Vidéo de la leçon: Propriétés des intégrales définies Mathématiques

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à appliquer les propriétés des intégrales définies, telles que l’ordre des bornes de l’intégrale, les bornes égales, les sommes et les différences. Nous verrons également comment ces propriétés permettent de simplifier les problèmes impliquant des intégrales.

Pour définir l’intégrale définie, l’intégrale de 𝑎 à 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥, on a implicitement supposé que 𝑎 était inférieur à 𝑏. Mais si on prend la définition d’une intégrale définie comme la limite d’une somme de Riemann, on voit qu’elle reste valable si 𝑎 est supérieur à 𝑏. Notez également que si on intervertit 𝑎 et 𝑏, alors Δ𝑥 devient 𝑎 moins 𝑏 sur 𝑛. On en déduit que l’intégrale définie de 𝑏 à 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à moins l’intégrale définie de 𝑎 à 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥. Et si 𝑎 est égal à 𝑏, alors Δ𝑥 est nul. Donc, l’intégrale définie de 𝑎 à 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 est elle-même nulle. Examinons à présent d’autres propriétés importantes des intégrales.

L’objet de cette vidéo n’est pas de les démontrer entièrement. Mais on se demandera d’où elles viennent. Soient deux fonctions continues 𝑓 et 𝑔. La deuxième propriété qui nous intéresse est que l’intégrale définie de 𝑎 à 𝑐 de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à l’intégrale définie de 𝑎 à 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 plus l’intégrale définie de 𝑏 à 𝑐 de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥. Et géométriquement, c’est ce à quoi on s’attendait. L’intégrale définie correspond à l’aire entre la courbe et l’axe des abscisses. Et donc, l’aire totale de la surface entre la courbe et l’axe des abscisses, délimitée par les droites d’équations 𝑥 égale 𝑎 et 𝑥 égale 𝑐, est égale à l’aire entre les droites d’équations 𝑥 égale 𝑎 et 𝑥 égale 𝑏 et l’aire entre les droites d’équations 𝑥 égale 𝑏 et 𝑥 égale 𝑐.

Pour une constante 𝑐, l’intégrale définie de 𝑎 à 𝑏 de 𝑐 est 𝑐 fois 𝑏 moins 𝑎. Autrement dit, l’intégrale d’une fonction constante 𝑐 est cette constante fois la différence entre les deux bornes d’intégration. Avec 𝑐 supérieur à zéro et 𝑎 inférieur à 𝑏, alors c’est bien la valeur attendue. En effet, 𝑐 fois 𝑏 moins 𝑎 est l’aire de ce rectangle. La propriété suivante est que l’intégrale de la somme de deux fonctions est la somme des intégrales de ces fonctions. Donc, pour des fonctions positives, l’aire sous 𝑓 plus 𝑔 est égale à l’aire sous 𝑓 plus l’aire sous 𝑔.

De même, l’intégrale du produit d’une constante par une fonction est égale à cette constante fois l’intégrale de la fonction. Ensuite, en combinant les deux propriétés précédentes, on obtient que l’intégrale de la différence de deux fonctions est égale à l’intégrale de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 plus moins un multiplié par l’intégrale de 𝑔 de 𝑥 par rapport à 𝑥. Mais, bien sûr, c’est égal à la différence des intégrales de ces deux fonctions. Voyons à présent un exemple de certaines de ces propriétés.

Soit 𝑓 une fonction continue sur l’intervalle fermé moins quatre, quatre et dont l’intégrale définie de zéro à quatre de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à neuf. Calculez l’intégrale définie de zéro à quatre de 𝑓 de 𝑥 moins six d𝑥.

Pour répondre à cette question, rappelons quelques propriétés de base sur les intégrales définies. Premièrement, l’intégrale de la somme de deux fonctions est égale à la somme des intégrales de ces fonctions. De même, l’intégrale de la différence de deux fonctions est égale à la différence des intégrales de ces fonctions. On peut donc commencer par réécrire cette intégrale comme la différence de l’intégrale de zéro à quatre de 𝑓 de 𝑥 d𝑥 et l’intégrale de zéro à quatre de six par rapport à 𝑥. Rappelons également que pour la fonction constante 𝑐, l’intégrale définie de 𝑎 à 𝑏 de 𝑐 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑐 fois 𝑏 moins 𝑎.

