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Une particule se déplace en ligne droite de sorte que sa vitesse 𝑣 mesurée en mètres par seconde et sa position 𝑥 mesurée en mètres satisfont à l'équation 𝑣 au carré égale 33 moins trois cosinus 𝑥. Déterminez la vitesse maximale de la particule 𝑣 max et l'accélération de la particule 𝑎 quand 𝑣 est égale à 𝑣 max.
Généralement, lorsque nous considérons les maximums et les minimums, on pense à la dérivation d'une fonction. Ce n'est pas le cas ici. Nous avons une équation 𝑣 au carré égale à 33 moins trois cosinus 𝑥. Et on doit trouver la vitesse maximale de la particule 𝑣 max. Et donc, on va commencer par considérer la première partie de cette fonction, celle du cosinus 𝑥. Voyons ce que nous savons du cosinus 𝑥. L'ensemble image de cosinus 𝑥 est constituée des valeurs supérieures ou égales à moins un et inférieures ou égales à un. Il faut donc déterminer les valeurs du cosinus 𝑥 qui rendent 33 moins trois cosinus 𝑥 aussi grande que possible.
Eh bien, en multipliant moins trois par moins un, on obtient une valeur positive pour moins trois cos 𝑥. Ainsi, la valeur maximale de 𝑣 au carré et donc de 𝑣 sera obtenue lorsque cosinus 𝑥 sera égal à moins un. Lorsque cela arrive, notre expression pour 𝑣 au carré est 33 moins trois fois moins un, ce qui donne 33 plus trois ou 36. La valeur maximale de 𝑣 au carré est donc 36. Pour trouver la solution de cette équation pour 𝑣, on doit appliquer la fonction réciproque du carré. On va prendre la racine carrée des deux membres de l'équation.
Normalement, on considère les racines carrées positives et négatives, mais nous nous intéressons uniquement à la vitesse, et la vitesse n'a pas de direction. Elle est positive. On peut donc dire que la valeur maximale de 𝑣 sera égale à la racine carrée de 36, qui est simplement six. On travaille en mètres par seconde, donc 𝑣 max est de six mètres par seconde.
La question nous demande également de trouver l'accélération, 𝑎, de la particule lorsque la vitesse est égale à 𝑣 max ; elle est égale à six mètres par seconde. Considérons donc ce que nous savons de la vitesse maximale de la particule. Nous savons que l'accélération est le taux de variation de la vitesse. Et donc, quand on pense au taux de variation, on pense à la dérivée. Donc, l'accélération est trouvée en dérivant la fonction 𝑣 par rapport à 𝑡.
De manière similaire, on peut trouver la position de tout maximum ou minimum relatif d'une fonction en mettant la dérivée égale à zéro. Dans notre cas, la vitesse maximale de la particule se produira lorsque sa dérivée première sera égale à zéro. Or, nous avons dit que la dérivée première de 𝑣 par rapport à 𝑡 est 𝑎. Et donc, la vitesse maximale de la particule doit se produire lorsque l'accélération elle-même est égale à zéro. L'accélération sera exprimée en mètres par seconde par seconde ou en mètres par seconde carrée.
Et donc on voit que la vitesse maximale de notre particule 𝑣 max est de six mètres par seconde et que son accélération est de zéro mètre par seconde carrée.
