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Madison a installé une voile d'ombrage triangulaire dans son jardin, comme le montre le schéma. Déterminez l'aire de la voile d'ombrage. Donnez votre réponse au centième près.
Plusieurs méthodes peuvent être utilisées pour répondre à cette question. On va voir une approche qui utilise les vecteurs. La clé ici est de considérer cette voile d'ombrage triangulaire comme la moitié d'un parallélogramme. Et donc, l'aire de la voile d'ombrage triangulaire est la moitié de l'aire du parallélogramme. Heureusement, nous savons comment trouver l'aire d'un parallélogramme en utilisant des vecteurs.
Si on appelle les vecteurs des deux côtés adjacents du parallélogramme 𝑢 et 𝑣, comme illustré, alors l'aire du parallélogramme est la norme du produit vectoriel des vecteurs 𝑢 et 𝑣. En combinant cela avec le point précédent, l'aire de la voile d'ombrage est alors la moitié de la norme du produit vectoriel des vecteurs 𝑢 et 𝑣.
Mais comment allons-nous calculer le produit vectoriel des vecteurs 𝑢 et 𝑣 sans connaître leurs composantes ? On ne nous dit pas quelles sont les composantes de 𝑢 et 𝑣 dans la question. Il nous faut faire des choix sur les directions des axes des 𝑥, des 𝑦 et des 𝑧, qui vont déterminer les directions des vecteurs unitaires 𝑖, 𝑗 et 𝑘.
Dans le coin en bas à gauche de notre figure, on voit trois directions mutuellement perpendiculaires. On peut donc choisir ces directions comme étant 𝑖, 𝑗, et 𝑘 dans un certain ordre. Par convention, je choisis 𝑖 et 𝑗 comme étant les vecteurs horizontaux et 𝑘 comme étant dirigé vers le haut. Grâce à ce choix, il est relativement facile de voir ce qu'est 𝑣. Il est orienté dans la direction de 𝑗. Et sa longueur est de huit mètres. Donc, il doit être égal à huit 𝑗.
Mais pour le vecteur 𝑢 ? Comment trouver ses composantes ? Heureusement, on peut voir un chemin entre le point d'origine de 𝑢 et son point d'extrémité. On peut aller jusqu'au fond, le long du fond jusqu'à l'autre mur, le long de la base de ce mur, puis en haut du mur. Ainsi, le vecteur 𝑢 est simplement la somme de ces vecteurs. Le premier vecteur est dirigé dans la direction opposée au vecteur 𝑘. Et si on observe l'autre extrémité du mur, on voit que sa norme doit être égale à deux. Donc ce vecteur doit être moins deux 𝑘.
Qu'en est-il du vecteur suivant qui est dirigé dans la direction opposée du vecteur 𝑖 et dont la norme est égale à six ? Il est donc moins six 𝑖. Quant au troisième vecteur qui a une norme de trois mètres et qui est dirigé dans la direction 𝑗, il doit être égal à trois 𝑗. Et finalement, le quatrième vecteur qui est dirigé dans la direction 𝑘 a une norme égale à quatre, soit la hauteur de ce mur, et vaut donc quatre 𝑘.
Maintenant, il nous suffit de simplifier cette somme, pour trouver que celle-ci est moins six 𝑖 plus trois 𝑗 plus deux 𝑘. Il serait peut-être utile d'écrire les deux vecteurs sous forme de composantes, car nous en aurons besoin pour trouver le produit vectoriel, qui est, en fait, ce que nous avons utilisé pour trouver l'aire de la voile.
Libérons un peu de place et calculons ce produit vectoriel. Calculons maintenant ce produit vectoriel et trouvons ainsi l'aire. Le produit vectoriel de 𝑢 et 𝑣 est le déterminant de la matrice trois fois trois dont la première ligne contient les vecteurs unitaires 𝑖, 𝑗, et 𝑘, la deuxième ligne contient les composantes de 𝑢, et la troisième ligne contient les composantes de 𝑣. On développe ce déterminant suivant la première ligne et on calcule les valeurs des déterminants deux fois deux. Là encore, on peut écrire cela sous forme de composantes si on le souhaite.
Puisque nous avons trouvé le produit vectoriel de 𝑢 et 𝑣, faisons un peu plus de place et trouvons sa norme. En effet, on veut trouver la moitié de sa norme. Or, comment trouve-t-on la norme d'un vecteur ? Et bien, c'est la racine carrée de la somme des carrés des composantes.
Maintenant, il s'agit juste de simplifier ou de passer à la calculatrice. On obtient la moitié fois 16 racine de 10, ce qui donne bien sûr huit racine de 10. Comme il s'agit d'une surface dont toutes les longueurs sont exprimées en mètres, cette surface est exprimée en mètres au carré. Il s'agit donc de l'aire exacte de la voile d'ombrage triangulaire.
Mais nous devons seulement donner cette valeur au centième près. Encore une fois, on utilise notre calculatrice. Huit racine 10 est 25.29822 ainsi de suite. Et au centième près, ça nous donne 25.30. L'aire de la voile d'ombrage triangulaire de Madison est de 25.30 mètres carrés donnée au centième près.
Pour calculer cette valeur, nous avons utilisé le fait que la surface d'un triangle dans l'espace tridimensionnel est la moitié de la norme du produit vectoriel des vecteurs de deux côtés.