Ici, 𝑐 égale six, 𝑎 égale zéro, 𝑏 égale quatre. Ainsi, l’intégrale définie de zéro à quatre de six par rapport à 𝑥 est simplement six fois quatre moins zéro, ce qui est égal à 24. D’après l’énoncé, on peut remplacer par neuf l’intégrale de zéro à quatre de 𝑓 de 𝑥 d𝑥. On obtient que l’intégrale de 𝑓 de 𝑥 moins six, de zéro à quatre, par rapport à 𝑥 est neuf moins 24. C’est égal à moins 15. Ainsi, bien qu’on ne connaisse pas la fonction 𝑓, on trouve que l’intégrale de zéro à quatre de 𝑓 de 𝑥 moins six d𝑥 est égale à moins 15.

Passons à un autre exemple impliquant des propriétés simples des intégrales définies.

Si l’intégrale définie de moins sept à huit de 𝑔 de 𝑥 d𝑥 est égale à 10, calculez la valeur de l’intégrale définie de huit à moins sept de sept 𝑔 de 𝑥 d𝑥.

Pour répondre à cette question, rappelons deux propriétés des intégrales définies. La première est que l’intégrale définie de 𝑏 à 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à moins l’intégrale définie de 𝑎 à 𝑏 de cette même fonction par rapport à 𝑥. On sait également que l’intégrale définie de 𝑎 à 𝑏 du produit d’une constante 𝑐 par 𝑓 de 𝑥 d𝑥 est égale à 𝑐 fois l’intégrale définie de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥. Cette propriété est utile car elle signifie qu’on peut sortir la constante de l’intégrale et intégrer directement la fonction elle-même.

Commençons par sortir de l’intégrale cette constante sept. On obtient que l’intégrale définie qu’on cherche à calculer est égale à sept fois l’intégrale définie de huit à moins sept de 𝑔 de 𝑥 par rapport à 𝑥. D’après l’énoncé, l’intégrale définie de moins sept à huit de cette fonction est égale à 10. Donc, on utilise la première propriété pour écrire que l’intégrale définie de huit à moins sept de 𝑔 de 𝑥 d𝑥 est égale à moins l’intégrale définie de moins sept à huit de 𝑔 de 𝑥 d𝑥.

On peut bien sûr simplifier. Donc, cette intégrale est égale à moins sept fois l’intégrale définie de moins sept à huit de 𝑔 de 𝑥 par rapport à 𝑥. Mais, bien sûr, on sait que cette intégrale définie est égale à 10. Donc, cette intégrale définie est égale à moins sept fois 10, soit moins 70.

Ce qui est appréciable avec les propriétés précédentes, c’est qu’elles valent pour des valeurs de 𝑎 inférieures à 𝑏, supérieures à 𝑏 ainsi que pour 𝑎 égale 𝑏. Mais il existe des propriétés qui sont vraies si, et seulement si, 𝑎 est inférieur ou égal à 𝑏. Ce sont les propriétés de comparaison d’intégrales. Elles permettent en effet de comparer des intégrales définies.

La première propriété indique que si 𝑓 de 𝑥 est supérieure ou égale à zéro, pour 𝑥 appartenant à l’intervalle fermé 𝑎, 𝑏, alors l’intégrale définie de 𝑎 à 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 d𝑥 est également supérieure à zéro. Et on le comprend si on voit l’intégrale définie comme étant l’aire entre la courbe de 𝑓 et l’axe des abscisses. L’interprétation géométrique est simplement que l’aire est positive. La surface se trouve au-dessus de l’axe des abscisses. La seconde propriété exprime qu’une fonction supérieure à une autre a une intégrale supérieure. Elle aussi se comprend géométriquement, mais on peut également la déduire de la première propriété, puisque 𝑓 moins 𝑔 est supérieure ou égale à zéro.

La troisième propriété demande un peu plus de réflexion. Si 𝑓 est continue, appelons petit 𝑚 et grand 𝑀, respectivement, les bornes inférieure et supérieure de 𝑓 sur l’intervalle fermé 𝑎, 𝑏. Cette propriété indique que l’aire sous la courbe de 𝑓 est supérieure à l’aire du rectangle de hauteur petit 𝑚, mais inférieure à l’aire du rectangle de hauteur grand 𝑀.

