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Si l’intégrale de moins sept à huit de 𝑔 de 𝑥 par rapport à 𝑥 est 10, déterminez la valeur de l’intégrale de huit à moins sept de sept 𝑔 de 𝑥 par rapport à 𝑥.
Nous allons comparer ces deux intégrales pour voir les différences entre elles. Notons d'abord que l'ordre des bornes a été modifié. Dans la première intégrale, la borne inférieure est moins sept. Et la borne supérieure est huit. Mais pour la deuxième intégrale, la borne inférieure est huit. Et la borne supérieure est moins sept. On note aussi que, dans la deuxième intégrale, la fonction 𝑔 de 𝑥 a été multipliée par sept. Il s'agit donc de deux changements dont les effets doivent être pris en compte.
Considérons cette première intégrale, l'intégrale de moins sept à huit de 𝑔 de 𝑥 par rapport à 𝑥. Quand on intègre, on obtient une fonction 𝐺 majuscule de 𝑥, dont on calcule la valeur à huit et à moins sept. On soustrait la valeur de cette intégrale à la borne inférieure moins sept de la valeur de cette intégrale à la borne supérieure huit. On a donc 𝐺 de huit moins 𝐺 de moins sept. On nous dit que la valeur de cette intégrale est 10. Donc nous avons que 10 est égale à 𝐺 de huit moins 𝐺 de moins sept.
Considérons maintenant notre deuxième intégrale. L'une des propriétés des intégrales définies est que si nous multiplions par une constante, dans ce cas sept, alors la constante peut être mise en facteur devant l'intégrale. La chiffre sept ici peut donc être mis en facteur pour multiplier toute l'intégrale.
Nous avons donc maintenant sept fois la valeur de l'intégrale de huit à moins sept de 𝑔 de 𝑥 par rapport à 𝑥. Quand on intègre, on obtient cette même fonction 𝐺 majuscule de 𝑥. Mais, cette fois, notre borne inférieure est huit et notre borne supérieure est moins sept. Donc nous aurons sept fois 𝐺 de moins sept moins 𝐺 de huit.
On peut maintenant calculer la valeur entre parenthèses, car on sait que 𝐺 de huit moins 𝐺 de moins sept égale 10. On multiplie cette équation par moins un, ce qui donne que moins 10 égale moins 𝐺 de huit plus 𝐺 de moins sept. On peut réordonner les termes à droite si on le souhaite pour obtenir 𝐺 de moins sept moins 𝐺 de huit.
On sait donc maintenant que la valeur entre parenthèses est moins 10. On a donc sept fois moins 10, ce qui donne moins 70. Dans ce cas, nous avons utilisé la propriété générale des intégrales définies, à savoir que si nous permutons les bornes, de sorte que la borne inférieure devienne la borne supérieure et vice versa, la valeur obtenue sera l’opposée de la valeur obtenue de l'intégrale initiale.
La réponse pour la valeur de l'intégrale de huit à moins sept de sept 𝑔 de 𝑥 par rapport à 𝑥 est moins 70.
