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Les vitesses correspondant aux droites indiquées sur le graphique distance-temps suivant changent-elles de valeur de manière égale pour toute paire de deux droites adjacentes?
Alors, dans cette question, on nous donne un graphique distance-temps. C’est un graphique qui met la distance sur l’axe verticale ou l’axe des 𝑦 en fonction du temps sur l’axe horizontal ou l’axe des 𝑥. On nous demande de comparer les vitesses correspondant à ces quatre droites différentes qui sont tracées sur le graphique. Rappelons alors que la vitesse d’un objet est définie comme le taux de variation de la distance parcourue par cet objet avec le temps. Cette définition signifie que si un objet se déplaçant à vitesse constante parcourt une distance Δ𝑑 et qu’il faut un temps Δ𝑡 pour le faire, alors la vitesse de cet objet, que nous appellerons 𝑣, est égale à Δ𝑑 divisé par Δ𝑡.
Un graphique distance-temps nous montre la distance parcourue par un objet à chaque instant. Cette expression pour la vitesse d’un objet est la variation de distance. Il s’agit donc de la variation de la coordonnée verticale sur un graphique distance-temps divisé par la variation de temps. Et ceci correspond à la variation de la coordonnée horizontale sur ce graphique. La variation de la coordonnée verticale sur une certaine partie d’une droite sur un graphique divisée par la variation de la coordonnée horizontale sur cette même partie est définie comme la pente de cette droite. On peut alors dire que la vitesse d’un objet est égale à la pente de la droite correspondante sur un graphique distance-temps.
Pour une droite, la pente a une valeur constante. Ainsi, une droite sur un graphique distance-temps doit représenter un objet qui se déplace à une vitesse constante. Nous pouvons voir que les quatre courbes sur ces graphiques distance-temps sont en effet des droites, elles doivent donc toutes représenter un mouvement à une vitesse constante. On peut aussi écrire cette expression pour la vitesse 𝑣 d’une autre manière.
Considérons deux points le long d’une droite sur un graphique distance-temps avec les coordonnées 𝑡 un, 𝑑 un et 𝑡 deux, 𝑑 deux, respectivement. Cela équivaut à un objet se déplaçant d’une distance de 𝑑 un à une distance de 𝑑 deux entre un instant de 𝑡 un et un temps de 𝑡 deux. En d’autres termes, la variation de distance parcourue par l’objet Δ𝑑 est égale à 𝑑 deux moins 𝑑 un. Et la variation de temps Δ𝑡 sur laquelle se produit cette variation de distance est égale à 𝑡 deux moins 𝑡 un.
Dans cet esprit, utilisons cette expression maintenant pour calculer la pente, et donc la vitesse, correspondant à chacune de ces quatre droites sur le graphique distance-temps. Nous avons appelé la vitesse de la droite orange 𝑣 indice o, la vitesse de la droite verte 𝑣 indice v, la droite bleue 𝑣 indice b et la droite rouge 𝑣 indice r. Pour calculer ces valeurs des vitesses, nous devons choisir deux points sur chaque droite avec les coordonnées de 𝑡 un, 𝑑 un et 𝑡 deux, 𝑑 deux, respectivement. L’utilisation des valeurs de ces quatre grandeurs pour chaque droite dans cette équation nous permettra alors de calculer la vitesse correspondant à cette droite.
Commençons par la droite orange sur le graphique. Voilà donc le calcul de la vitesse 𝑣 indice o. Nous allons choisir notre premier point sur cette droite au niveau de l’origine du graphique. Il s’agit donc d’une valeur de temps de zéro seconde et d’une valeur de distance de zéro mètre. Cela nous donne nos valeurs pour les grandeurs 𝑡 un et 𝑑 un. Pour le deuxième point de cette droite orange, choisissons celui-ci car en ce point, la droite orange se croise avec une ligne de grille horizontale et une ligne de grille verticale.
En traçant directement à partir de ce point le long de la ligne de grille verticale jusqu’à ce que nous arrivions à l’axe des temps, nous voyons que ce point a une valeur de temps de deux secondes. Voilà donc notre valeur pour la grandeur 𝑡 deux. Ensuite, en traçant le long de la ligne de grille horizontale jusqu’à ce que nous arrivions à l’axe de distance, nous pouvons voir qu’en ce point, la distance parcourue par l’objet est égale à huit mètres. Donc, cela nous donne notre valeur pour 𝑑 deux.
Nous pouvons maintenant prendre ces quatre valeurs et les remplacer dans cette expression afin de calculer la valeur de 𝑣 indice o. Lorsque nous faisons cela, nous obtenons cette expression ici. Au numérateur, nous avons huit mètres, c’est notre valeur pour la distance 𝑑 deux, moins zéro mètre, c’est 𝑑 un. Et puis cela est divisé par deux secondes, c’est le temps 𝑡 deux, moins zéro seconde, le temps 𝑡 un. Maintenant, huit mètres moins zéro mètre est simplement égal à huit mètres. Et de même, deux secondes moins zéro seconde est juste égal à deux secondes. Nous avons alors que 𝑣 indice o est égal à huit mètres divisés par deux secondes. Cela correspond à une vitesse de quatre mètres par seconde.