Résolvons à présent un exercice qui exploite certaines de ces propriétés.

On suppose que sur l’intervalle fermé moins deux, cinq, les valeurs de 𝑓 appartiennent à l’intervalle fermé petit 𝑚, grand 𝑀. Encadrez l’intégrale définie de moins deux à cinq de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥.

Rappelons une des propriétés de comparaison des intégrales. Si 𝑓 de 𝑥 est supérieure ou égale à petit 𝑚 et inférieure ou égale à grand 𝑀 pour des valeurs de 𝑥 supérieures ou égales à 𝑎 et inférieures ou égales à 𝑏. Alors 𝑚 fois 𝑏 moins 𝑎 est inférieur ou égal à l’intégrale définie de 𝑎 à 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥, qui est inférieure ou égale à grand 𝑀 fois 𝑏 moins 𝑎. Autrement dit, si petit 𝑚 est le minimum de 𝑓 et grand 𝑀 le maximum de 𝑓, l’aire sous la courbe de 𝑓 est supérieure à l’aire du rectangle de hauteur petit 𝑚. Mais inférieure à l’aire du rectangle de hauteur grand 𝑀.

Dans cet exemple, posons 𝑎 égale moins deux et 𝑏 égale cinq. Alors, on a 𝑚 fois cinq moins moins deux est inférieur ou égal à l’intégrale définie de moins deux à cinq de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥, qui est inférieure ou égale à grand 𝑀 fois cinq moins moins deux. Cinq moins moins deux font sept. Et donc, on a que l’intégrale définie est supérieure ou égale à sept petit 𝑚 et inférieure ou égale à sept grand 𝑀.

Les dernières propriétés qui nous intéressent concernent l’intégration de fonctions paires et impaires. Rappelons que si une fonction est impaire, 𝑓 de moins 𝑥 égale moins 𝑓 de 𝑥. Et une fonction est paire si 𝑓 de moins 𝑥 égale 𝑓 de 𝑥. Géométriquement, une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine. Par exemple, 𝑦 égale sinus 𝑥. Tandis qu’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées, par exemple la courbe d’équation 𝑦 égale cos 𝑥. Pour l’intervalle fermé moins 𝑎, 𝑎, si la fonction est impaire, l’intégrale définie de moins 𝑎 à 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à zéro. Et si elle est paire, on trouve qu’elle est égale à deux fois l’intégrale définie de zéro à 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥.

Encore une fois, ça se voit géométriquement. On a vu qu’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. Ainsi, l’intégrale de moins 𝑎 à 𝑎 donne une aire deux fois plus grande que celle de zéro à 𝑎. Pour une fonction impaire, les aires sont égales mais de part et d’autre de l’axe des 𝑥, et donc s’annulent.

Voyons quelques exemples.

Soit 𝑓 une fonction impaire, continue sur l’intervalle fermé moins un, sept ; et telle que l’intégrale définie de un à sept de 𝑓 de 𝑥 d𝑥 est égale à moins 17. Calculez l’intégrale définie de moins un à sept de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥.

On sait que la fonction 𝑓 est impaire. Rappelons la propriété suivante sur l’intégration de fonctions impaires. L’intégrale définie de moins 𝑎 à 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à zéro. On sait aussi que l’intégrale définie de un à sept de 𝑓 de 𝑥 d𝑥 est égale à moins 17. Donc on découpe l’intervalle d’intégration. Ainsi, l’intégrale recherchée entre moins un et sept de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à l’intégrale définie de moins un à un de 𝑓 de 𝑥 plus l’intégrale définie de un à sept de 𝑓 de 𝑥.

Or, la fonction 𝑓 est impaire. Donc, d’après la première propriété, on peut dire que l’intégrale définie de moins un à un de 𝑓 de 𝑥 d𝑥 est égale à zéro. Ensuite, on prend simplement l’intégrale définie de un à sept de 𝑓, qui est donnée dans l’énoncé. C’est moins 17. Donc, notre intégrale définie est égale à zéro plus moins 17, soit moins 17.

