Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à utiliser des propriétés des intégrales définies, telles que celles sur l’ordre des bornes d’intégration, sur l’intégrale sur un intervalle de longueur nulle, sur leurs sommes et leurs différences.
Les intégrales définies sont des sommes de quantités particulières et sont intimement liées aux primitives. Le calcul intégral est un outil puissant pour comprendre et modéliser de nombreux phénomènes du monde réel, que ce soit en mathématiques fondamentales, avec des applications en géométrie pour le calcul d’aires et de volumes, ou en physique, pour déterminer la masse d’un objet, un travail, ou la pression exercée sur un objet, pour ne donner que quelques exemples.
L’intégrale définie de la fonction entre et peut être interprété comme étant l’aire algébrique sous la courbe représentative de entre et ; on donne une représentation graphique d’une intégrale sur la figure ci-dessous.
Comment définir les intégrales définies ? Avant de donner une définition précise, remarquons que l’aire sous une courbe d’équation entre et peut être estimée en partitionnant l’intervalle en sous-intervalles de longueurs égales, notés pour , comme indiqué sur la figure suivante.
Ainsi, on a rectangles de même base, notée , et de hauteurs respectives données par la valeur de la fonction en chacun des points , à l’extrémité droite de chacun des sous-intervalles. L’aire de chaque rectangle est le produit de sa base par sa hauteur : . On peut ainsi estimer l’aire sous la courbe représentative de en sommant les aires de chaque rectangle comme suit
Ce type de somme est également connu sous le nom de somme de Riemann. Lorsque le nombre de rectangle devient plus grand et que leur base devient plus petite, cette estimation converge vers l’aire réelle sous la courbe. De fait, on définit une intégrale définie, c’est-à-dire l’aire exacte sous la courbe, comme la limite des sommes de Riemann lorsque le nombre de rectangles tend vers l’infini.
Définition : L’intégrale définie
Étant donnée une fonction définie et continue sur l’intervalle , on peut diviser l’intervalle en sous-intervalles de même longueur, notée , puis choisir des points . L’intégrale définie entre les points et est définie grâce aux sommes de Riemann comme suit où à condition toutefois que la limite existe et soit indépendante du choix des points .
Le choix du point dans le sous-intervalle n’a pas d’importance. Puisque la longueur des intervalles , il en va de même pour la différence entre deux points de l’intervalle. Ainsi le choix de est arbitraire, et on peut donc produire différentes sommes de Riemann qui convergent toutes vers la même limite. En particulier, on a les choix usuels suivants :
- Si c’est-à-dire si la fonction est évaluée à l’extrémité droite de chaque sous-intervalle, alors nous avons une somme de Riemann à droite. L’intégrale définie en fonction de cette somme est Il s’agit du choix le plus souvent fait lorsque l’on souhaite calculer une somme de Riemann ou une intégrale, et cela correspond à l’exemple donné précédemment avec une estimation de l’aire sous la courbe en utilisant rectangles de base égale et en calculant la limite lorsque .
- Si , c’est-à-dire si la fonction est évaluée à l’extrémité gauche de chaque sous-intervalle, alors nous avons une somme de Riemann à gauche.
- Si , c’est-à-dire si la fonction est évaluée au milieu de chaque sous-intervalle, alors on a une somme de Riemann au milieu.
L’intégrale définie donne toujours l’aire algébrique sous la courbe ; l’aire donnée par l’intégrale définie au-dessus de l’axe des est de signe positif, alors qu’une aire sous l’axe des est de signe négatif, comme illustré sur la figure ci-dessous.
Si la courbe passe au-dessus et en-dessous de l’axe des dans l’intervalle , alors son intégrale définie est la différence entre l’aire au-dessus de l’axe des et l’aire sous l’axe des , dans l’intervalle .
En pratique, on calcule les intégrales définies en appliquant le théorème fondamental de l’analyse, c’est-à-dire en calculant une primitive de l’intégrande et en faisant la différence des évaluations de celle-ci aux bornes de l’intégrale.
Deuxième partie du théorème fondamental de l’analyse
Soit une fonction réelle définie sur un intervalle fermé et une primitive de dans :
Si est intégrable au sens de Riemann sur l’intervalle , alors
D’après le premier théorème fondamental de l’analyse, si est continue, alors admet une primitive ; la deuxième partie du théorème fondamental du calcul est toutefois plus générale puisqu’elle ne suppose pas que est continue.