Maintenant que nous avons trouvé la vitesse correspondant à la droite orange, continuons le travail et faisons la même chose pour la ligne verte. Il s’agit de trouver la vitesse 𝑣 indice v. Choisissons à nouveau l’origine du graphique comme premier point sur cette droite verte. Cela nous donne que 𝑡 un est égal à zéro seconde et 𝑑 un est égal à zéro mètre, comme nous l’avions fait auparavant. Si nous choisissons ensuite ce point sur la droite verte comme notre deuxième point, nous pouvons voir qu’il se produit à la même valeur de deux secondes que pour le deuxième point sur la droite orange. Donc, comme nous l’avions fait auparavant, notre valeur pour 𝑡 deux est de deux secondes. Donc, la seule chose qui diffère entre les parties de la droite orange et de la droite verte que nous avons choisie est la valeur de la grandeur 𝑑 deux.
En traçant horizontalement à partir de ce deuxième point de la droite verte, nous rencontrons l’axe des distances à une valeur de six mètres. Et c’est notre valeur de 𝑑 deux. Ce que nous avons alors est qu’entre un instant de zéro seconde et un instant de deux secondes, l’objet représenté par la droite orange est passé d’une distance de zéro mètre à une distance de huit mètres, dans ce même intervalle entre zéro et deux secondes, l’objet représenté par cette droite verte est passé de la même distance de départ de zéro mètre à une distance finale de six mètres. Si nous substituons maintenant ces quatre valeurs dans cette équation, nous obtenons cette expression pour la vitesse 𝑣 indice v, qui ressemble presque exactement à celle que nous avions avant pour 𝑣 indice o, sauf que maintenant nous avons les six mètres au numérateur où auparavant, nous avions huit mètres.
Nous pouvons voir que six mètres moins zéro mètre donnent six mètres. Et de même, deux secondes moins zéro seconde font tout simplement deux secondes. Nous avons donc que 𝑣 indice v est égal à six mètres divisés par deux secondes, ce qui équivaut à trois mètres par seconde. Continuons et maintenant faisons la même chose pour la vitesse 𝑣 indice b correspondant à la droite bleue.
Encore une fois, nous allons choisir l’origine comme premier point, ce qui nous donne 𝑡 un est égal à zéro seconde et 𝑑 un est égal à zéro mètre. Pour le deuxième point de cette droite, nous choisirons celui-ci, qui, nous pouvons le voir, a une valeur de temps de deux secondes et une valeur de distance de quatre mètres. Cela nous donne nos valeurs pour les grandeurs 𝑡 deux et 𝑑 deux. Encore une fois, les valeurs de 𝑡 un, 𝑑 un et 𝑡 deux n’ont pas changé. La seule valeur qui a changé est la valeur de 𝑑 deux. L’utilisation de ces quatre valeurs dans cette équation nous donne cette expression pour la vitesse 𝑣 indice b. Nous pouvons alors calculer cela pour obtenir un résultat de deux mètres par seconde.
La dernière valeur de vitesse qui reste à trouver est 𝑣 indice r, la vitesse correspondant à la droite rouge. Comme précédemment, nous choisirons l’origine comme premier point sur cette droite, ce qui nous donnera zéro seconde et zéro mètre pour les valeurs de 𝑡 un et 𝑑 un, respectivement. Comme deuxième point, nous allons choisir celui-ci, que nous pouvons voir a une valeur de temps de deux secondes et une valeur de distance de deux mètres. Cela nous donne nos valeurs pour les grandeurs 𝑡 deux et 𝑑 deux. L’utilisation de ces valeurs dans cette équation nous donne cette expression pour 𝑣 indice r. Cela correspond à une vitesse d’un mètre par seconde.
Alors, nous avons donc trouvé les quatre vitesses correspondant aux quatre droites différentes sur ce graphique distance-temps. La question nous demande si ces vitesses changent de valeur de manière égale pour toute paire de droites adjacentes. Nous pouvons voir que ces droite sont ordonnées du orange, au vert, au bleu, puis au rouge. La question nous demande donc si la différence entre la vitesse de la droite orange et la vitesse de la droite verte est la même que la différence entre la vitesse de la droite verte et la vitesse de la droite bleue et la même que la différence entre la vitesse de la droite bleue et la droite rouge. En d’autres termes, on nous demande si cette affirmation est vraie ou non.
À gauche, nous avons 𝑣 indice o moins 𝑣 indice v. C’est la différence entre les vitesses représentées par la droite orange et la droite verte. Au milieu, nous avons 𝑣 indice v moins 𝑣 indice b, qui est la différence entre les vitesses de la droite verte et de la droite bleue. Enfin à droite, 𝑣 indice b moins 𝑣 indice r est la différence entre les vitesses de la droite bleue et de la droite rouge. Nous pouvons calculer chacune de ces trois différences en utilisant nos valeurs pour les quatre vitesses.
Lorsque nous faisons cela, nous nous retrouvons avec ces trois expressions pour ces différences. Nous pouvons voir que dans les trois cas, cette différence est la même et est égale à un mètre par seconde. Puisque nous avons trouvé la même différence d’un mètre par seconde entre les vitesses correspondant à chaque paire de droites adjacentes sur le graphique, alors notre réponse à cette question est oui, les vitesses correspondant aux droites sur ce graphique distance-temps changent de valeur de manière égale pour toute paire de droites adjacentes.
