Vidéo : Propriétés des intégrales définies

Dans cette vidéo nous allons apprendre à utiliser les propriétés des intégrales définies telles que l’ordre des bornes d’intégration, intervalle d’intégration de largeur zéro, les sommes et les différences d’intégrales.

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Dans cette vidéo nous allons apprendre à utiliser les propriétés des intégrales définies telles que l’ordre des bornes d’intégration, intervalles d’intégration de largeur zéro, les sommes et les différences d’intégrales. Nous verrons également comment ces propriétés peuvent nous aider à simplifier les problèmes impliquant des intégrales définies.

En définissant l’intégrale définie, l’intégrale entre 𝑎 et 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥, nous avons implicitement supposé que 𝑎 est strictement inférieure à 𝑏. Mais en pensant à la définition d’une intégrale définie comme la limite des sommes de Reimann, nous voyons que cela reste toujours valable si 𝑎 est strictement supérieure à 𝑏. Notez également que si nous inversons 𝑎 et 𝑏, alors Δ𝑥 change à 𝑎 moins 𝑏 sur 𝑛. Avec cela, nous trouvons que l’intégrale définie entre 𝑏 et 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à l’intégrale négative définie entre 𝑎 et 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥. Maintenant, si 𝑎 égale 𝑏, alors Δ𝑥 devient zéro. Ainsi, l’intégrale définie entre 𝑎 et 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 est elle-même égale à zéro. Nous allons maintenant envisager d’autres propriétés importantes des intégrales dont nous pouvons nous rappeler.

Ce n’est pas dans le cadre de cette vidéo de les déduire entièrement. Mais nous aurons une idée d’où elles pourraient venir. Supposons que nous avons deux fonctions, 𝑓 et 𝑔, qui sont continues. La deuxième propriété qui nous intéresse est que l’intégrale définie entre 𝑎 et 𝑐 de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à l’intégrale définie entre 𝑎 et 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 plus l’intégrale définie entre 𝑏 et 𝑐 de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥. Et géométriquement, il faut s’y attendre. Nous considérons que l’intégrale définie est l’aire entre la courbe et l’axe des 𝑥. Ainsi, l’aire totale entre la courbe et l’axe des 𝑥, délimitée par les droites 𝑥 égale 𝑎 et 𝑥 égale 𝑐, doit être égale à l’aire délimitée par les droites entre 𝑥 égale 𝑎 et 𝑥 égale 𝑏 et l’aire délimitée par les droites 𝑥 égale 𝑏 et 𝑥 égale 𝑐.

Pour une valeur constante 𝑐, l’intégrale définie entre 𝑎 et 𝑏 de 𝑐 par rapport à 𝑥 est 𝑐 fois 𝑏 moins 𝑎. En d’autres termes, l’intégrale d’une fonction constante 𝑐 est cette constante fois la longueur de l’intégrale. Si l’on utilise 𝑐 strictement supérieure à zéro et 𝑎 strictement inférieure à 𝑏, alors il faut s’y attendre. Puisque 𝑐 fois 𝑏 moins 𝑎 est l’aire du rectangle montré. La propriété suivante est que l’intégrale d’une somme de deux fonctions est égale à la somme des intégrales de ces fonctions. Ainsi, pour les fonctions positives, l’aire sous 𝑓 plus 𝑔 est égale à l’aire sous 𝑓 plus l’aire sous 𝑔.

De même, l’intégrale d’une constante fois une fonction égale cette constante fois l’intégrale de la fonction. Ensuite, en combinant les deux propriétés précédentes, nous trouvons que l’intégrale de la différence de deux fonctions est égale à l’intégrale de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 plus moins un fois l’intégrale de 𝑔 de 𝑥 par rapport à 𝑥. Mais bien sûr, cela doit être égal à la différence des intégrales de ces deux fonctions. Voyons maintenant un exemple de certaines de ces propriétés.

La fonction 𝑓 est continue sur l’intervalle fermé moins quatre à quatre et satisfait à l’intégrale définie entre zéro et quatre de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 égale neuf. Déterminez l’intégrale définie entre zéro et quatre de 𝑓 de 𝑥 moins six par rapport à 𝑥.

Pour répondre à cette question, nous commençons par rappeler quelques propriétés de base des intégrales définies. Tout d’abord, nous savons que l’intégrale de la somme de deux fonctions est égale à la somme de l’intégrale de chaque fonction. De même, l’intégrale de la différence de deux fonctions est égale à la différence des intégrales de ces fonctions. Cela signifie que nous pouvons commencer par réécrire notre intégrale comme la différence de l’intégrale entre zéro et quatre de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 et l’intégrale entre zéro et quatre de six par rapport à 𝑥. Nous rappelons également que pour la fonction constante 𝑐, l’intégrale définie entre 𝑎 et 𝑏 de 𝑐 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑐 fois 𝑏 moins 𝑎.