Les intégrales définies satisfont également certaines propriétés similaires à celles des dérivées, des primitives, et des limites. Rappelons ces propriétés qui seront le principal sujet de cette fiche explicative.
Propriétés des intégrales définies
- La variable qui apparait dans l’expression des intégrales définies est une variable muette, que nous pourrions donc remplacer par une autre et obtenir le même résultat :
- L’intégrale définie d’une constante est proportionnelle à la longueur de l’intervalle sur lequel on intègre :
- Lorsque l’intervalle est de longueur nulle, c’est-à-dire si , on a
- On peut permuter les bornes de toute intégrale définie de la façon suivante
- L’intégrale définie respecte les opérations de somme et de différence, c’est-à-dire :
- On peut factoriser une constante et la sortir de l’intégrale définie :
- On peut aussi couper en deux une intégrale sur l’intervalle en une valeur sur les deux intervalles et comme suit :
- Si , alors
- Si , alors
- On a aussi une propriété sur les fonctions bornées ; si , alors
- On a l’inégalité suivante sur la valeur absolue d’une intégrale définie
- Enfin, nous avons une propriété sur l’intégrale définie de fonctions paires et impaires sur un intervalle de la forme .
Pour les fonctions paires , c’est-à-dire vérifiant , nous avons Pour les fonctions impaires, c’est-à-dire vérifiant , nous avons
La deuxième propriété correspond au cas d’une intégrale définie d’une fonction constante entre et , comme indiqué sur la figure.
L’intégrale définie donne l’aire algébrique sous la courbe, égale au rectangle de longueur et de largeur , au signe près.
Les autres propriétés des intégrales définies peuvent être démontrées directement en appliquant le théorème fondamental de l’analyse ; par exemple, dans le cas de la septième propriété, on applique le théorème après avoir divisé l’intégrale en deux pour montrer l’égalité
Par ailleurs, cette propriété est intuitive puisque l’aire totale est égale à la somme des aires de chacune de ses parties sur l’intervalle . Nous illustrons cela sur la figure suivante.
Lorsque l’on doit calculer une intégrale d’une fonction particulière sur un intervalle , on peut utiliser ces propriétés afin de nous aider à simplifier son expression avant de l’évaluer en appliquant le théorème fondamental de l’analyse.
Évaluons à présent l’intégrale définie de entre et , comme illustré sur la figure.
La fonction est impaire car elle vérifie l’équation . Donc, en appliquant la onzième propriété des intégrales définies de fonctions impaires, nous avons
Cela peut également se remarquer sur le graphe de la fonction ; l’intégrale définie dans le demi-plan positif annule l’intégrale définie sur le demi-plan négatif puisque, la courbe étant sous l’axe des , l’intégrale est de signe négatif.
Supposons que nous voulions calculer l’intégrale définie de entre et , comme illustré sur la figure ci-dessous.
Si on sait que ce que nous pourrions calculer en faisant deux intégrations par parties, alors nous pourrions calculer l’intégrale recherchée sur l’intervalle en utilisant le fait que la fonction est paire puisqu’elle vérifie l’équation . Donc, en utilisant la onzième propriété sur les intégrales définies de fonctions paires, on a
Nous pouvons également remarquer cela à partir du graphe de la fonction, puisque l’intégrale dans le demi-plan positif est exactement la même que l’intégrale dans le demi-plan négatif .
Nous allons maintenant nous exercer et approfondir notre compréhension des propriétés des intégrales définies en étudiant quelques exemples.
Dans le premier exemple, nous allons calculer une intégrale définie en utilisant la propriété de permutation des bornes d’intégration et de factorisation par une constante en dehors de l’intégrale.
Exemple 1: Calcul d’une intégrale définie en permutant ses bornes d’intégration
Sachant que , calculez la valeur de l’intégrale définie .
Réponse
Nous voulons dans cet exemple calculer une intégrale définie en utilisant la propriété de permutation des bornes et de factorisation par une constante en dehors de l’intégrale.
Les propriétés des intégrales définies que nous allons utiliser sont
En appliquant ces propriétés, nous pouvons calculer la valeur de l’intégrale recherchée de la sorte :
Étudions à présent un exemple dans lequel nous allons évaluer une intégrale définie en appliquant la propriété de l’intégrale de la somme de deux fonctions et celle de l’intégrale d’une constante sur ce même intervalle.
Exemple 2: Calcul d’une intégrale définie en utilisant la propriété de l’intégrale de la somme de deux fonctions sur un même intervalle
La fonction est continue sur et satisfait . Calculez .
