afin de déterminer .
D’abord, étiquetons l’hypoténuse, le côté opposé et le côté adjacent.
Maintenant, pour choisir la bonne formule, identifions le côté qui nous a été donné et celui que l'on cherche à trouver. Dans cette situation, ce sont les côtés opposé et adjacent. En utilisant ces informations, on choisi la formule :
Ensuite, on remplace les valeurs connues et on résout pour trouver :
Enfin, comme demandé dans la question, on arrondit au centième pour donner la distance entre la base du bâtiment et la base de l’arbre : 5,00 m.
Dans la question suivante, encore une fois, nous utilisons la trigonométrie dans le triangle rectangle ; cependant, dans cet exemple, nous devrons utiliser des compétences de résolution de problèmes pour déterminer la distance requise.
Exemple 3: Utiliser la trigonométrie dans le triangle rectangle pour résoudre des problèmes avec des angles d’élévation
La hauteur d’un phare est de 60 mètres. Les angles d’élévation entre deux bateaux dans la mer et le sommet du phare sont de et respectivement. Sachant que les deux bateaux et la base du phare sont colinéaires et que les deux bateaux sont du même côté du phare, calculer la distance entre les deux bateaux en donnant la réponse au mètre près.
Réponse
La première étape pour résoudre ce problème consiste à faire un schéma de la situation contenant toutes les informations données.
Maintenant, comme il est dit que les deux bateaux et la base du phare sont colinéaires, on peut créer deux triangles rectangles afin de déterminer la distance entre les deux bateaux, que nous avons notée .
L’étape suivante consiste à utiliser des formules trigonométriques pour calculer la distance entre chaque bateau et le phare. À partir de ces distances, on peut calculer leur différence, ce qui donne la distance entre les deux bateaux.
Commençons par le bateau le plus éloigné. Tout d’abord, étiquetons l’hypoténuse, le côté opposé et le côté adjacent.
Maintenant, pour choisir la bonne formule, identifions le côté qui nous a été donné et celui que l'on souhaite trouver. Dans notre problème, ce sont les côtés opposé et adjacent. À partir de ces informations, on choisit la formule :
Ensuite, on remplace par les valeurs connues puis on résout pour trouver (la distance au phare) :
À ce stade, gardons sous cette forme pour plus de précision. On calcule de la même manière la distance au bateau le plus proche du phare : 
On a maintenant les deux distances entre le phare et chacun des deux bateaux ; donc, on peut calculer la distance entre eux comme suit
Si l’on soustrait à on obtient
On peut dire que la distance entre les deux bateaux, arrondie au mètre près, est de 34 m.
Dans notre prochain exemple, nous allons voir un problème où deux angles de dépression sont donnés et il faut utiliser la loi des sinus pour trouver la solution. Avant de commencer, rappelons rapidement la loi des sinus.
Formule : La loi des sinus
Considérer le triangle donné.
On a
Exemple 4: Déterminer une hauteur inconnue en formant et en résolvant un système d’équations
Une tour est haute de 33 mètres. L’angle de dépression du sommet d’une colline au sommet de la tour est de . L’angle de dépression du haut de la colline au bas de la tour est de . Déterminer la hauteur de la colline sachant que les bases de la colline et de la tour sont situées au même niveau horizontal. Donner la réponse au mètre près.
Réponse
Pour nous aider à résoudre ce problème, faisons un schéma de la situation contenant toutes les informations données. On a également placé certains points , , et .
D’après le schéma, on peut voir que ce que l'on cherche à trouver est la longueur . Pour ce faire, on doit déterminer la longueur inconnue : .
Puisque est horizontal et est vertical, on sait que . Ainsi, dans le triangle , on connaît deux des angles, donc
De même, on a
Concentrons-nous maintenant sur le triangle .
On peut trouver la longueur de en utilisant la loi des sinus. Celle-ci nous dit que
En remplaçant les valeurs connues et en réarrangeant, on peut déterminer la longueur de :
Maintenant, passons au triangle .
Puisqu’il s’agit d’un triangle rectangle, on peut appliquer la formule trigonométrique . En posant , et , on trouve que vaut
Enfin, pour déterminer la hauteur de la colline, on ajoute à 33 
Donc, on peut dire que la hauteur de la colline au mètre près est de 62 m.
Dans notre dernier exemple, nous allons montrer comment appliquer ce processus à une fonction contenant le logarithme.
Exemple 5: Utiliser des angles d’élévation pour résoudre un problème de la vie courante
L’angle d’élévation du sommet d’une colline par rapport à sa base est de . Un homme gravit la colline à partir de ce point selon un angle de par rapport à l’horizontale sur une distance de 340 mètres. Son chemin continue ensuite vers le sommet selon un angle de par rapport à l’horizontale. Déterminer la hauteur de la colline au mètre près.
Réponse
Commençons par faire un schéma de la situation.
Sur ce schéma, on peut voir que la base de la colline où l’homme commence à grimper correspond au point , le sommet de la colline correspond au point , la hauteur de la colline est notée , et le point où l’angle de la trajectoire change est noté .
En observant les angles en , on peut voir que . Ensuite, considérons le triangle indiqué en vert ci-dessous.
Comme la somme des angles de ce triangle doit être égale à , on a . De même, si l’on considère le triangle , on peut voir que
À partir des deux angles que nous avons trouvés en , on peut maintenant trouver que
Ensuite, on considère le triangle .
Comme on connaît déjà deux angles dans ce triangle, on trouve que . Nous sommes maintenant en mesure d’appliquer la loi des sinus à ce triangle pour déterminer la longueur du segment . Ainsi, on trouve
Enfin, si l’on considère le triangle rectangle , on peut trouver en utilisant des formules trigonométriques.
D’après le schéma, on peut voir que
Isolant , on obtient la solution, à savoir que la hauteur de la colline est de au mètre près.
Terminons en récapitulant les points clés de cette fiche explicative.
Points clés
- Un angle d’élévation est l’angle « vers le haut » entre l’horizontale et une ligne de vue depuis l’objet vers un point donné, tandis qu’un angle de dépression correspond à un angle « vers le bas » à partir de l’horizontale vers un point donné.
- Faire un schéma de la situation donnée est souvent un bon point de départ pour résoudre des problèmes d’angles d’élévation et de dépression.
- On peut utiliser les formules trigonométriques pour résoudre des problèmes simples d’angles d’élévation et de dépression.
- Parfois, on a besoin de la loi des sinus ou de la loi des cosinus pour résoudre les problèmes d’angles d’élévation et de dépression.