Maintenant, 𝑐 égale six, 𝑎 est zéro et 𝑏 est quatre. Ainsi, l’intégrale définie entre zéro et quatre de six par rapport à 𝑥 est simplement six fois quatre moins zéro, soit 24. Selon la question, nous remplaçons maintenant l’intégrale entre zéro et quatre de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 par neuf. Et nous trouvons que l’intégrale de 𝑓 de 𝑥 moins six entre les limites de zéro et quatre par rapport à 𝑥 est neuf moins 24. C’est moins 15. Ainsi, bien qu’on ne connaisse pas la fonction 𝑓, on voit que l’intégrale définie entre zéro et quatre de 𝑓 de 𝑥 moins six par rapport à 𝑥 est moins 15.

Voyons maintenant un autre exemple impliquant des propriétés simples d’intégrales définies.

Si l’intégrale définie entre moins sept et huit de 𝑔 de 𝑥 par rapport à 𝑥 égale 10, alors déterminez la valeur de l’intégrale définie entre huit et moins sept de sept 𝑔 de 𝑥 par rapport à 𝑥.

Pour répondre à cette question, nous allons devoir rappeler deux propriétés spécifiques des intégrales définies. La première est que l’intégrale définie entre 𝑏 et 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à l’intégrale négative définie entre 𝑎 et 𝑏 de cette même fonction par rapport à 𝑥. Nous savons aussi que l’intégrale définie entre 𝑎 et 𝑏 d’une certaine constante 𝑐 fois 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑐 fois l’intégrale définie de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥. Et cette deuxième est parfaite car elle signifie que nous pouvons simplement sortir la constante en dehors de l’intégrale et nous concentrer sur l’intégration de la fonction elle-même.

Commençons par prendre le facteur constant sept en dehors de l’intégrale. Ce faisant, nous voyons que l’intégrale définie que nous cherchons à évaluer est égale à sept fois l’intégrale définie entre huit et moins sept de 𝑔 de 𝑥 par rapport à 𝑥. Dans la question on nous dit que l’intégrale définie entre moins sept et huit de notre fonction est égale à 10. Nous utilisons donc la première propriété que nous rappelons pour réécrire l’intégrale définie entre huit et moins sept de 𝑔 de 𝑥 par rapport à 𝑥 comme intégrale définie entre moins sept et huit de 𝑔 de 𝑥 par rapport à 𝑥.

Cela peut bien sûr être simplifié. Et nous pouvons dire que notre intégrale est égale à moins sept fois l’intégrale définie entre moins sept et huit de 𝑔 de 𝑥 par rapport à 𝑥. Mais bien sûr, nous savons que cette intégrale définie est égale à 10. Notre intégrale définie est donc moins sept fois 10, soit moins 70.

Maintenant, ce qui est vraiment intéressant avec les propriétés que nous avons vues jusqu’ici, c’est qu’elles ont des valeurs de 𝑎 strictement inférieures à 𝑏, des valeurs de 𝑎 strictement supérieures à 𝑏, et des valeurs de 𝑎 égales à celles de 𝑏. Maintenant, il y a quelques propriétés que nous pouvons envisager si, et seulement si, 𝑎 est inférieure ou égale à 𝑏. Nous les appelons propriétés de comparaison des intégrales. Et c’est parce qu’elles nous permettent de comparer la taille générale des intégrales définies.

La première dit que si 𝑓 de 𝑥 est supérieure ou égal à zéro, où 𝑥 est dans l’intervalle fermé 𝑎 à 𝑏, alors l’intégrale définie entre 𝑎 et 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 sera aussi strictement supérieure à zéro. Et bien sûr, cela est logique si l’on considère que l’intégrale définie est l’aire entre la courbe représentative de 𝑓 et l’axe des 𝑥. L’interprétation géométrique est simplement que l’aire ici est positive. Elle se trouve au-dessus de l’axe des 𝑥. La deuxième dit qu’une fonction plus grande a une intégrale plus grande. Ceci a également un sens géométrique mais peut aussi être déduit de la première propriété, car 𝑓 moins 𝑔 doit être supérieure ou égal à zéro.