Réponse
Dans cet exemple, on veut calculer une intégrale définie en utilisant la propriété de l’intégrale d’une somme de deux fonctions et de l’intégrale d’une constante sur un même intervalle.
Les propriétés des intégrales définies que nous allons utiliser sont
En appliquant ces propriétés, nous pouvons déterminer la valeur de l’intégrale donnée comme étant
Dans l’exemple suivant, nous allons évaluer une intégrale définie en utilisant la propriété d’addition de deux intégrales définies et en factorisant une constante hors de l’intégrale.
Exemple 3: Calcul d’une intégrale définie en utilisant la propriété d’addition de deux intégrales définies sur le même intervalle
Si et , calculez .
Réponse
Dans cet exemple, nous voulons évaluer une intégrale définie en utilisant la propriété d’addition de l’intégrale de deux fonctions et en factorisant une constante hors de l’intégrale.
Les propriétés des intégrales définies que nous allons utiliser sont
En appliquant ces propriétés, nous pouvons calculer la valeur de l’intégrale donnée comme suit :
Étudions à présent un exemple dans lequel nous allons déterminer entre quelles bornes est comprise une intégrale définie dont l’intégrande prend ses valeurs dans un intervalle particulier.
Exemple 4: Estimation d’une intégrale définie à l’aide de la propriété des intégrales définies de fonctions bornées
Supposons que, sur l’intervalle , la fonction prend ses valeurs dans . Entre quelles bornes l’intégrale est-elle comprise ?
Réponse
Dans cet exemple, nous voulons déterminer des bornes inférieures et supérieures pour la valeur de l’intégrale, sachant que prend ses valeurs dans un intervalle connu.
En particulier, on sait que si , alors
En appliquant cette propriété avec et , on obtient . Ainsi,
Dans l’exemple suivant, nous allons évaluer une intégrale définie en utilisant la propriété permettant d’écrire une intégrale comme somme de deux intégrales sur des intervalles adjacents.
Exemple 5: Calcul d’une intégrale définie en utilisant la propriété d’addition de deux intégrales définies sur deux intervalles adjacents
Sachant que et , calculez .
Réponse
Dans cet exemple, nous souhaitons évaluer une intégrale définie en utilisant la propriété d’addition de deux intégrales définies sur des intervalles adjacents.
Cette propriété s’exprime de la façon suivante :
En appliquant cette propriété et en évaluant cette expression en les valeurs connues, on obtient ce qui, après réarrangement, nous donne
Regardons à présent un exemple dans lequel nous allons utiliser la propriété d’addition de deux intégrales sur des intervalles adjacents. Nous utiliserons également la propriété de permutation des bornes d’une intégrale.
Exemple 6: Expression de la somme de trois intégrales définies sur des intervalles adjacents en une unique intégrale
La fonction est continue sur l’intervalle . Écrivez sous la forme .
Réponse
Nous voulons dans cet exemple réécrire la somme de trois intégrales définies à l’aide de propriétés d’addition d’intégrales sur des intervalles adjacents et de permutation des bornes d’intégration.
Nous pouvons énoncer ces propriétés :
On peut combiner les deux premiers termes en utilisant la première propriété comme suit puis réécrire le troisième terme de la sorte
Puis, en appliquant de nouveau la première propriété aux deux termes restants, on obtient
Dans l’exemple suivant, nous allons utiliser la propriété des intégrales définies de fonctions paires sur un intervalle de la forme pour calculer une intégrale définie à partir d’une valeur donnée.
Exemple 7: Intégration de fonctions paires
Si la fonction paire est continue sur l’intervalle , et si , calculez la valeur de l’intégrale définie .
Réponse
Dans cet exemple, nous voulons évaluer une intégrale définie en utilisant la propriété des intégrales définies des fonctions paires sur un intervalle de la forme .
Nous rappelons que cette propriété sur les fonctions paires, c’est-à-dire satisfaisant , est la suivante
En appliquant cette propriété, nous pouvons déterminer la valeur de l’intégrale définie donnée comme étant
Étudions à présent un exemple dans lequel nous utilisons la propriété de l’intégrale définie d’une fonction impaire sur un intervalle de la forme pour calculer une intégrale définie à partir d’une valeur donnée. Nous allons également appliquer la propriété d’addition de deux intégrales d’une fonction sur des intervalles adjacents.
Exemple 8: Calcul de l’intégrale définie d’une fonction impaire à l’aide des propriétés d’intégration
La fonction est impaire, continue sur , et satisfait . Calculez .
