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Un corps se déplace en ligne droite. À l’instant 𝑡 secondes, son accélération vaut 𝑎 égale 7𝑡 plus 19 mètres par seconde au carré, où 𝑡 est supérieur ou égal à zéro. Sachant que le déplacement initial du corps est de neuf mètres et que, à 𝑡 égale deux secondes, sa vitesse est de 27 mètres par seconde. Quel est son déplacement à 𝑡 égale trois secondes?
Avant d’aborder cette question, il est important de se rappeler que pour passer de l’accélération à la vitesse, il faut intégrer l’expression. De même, il faut intégrer pour passer de la vitesse au déplacement.
D’après l’énoncé, l’accélération 𝑎 est égale à 7𝑡 plus 19 mètres par seconde au carrè Cela implique que la vitesse est égale à l’intégrale de 7𝑡 plus 19. L’intégrale de 7𝑡 est 7 sur 2 fois 𝑡 au carré et l’intégrale de 19 est 19𝑡. Il faut penser à ajouter la constante à la fin. 𝑣 est égal à 7 sur 2 fois 𝑡 au carré plus 19𝑡 plus une constante c.
On sait aussi que pour 𝑡 égale deux, la vitesse 𝑣 est égale à 27. Utiliser ces valeurs dans l’équation permettra de déterminer la valeur de la constante 𝑐. 27 est égal à sept multiplié par deux au carré divisé par deux plus 19 multiplié par deux plus 𝑐. Deux au carré égale quatre, quatre multiplié par sept égale 28, et 28 divisé par deux égale 14. 19 multiplié par deux égale 38. Il nous reste donc 27 égale 14 plus 38 plus 𝑐. 14 plus 38 égale 52. On a donc 27 égale 52 plus 𝑐. En retranchant 52 de chaque côté de cette équation, on trouve que 𝑐 est égal à moins 25.
Cela signifie que l’expression de la vitesse à l’instant 𝑡 est égale à 7 𝑡 au carré sur deux plus 19𝑡 moins 25. On a maintenant une équation de l’accélération et de la vitesse.
La dernière étape consiste à trouver l’équation du déplacement. Le déplacement est égal à l’intégrale de la vitesse, ici l’intégrale de 7𝑡 au carré sur deux plus 19𝑡 moins 25. C’est égal à 7𝑡 au cube sur six plus 19𝑡 au carré sur deux moins 25𝑡 plus 𝑐.
D’après l’énoncé, le déplacement initial est de neuf mètres. Par conséquent, pour 𝑡 égale zéro, 𝑠 est égal à neuf. En utilisant ces valeurs, on peut calculer 𝑐. Les trois premiers termes étant tous égaux à zéro, on en déduit que 𝑐 est égal à neuf. Cela signifie que l’équation du déplacement est 7𝑡 au cube sur six plus 19𝑡 au carré sur deux moins 25𝑡 plus neuf.
La dernière partie de la question demande de calculer le déplacement pour 𝑡 égale trois secondes. Il faut donc remplacer 𝑡 par trois dans cette équation. Cela donne 𝑠 égale sept multiplié par trois au cube divisé par six plus 19 multiplié par trois au carré divisé par deux moins 25 multiplié par trois plus neuf. À l’aide de la calculatrice, on trouve 51.
Donc, le déplacement pour 𝑡 égale trois est de 51 mètres.
