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Vidéo de la leçon : Produit vectoriel en 3D Mathématiques

Dans cette vidéo, on va apprendre comment déterminer le produit vectoriel de deux vecteurs dans l’espace et l’utiliser pour calculer l’aire des figures géométriques.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, on va parler du produit vectoriel en 3D. Il s’agit d’une opération mathématique qu’on applique à deux vecteurs dans un espace tridimensionnel. On va apprendre comment le faire, pourquoi c’est utile, ainsi que la signification géométrique du produit vectoriel.

Pour commencer, la première chose qu’on va dire à propos de cette opération est qu’elle s’applique à deux vecteurs pouvant avoir jusqu’à trois dimensions chacun. Par exemple, imaginons qu’on a deux vecteurs 𝐀 et 𝐁, chacun avec des composantes 𝐢, 𝐣 et 𝐤. Le produit vectoriel en trois dimensions combine des vecteurs de ce type, et ce qui en résulte est aussi un vecteur. Et pas seulement cela, ce vecteur est également orthogonal aux deux vecteurs concernés par le produit vectoriel.

Donc, si on considère le produit vectoriel des vecteurs 𝐀 et 𝐁, et qui est représenté par ce symbole × comme ceci, cette opération nous donnerait un troisième vecteur, on l’appelle 𝐂, qui est orthogonal à 𝐀 et 𝐁. Disons donc que voici le vecteur 𝐀 et voici le vecteur 𝐁. Et même si les deux sont tridimensionnels, on peut les voir dans une perspective perpendiculaire aux deux vecteurs. Dans cette perspective, le vecteur 𝐂 résultant de 𝐀 fois 𝐁 serait dans la direction qui sort de l’écran.

Parmi les utilités du produit vectoriel, si on trace un parallélogramme où les deux côtés adjacents sont nos deux vecteurs d’entrée 𝐀 et 𝐁, alors l’aire de ce parallélogramme est égale à la norme de 𝐀 fois 𝐁. Et c’est cette zone qui nous indique la valeur de 𝐂. Et cela nous dit une chose de plus sur le produit vectoriel tridimensionnel, à savoir que lorsque nos deux vecteurs d’entrée définissent des côtés adjacents d’un parallélogramme, l’aire de cette figure est égale à la norme du produit vectoriel de ces vecteurs. Évaluer un produit vectoriel en 3D nous permet de calculer un certain nombre de quantités physiques utiles, par exemple le couple ou la quantité de mouvement angulaire.

Maintenant que on a vu la signification du produit vectoriel, voyons comment l’effectuer. La représentation mathématique du produit vectoriel tridimensionnel se fait avec une matrice trois × trois. Dans la première ligne de cette matrice, on a les trois vecteurs unitaires orthogonaux 𝐢, 𝐣 et 𝐤. Dans la ligne suivante, on a les composantes correspondantes du premier vecteur énumérées dans notre produit vectoriel, dans ce cas le vecteur 𝐀. Et dans la dernière ligne, on a ces mêmes composantes de notre second vecteur.

Notez que lorsqu’on effectue un produit vectoriel, l’ordre des vecteurs est important. En général, 𝐀 fois 𝐁 n’est pas égal à 𝐁 fois 𝐀. Maintenant, notez que nous avons explicitement indiqué qu’il faut évaluer le déterminant de notre matrice trois × trois. Il est fréquent de représenter cette opération mathématique comme ceci. Et cela signifie la même chose. Lorsqu’on effectue ce produit vectoriel, on obtient un vecteur tridimensionnel. On calcule ce résultat, composante par composante.

Si on calcule d’abord la composante suivant 𝐢, on doit multiplier ce vecteur unitaire par le déterminant de la matrice deux deux qui reste si on supprime la ligne et la colonne qui contiennent le vecteur 𝐢. Et on peut voir que ce déterminant est égal à 𝐀𝑦 multiplié par 𝐁𝑧 moins 𝐀𝑧 multiplié par 𝐁𝑦. Le résultat obtenu est la composante 𝐢 du vecteur résultant.

Passons ensuite au calcul de la composante 𝐣. On utilise une procédure similaire, mais notez qu’on ajoute moins devant cette composante. Pour déterminer la norme de cette composante, il faut à nouveau calculer le déterminant d’une matrice deux × deux, cette fois avec ces quatre éléments. On voit que c’est égal à 𝐀𝑥 fois 𝐁𝑧 moins 𝐀𝑧 fois 𝐁𝑥. Et enfin, on calcule la composante 𝐤.

Une fois de plus, si on supprime la ligne et la colonne dans lesquelles cet élément apparaît, cette composante est le déterminant de cette matrice deux × deux, 𝐀𝑥 fois 𝐁𝑦 moins 𝐀𝑦 fois 𝐁𝑥. Et avec cela, on a calculé le produit vectoriel 𝐀 fois 𝐁.