La troisième demande un peu plus de réflexion. Si 𝑓 est continue, on peut prendre 𝑚 minuscule et 𝑀 majuscule comme valeurs absolues minimales et maximales de 𝑓 sur l’intervalle fermé 𝑎 à 𝑏, respectivement. Cette propriété nous indique que l’aire sous la courbe représentative de 𝑓 est strictement supérieure à l’aire du rectangle ayant comme hauteur 𝑚 minuscule mais strictement inférieure à l’aire d’un rectangle avec une hauteur 𝑀 majuscule.

Voyons maintenant une question qui implique certaines de ces propriétés.

Supposons que sur l’intervalle fermé moins deux à cinq, les valeurs de 𝑓 se situent dans l’intervalle fermé 𝑚 minuscule à 𝑀 majuscule. Entre quelles bornes se situe l’intégrale définie entre moins deux et cinq de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 ?

Nous rappelons l’une des propriétés de comparaison des intégrales. Si 𝑓 de 𝑥 est supérieure ou égale à 𝑚 minuscule et inférieure ou égale à 𝑀 majuscule pour des valeurs de 𝑥 supérieures ou égales à 𝑎 et inférieures ou égales à 𝑏. Alors 𝑀 fois 𝑏 moins 𝑎 est inférieure ou égale à l’intégrale définie entre 𝑎 et 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥, qui à son tour est inférieure ou égale à 𝑀 majuscule fois 𝑏 moins 𝑎. Autrement dit, étant donné que 𝑚 minuscule est le minimum absolu de 𝑓 et 𝑀 majuscule le maximum absolu de 𝑓, l’aire sous la courbe représentative de 𝑓 est strictement supérieure à l’aire du rectangle dont la hauteur est 𝑚 minuscule. Mais strictement inférieure à l’aire du rectangle de hauteur 𝑀 majuscule.

Dans cet exemple, nous allons considérer 𝑎 égale moins deux et 𝑏 égale cinq. Ensuite, nous voyons que 𝑀 fois cinq moins moins deux est inférieure ou égale à l’intégrale définie entre moins deux et cinq de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 qui, à son tour, est inférieure ou égale à 𝑀 majuscule fois cinq moins moins deux. Cinq moins moins deux, ça fait sept. Ainsi, nous voyons que notre intégrale définie doit être supérieure ou égale à sept 𝑚 et inférieure ou égale à sept 𝑀 majuscule.

Les dernières propriétés qui nous intéressent impliquent l’intégration de fonctions paires et impaires. Nous rappelons que si une fonction est impaire, 𝑓 de moins 𝑥 égale moins 𝑓 de 𝑥. Et une fonction est dite paire si 𝑓 de moins 𝑥 égale 𝑓 de 𝑥. Géométriquement, une fonction impaire a une rotation par rapport à l’origine. Par exemple, 𝑦 égale sin 𝑥. Alors qu’une fonction paire a une symétrie axiale par rapport à l’axe des 𝑦, le graphe de 𝑦 égale cos 𝑥, par exemple. Pour l’intervalle fermé moins 𝑎 à 𝑎, lorsque la fonction est impaire, on dit que l’intégrale définie entre moins 𝑎 et 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à zéro. Et lorsqu’elle est paire, on constate qu’elle égale deux fois l’intégrale définie entre zéro et 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥.

Encore une fois, du point de vue géométrique, cela a beaucoup de sens. Nous avons vu qu’une fonction paire a une symétrie axiale d’axe 𝑦. Ainsi, l’intégration entre moins 𝑎 et 𝑎 fournirait une aire deux fois plus grande que celle entre zéro et 𝑎. Pour une fonction impaire, les aires seraient de même taille mais de part et d’autre de l’axe des 𝑥, s’annulant ainsi l’une l’autre.

Voyons quelques exemples.

La fonction 𝑓 est impaire, continue sur l’intervalle fermé moins un à sept, et satisfait à l’intégrale définie entre un et sept de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 égale moins 17. Déterminez l’intégrale définie entre moins un et sept de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥.

On nous dit d’abord que la fonction 𝑓 est impaire. Nous rappelons donc la propriété suivante pour l’intégration des fonctions impaires. L’intégrale définie entre moins 𝑎 et 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 égale zéro. On nous dit aussi que l’intégrale définie entre un et sept de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 égale moins 17. Alors on découpe l’intégrale. Et nous voyons que l’intégrale que nous recherchons entre moins un et sept de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à l’intégrale définie entre moins un et un de 𝑓 de 𝑥 plus l’intégrale définie entre un et sept de 𝑓 de 𝑥.