Passons maintenant à un exemple avec une fonction paire.

Soit 𝑓 une fonction paire, continue sur l’intervalle fermé moins huit, huit, et telle que l’intégrale définie de moins huit à huit de 𝑓 de 𝑥 d𝑥 est égale à 19 et l’intégrale définie de zéro à quatre de 𝑓 de 𝑥 d𝑥 est égale à 13. Calculez l’intégrale définie de moins huit à moins quatre de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥.

Commençons par rappeler la propriété de l’intégration d’une fonction paire, c’est-à-dire que l’intégrale définie de moins 𝑎 à 𝑎 de cette fonction paire est égale à deux fois l’intégrale définie de zéro à 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 d𝑥. Mais ce qu’on cherche est l’intégrale définie de moins huit à moins quatre de la fonction paire. On va procéder en deux étapes. Tout d’abord, on la sépare ; notre intégrale définie est égale à l’intégrale de moins huit à zéro moins l’intégrale de moins quatre à zéro. On écrit ensuite une relation concernant la première partie de cette intégrale en utilisant la parité de la fonction.

L’intégrale définie de moins huit à huit de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à deux fois l’intégrale définie de zéro à huit de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥. Mais c’est aussi égal à deux fois l’intégrale définie de moins huit à zéro de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥. Et bien sûr, d’après l’énoncé, l’intégrale définie de moins huit à huit de 𝑓 de 𝑥 vaut 19. Donc, 19 est égal à deux fois cette première intégrale. Ensuite, on divise par deux chaque côté de l’équation. On obtient 19 sur deux. L’intégrale recherchée est donc égale à 19 sur deux moins l’intégrale définie de moins quatre à zéro de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥.

Encore une fois, la fonction est paire. Donc, c’est égal à 19 sur deux moins l’intégrale définie de zéro à quatre de 𝑓 de 𝑥 d𝑥. Pour rappel, c’est parce que les fonctions paires sont symétriques par rapport à l’axe des ordonnées. Or, d’après l’énoncé, cette intégrale définie est égale à 13. Ensuite, pour calculer 19 sur deux moins 13, on remplace 13 par 26 sur deux. On obtient donc 19 sur deux moins 26 sur deux, soit moins sept sur deux. Et donc, on a trouvé l’intégrale définie de moins huit à moins quatre de 𝑓 de 𝑥 d𝑥. C’est moins sept sur deux.

Dans cette vidéo, on a vu quelques propriétés de base des intégrales qui aident lors de calcul d’intégrales. Pour une fonction continue 𝑓, l’intégrale définie de 𝑏 à 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à moins l’intégrale définie de 𝑎 à 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥. On a vu que l’intégrale d’une fonction constante 𝑐 est cette constante fois la différence entre les deux bornes d’intégration. Et que l’intégrale de la somme ou de la différence de deux fonctions continues est égale à la somme ou à la différence des intégrales de ces fonctions. On a vu qu’on pouvait sortir les constantes de l’intégrale et calculer directement l’intégrale de la fonction.

On a appris que les propriétés de comparaison d’intégrales s’appliquent lorsque 𝑏 est supérieur ou égal à 𝑎. D’après la première de ces propriétés, si 𝑓 de 𝑥 est supérieure ou égale à zéro, alors l’intégrale définie de 𝑎 à 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 d𝑥 est supérieure ou égale à zéro. Une fonction supérieure à une autre a une intégrale supérieure. Et si petit 𝑚 et grand 𝑀 sont des valeurs minimales et maximales de 𝑓 sur un intervalle fermé 𝑎, 𝑏, alors l’aire sous la courbe de 𝑓 est supérieure à l’aire du rectangle de hauteur petit 𝑚 et inférieure à l’aire du rectangle de hauteur grand 𝑀.

Enfin, on a appris que si une fonction est paire ou impaire sur un intervalle fermé moins 𝑎, 𝑎, alors les propriétés suivantes s’appliquent. Si elle est impaire, l’intégrale définie de moins 𝑎 à 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 d𝑥 est égale à zéro. Si elle est paire, cette intégrale est égale à deux fois l’intégrale définie de zéro à 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 d𝑥.