Réponse
Ici, nous voulons calculer une intégrale définie en utilisant la propriété des intégrales définies de fonctions impaires sur un intervalle et en divisant l’intégrale en deux intégrales définies sur des intervalles adjacents
Pour intégrer les fonctions impaires, c’est-à-dire vérifiant , nous allons utiliser les propriétés suivantes
En appliquant ces propriétés, on calcule l’intégrale voulue de la façon suivante
Dans l’exemple suivant, nous allons utiliser la propriété des intégrales définies de fonctions paires sur un intervalle de la forme afin d’évaluer une intégrale définie à partir des valeurs données. Nous utiliserons également les propriétés de permutation des bornes d’intégration et d’addition de deux intégrales sur des intervalles adjacents.
Exemple 9: Calcul de l’intégrale définie d’une fonction paire à l’aide des propriétés d’intégration
La fonction est paire, continue sur l’intervalle , et satisfait et . Calculez .
Réponse
Ici, nous voulons calculer une intégrale définie en utilisant la propriété des intégrales définies de fonctions paires sur un intervalle de la forme , en permutant les bornes d’intégration et en écrivant l’intégrale comme la somme de deux intégrales sur deux intervalles adjacents.
Nous allons utiliser les propriétés d’intégration des fonctions paires (c-à-d de la forme ) suivantes :
En appliquant la deuxième et troisième propriété, on peut réécrire l’intégrale définies comme suit
On peut calculer chacune de ces intégrales définies en utilisant la propriété de symétrie des fonctions paires donnée par
En appliquant cette symétrie, la première intégrale définies est
De la même manière, on peut calculer la deuxième intégrale définie. En appliquant la première propriété, on a
Ainsi, par symétrie, on a
Donc, nous pouvons finir le calcul de l’intégrale recherchée
Étudions à présent un exemple où nous devrons utiliser la propriété des intégrales définies de fonctions impaires sur un intervalle de la forme pour calculer une intégrale.
Exemple 10: Calcul d’une intégrale définie à l’aide des propriétés d’intégration de fonctions impaires
Calculez .
Réponse
Ici, nous voulons calculer l’intégrale d’une fonction impaire, comme illustré sur la figure suivante, en utilisant la propriété de l’intégrale définie d’une fonction impaire sur un intervalle de la forme .
On commence par démontrer que l’intégrande est bien une fonction impaire. On démontre que comme suit
On sait que dans le cas des fonctions impaires, l’intégrale définie satisfait l’égalité suivante
Ainsi, l’intégrale recherchée vérifie
Enfin, dans le dernier exemple, nous allons utiliser la propriété des intégrales définies de fonctions paires sur un intervalle de la forme en conjonction avec le théorème fondamental de l’analyse pour calculer une intégrale.
Exemple 11: Calcul de l’intégrale définie d’une fonction puissance
Calculez .
Réponse
Ici, nous voulons calculer l’intégrale définie d’une fonction paire, comme illustré par la figure suivante, en utilisant la propriété de l’intégrale définie de fonctions paires sur un intervalle de la forme .
On commence par montrer que l’intégrande est bien une fonction paire. On démontre que cette fonction satisfait bien comme suit
On utilise la propriété sur les intégrales définies des fonctions paires suivante
En appliquant cette propriété à l’intégrale recherchée, on a
On commence par calculer la primitive de en utilisant une intégrale indéfinie :
Afin de calculer l’intégrale définie recherchée, on applique à présent le théorème fondamental de l’analyse qui stipule que si est continue sur et si , alors
Notons que nous pouvons ignorer la constante d’intégration dans la primitive puisque celle-ci s’annule dans la différence .
L’intégrande est clairement défini et continu sur tout l’intervalle . Ainsi, en prenant la différence entre les évaluations de la primitive aux bornes d’intégration, on obtient
Points clés
Nous devons retenir les propriétés clés des intégrales définies suivantes :
- L’intégrale définie d’une constante est proportionnelle à la longueur de l’intervalle d’intégration :
- En permutant les bornes de l’intégrale, on obtient
- L’intégrale respecte les opérations de somme et de différence, c’est-à-dire
- On peut factoriser les termes constants en dehors de l’intégrale comme suit
- On peut écrire une intégrale comme somme de deux intégrales sur des intervalles adjacents de la sorte
- Si , alors
- Si , alors
- Si , alors
- Toute fonction paire (c-à-d telle que ) vérifie Toute fonction impaire (c-à-d telle que ) vérifie