Et rappelons que plus tôt, nous avons dit que ce résultat est orthogonal à nos deux vecteurs d’entrée. Pour voir si cela est vrai, essayons cette opération sur un cas de test. Supposons qu’on ait deux vecteurs 𝐕 un et 𝐕 deux, où 𝐕 un est le vecteur unitaire 𝐢 et 𝐕 deux est le vecteur unitaire 𝐣. Si on effectue le produit vectoriel 𝐕 un fois 𝐕 deux, alors selon notre formule, c’est le déterminant d’une matrice trois × trois, où la deuxième ligne et la troisième ligne, que nous allons compléter sont les composantes de 𝐕 un et 𝐕 deux.

Puisque 𝐕 un est simplement le vecteur unitaire 𝐢, sa composante dans cette direction est un et ses composantes dans les deux autres directions sont zéro. De même, pour 𝐕 deux, sa composante dans la direction 𝐢 est zéro. Sa composante dans la direction de 𝐣 est un et zéro dans la direction 𝐤. La composante 𝐢 résultante de ce produit vectoriel est égale au déterminant de cette matrice. On voit que cela est égal à zéro multiplié par zéro, qui est zéro. Et on en soustrait zéro multiplié par un, également zéro. Cela nous indique que le produit vectoriel a une composante 𝐢 nulle. Si on calcule ensuite la composante 𝐣, elle est égale à moins un fois un fois zéro, qui est égal zéro, moins zéro fois zéro. Donc, ce produit vectoriel a encore la composante 𝐣 nulle.

Enfin, nous examinons la composante 𝐤, égale au déterminant de cette matrice deux × deux. Un multiplié par un est égal à un. Et on en soustrait zéro fois zéro. Enfin, on a une composante vectorielle non nulle. Tout ce produit vectoriel est simplement égal au vecteur unitaire 𝐤. Et sachant que 𝐕 un est égal au vecteur 𝐢 et 𝐕 deux est égal au vecteur 𝐣, on voit que le vecteur résultant est en effet orthogonal à ces deux vecteurs d’entrée.

Continuons à nous s’exercer sur le produit vectoriel en 3D avec quelques exemples.

Si 𝐕 est égal au vecteur unitaire 𝐢 et 𝐖 égal à trois 𝐢 plus deux 𝐣 plus quatre 𝐤. Calculez 𝐕 fois 𝐖.

On a donc ici ces deux vecteurs 𝐕 et 𝐖, et l’un d’eux est tridimensionnel. Pour calculer leur produit vectoriel, rappelons la règle mathématique pour calculer un produit vectoriel en trois dimensions. Étant donné deux vecteurs 𝐀 et 𝐁 ayant jusqu’à trois dimensions chacun, 𝐀 fois 𝐁 est égal au déterminant de cette matrice trois × trois.

Notez que la première ligne contient les trois vecteurs unitaires orthogonaux et les deuxième et troisième lignes contiennent les composantes correspondantes de nos deux vecteurs d’entrée 𝐀 et 𝐁. On peut maintenant appliquer cette règle à nos deux vecteurs 𝐕 et 𝐖. On va écrire 𝐕 fois 𝐖 comme ceci. Et avec les vecteurs unitaires comme premier élément de chaque colonne, on sait que les composantes de 𝐕 sont un, zéro, zéro, tandis que le vecteur 𝐖 a une composante de trois dans la direction 𝐢, deux dans la direction 𝐣, et quatre dans la direction 𝐤.

Maintenant, on peut calculer ce produit vectoriel, et on le fait composante par composante, en commençant par 𝐢. Cette composante sera égale au déterminant de cette matrice deux × deux. Qui est égal à zéro fois quatre, ce qui fait zéro, moins zéro fois deux, ce qui est également zéro. La composante 𝐢 de notre produit vectoriel est donc zéro. Considérons maintenant la composante 𝐣. Sa valeur est égale à moins un fois le déterminant de cette matrice deux × deux. Qui est un fois quatre ou quatre moins zéro fois trois, ce qui est égal à zéro. La composante 𝐣 a une valeur non nulle de moins quatre. Et puis, enfin, la composante 𝐤 égale au déterminant de cette matrice deux × deux. Qui est un fois deux moins trois fois zéro qui est égal à 2. Voici donc notre vecteur résultant. Ceci est le produit vectoriel de 𝐕 et 𝐖.

On peut laisser notre réponse sous cette forme, ou l’écrire sous forme vectorielle. Ce faisant, on utilise ces crochets obliques et on écrit simplement la valeur de chaque composante. Voici 𝐕 fois 𝐖.

Voyons maintenant un exemple dans lequel tous les vecteurs sont tridimensionnels.

Si le vecteur 𝐀 est égal à trois, quatre, moins quatre ; le vecteur 𝐁 est égal à deux, cinq, moins quatre ; et le vecteur 𝐂 est égal à moins quatre, moins quatre, deux, calculez 𝐀 moins 𝐁 fois 𝐂 moins 𝐀.