Maintenant, la fonction 𝑓 est impaire. Ainsi, d’après la première propriété, on voit que l’intégrale définie entre moins un et un de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 doit être égale à zéro. Ensuite, nous prenons simplement l’intégrale définie entre un et sept de 𝑓 de 𝑥 de la question. C’est moins 17. Cela signifie que l’intégrale définie que nous recherchons est égale à zéro plus moins 17, qui est moins 17.

Voyons maintenant un exemple qui implique une fonction paire.

La fonction 𝑓 est paire, continue sur l’intervalle fermé moins huit à huit, et satisfait à l’intégrale définie entre moins huit et huit de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 égale 19, et l’intégrale définie entre zéro et quatre de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 égale 13. Déterminez l’intégrale définie entre moins huit et moins quatre de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥.

Nous commençons par rappeler la propriété de l’intégrale d’une fonction paire, c’est-à-dire que l’intégrale définie entre moins 𝑎 et 𝑎 de cette fonction paire est égale à deux fois l’intégrale définie entre zéro et 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥. Maintenant, en fait, nous cherchons à trouver l’intégrale définie entre moins huit et moins quatre de notre fonction paire. Nous allons donc le faire en deux parties. Tout d’abord, nous allons la découper et dire que l’intégrale définie doit être égale à l’intégrale entre moins huit et zéro moins l’intégrale entre moins quatre et zéro. Maintenant, en fait, nous allons former une équation en utilisant la première partie de cette intégrale et le fait que la fonction est paire.

L’intégrale définie entre moins huit et huit de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 doit être deux fois l’intégrale définie entre zéro et huit de 𝑓of 𝑥 par rapport au 𝑥. Maintenant, il s’ensuit qu’elle doit aussi être égale à deux fois l’intégrale définie entre moins huit et zéro de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥. Bien sûr, on nous dit dans la question que l’intégrale définie entre moins huit et huit de 𝑓 de 𝑥 est 19. Nous mettons donc 19 égale deux fois l’intégrale définie que nous recherchons. Et puis, nous divisons les deux membres de notre équation par deux. Et nous voyons que c’est égal à 19 sur deux. L’intégrale que nous recherchons égale alors 19 sur deux moins l’intégrale définie entre moins quatre et zéro de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥.

Encore une fois, la fonction est paire. Celle-ci doit donc, à son tour, être égale à 19 sur deux moins l’intégrale définie entre zéro et quatre de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥. Rappelez-vous, c’est parce que les fonctions paires ont une symétrie axiale par rapport à l’axe des 𝑦. On nous dit dans la question que cette intégrale définie égale 13. Ensuite, pour évaluer 19 sur deux moins 13, nous écrivons 13 comme 26 sur deux. Nous cherchons donc à trouver 19 sur 2 moins 26 sur 2, qui est moins 7 sur 2. Ainsi, nous avons trouvé l’intégrale définie entre moins huit et moins quatre de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥. C’est moins sept sur deux.

Dans cette vidéo, nous avons développé quelques propriétés de base des intégrales qui nous aident à évaluer les intégrales d’une manière simple. Pour une fonction continue 𝑓, l’intégrale définie entre 𝑏 et 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à l’intégrale négative définie entre 𝑎 et 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥. Nous avons vu que l’intégrale d’une fonction constante 𝑐 est la constante fois la longueur de l’intervalle. Et que l’intégrale de la somme ou de la différence de deux fonctions continues est égale à cette somme ou différence des intégrales de chacune de ces fonctions. Nous avons vu que nous pouvons prendre des facteurs constants en dehors de l’intégrale et nous concentrer sur l’intégration de la fonction elle-même.

Nous avons appris que les propriétés de comparaison des intégrales peuvent être utilisées lorsque 𝑏 est supérieure ou égale à 𝑎. La première d’entre elles dit que si 𝑓 de 𝑥 est supérieure ou égale à zéro, alors l’intégrale définie entre 𝑎 et 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 est également supérieure ou égale à zéro. Une fonction plus grande a une intégrale plus grande. Et si 𝑚 et 𝑀 majuscule sont des valeurs absolues minimales et maximales de 𝑓 sur un intervalle fermé de 𝑎 à 𝑏, alors l’aire sous la courbe représentative de 𝑓 doit être strictement supérieure à l’aire du rectangle de hauteur 𝑚 et strictement inférieure à l’aire du rectangle de hauteur 𝑀 majuscule.

Enfin, nous avons appris que si une fonction est paire ou impaire sur un intervalle fermé moins 𝑎 à 𝑎, alors nous pouvons appliquer les règles suivantes. Si elle est impaire, l’intégrale définie entre moins 𝑎 et 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 est nulle. Et si elle est paire, c’est deux fois l’intégrale définie entre zéro et 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥.

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