Bien, on a ces trois vecteurs 𝐀, 𝐁 et 𝐂 écrits en termes de leurs composantes. Donc, si on considère, le vecteur 𝐀, voici sa composante 𝐢, voici sa composante 𝐣, et voici sa composante 𝐤. Notre objectif est de calculer ce produit vectoriel, où les deux vecteurs sont des différences entre deux de nos vecteurs 𝐀, 𝐁 et 𝐂.

Ce qu’on peut faire ici, c’est donner à ces différences leurs propres noms. Appelons 𝐀 moins 𝐁 le vecteur 𝐃, et 𝐂 moins 𝐀, le vecteur 𝐄. Et on va donc évaluer le produit vectoriel de 𝐃 et 𝐄. Mais avant cela, on devra évaluer chacun de ces vecteurs. Commençant par le vecteur 𝐃, on sait qu’il est égal au vecteur 𝐀, qui est trois, quatre, moins quatre, moins le vecteur 𝐁, qui est deux, cinq, moins quatre. Lorsqu’on calcule composante par composante, trois moins deux égale un, quatre moins cinq égale moins un et moins quatre moins moins quatre égale zéro. Voilà donc le vecteur 𝐃.

Et le vecteur 𝐄 est égal au vecteur 𝐂 moins le vecteur 𝐀. Moins quatre moins trois égale moins sept, moins quatre moins quatre égale moins huit, et deux moins moins quatre égale six. On a donc les deux vecteurs 𝐃 et 𝐄. Et on va les écrire du côté du produit vectoriel qu’on va combiner. Pour ce faire, rappelons cette règle pour le produit vectoriel tridimensionnel de deux vecteurs. On les a appelés 𝐀 et 𝐁 ici. Ce produit vectoriel est égal au déterminant d’une matrice trois × trois.

Dans la première ligne, on a nos vecteurs unitaires, dans la deuxième les composantes correspondantes du vecteur 𝐀, et dans la troisième celles du vecteur 𝐁. Ainsi, lorsque on écrit le produit vectoriel de 𝐃 et 𝐄, on a une fois de plus les vecteurs unitaires 𝐢, 𝐣 et 𝐤 comme premier élément de chaque colonne. Et dans la ligne suivante, on écrit les composantes du vecteur 𝐃. Qui sont un, moins un et zéro. Enfin, les composantes du vecteur 𝐄 : moins sept, moins huit, six.

Pour effectuer ce produit vectoriel il ne reste plus qu’à calculer le déterminant de cette matrice. Commençant par la composante 𝐢, si on supprime la ligne et la colonne qui contiennent cet élément, cette composante est égale au déterminant de la matrice deux × deux restante. Cela est égal à moins un fois six qui est moins six, moins zéro fois moins huit qui est égal à zéro. Donc, la composante 𝐢 de notre vecteur résultant est moins six.

On calcule ensuite la composante 𝐣. Elle est égale à moins un fois un fois six, qui est égal à six, moins zéro fois moins sept, qui est égal à zéro. Cela donne moins six 𝐣. Et enfin, notre composante 𝐤 est égale à un fois moins huit, soit moins huit, moins moins un fois moins sept, ce qui est égal à moins sept. Notre composante 𝐤 est donc égale à moins 15.

Et maintenant, on a calculé les trois composantes du produit vectoriel résultant. On a le vecteur six 𝐢 moins six 𝐣 moins 15𝐤. De retour à nos trois vecteurs originaux 𝐀, 𝐁 et 𝐂, cela est égal à 𝐀 moins 𝐁 fois 𝐂 moins 𝐀.

Voyons maintenant un exemple dans lequel on considère la signification géométrique du produit vectoriel.

𝐴𝐵𝐶𝐷 est un parallélogramme avec le vecteur 𝐀𝐁 égal à moins un, un, trois et le vecteur 𝐀𝐃 égal à trois, quatre, un. Calculez l’aire de 𝐴𝐵𝐶𝐷. Donnez votre réponse au dixième près.

Bien, 𝐴𝐵𝐶𝐷 ici est un parallélogramme. Et deux de ses côtés sont faits de ces deux vecteurs qui nous sont donnés, 𝐀𝐁 et 𝐀𝐃. Alors disons que ce point ici est le point 𝐴. Et nous dirons qu’il a les coordonnées zéro, zéro, zéro. En d’autres termes, 𝐴 est l’origine dans un repère tridimensionnel.

À partir de ce point, on peut tracer les vecteurs 𝐀𝐁 et 𝐀𝐃. Si nous disons qu’ils se situent tous les deux dans le plan de notre écran, alors le vecteur 𝐀𝐁 pourrait ressembler à ceci et le vecteur 𝐀𝐃 à ceci. On sait que chacun de ces deux vecteurs relie deux coins de notre parallélogramme. Cela nous indique que le point 𝐵 est ici à la fin du vecteur 𝐀𝐁 et le point 𝐷 est à la fin du vecteur 𝐀𝐃. Et parce qu’on a besoin du parallélogramme, on peut tracer les autres côtés. Ils ressembleraient à ceci. Et le point 𝐶 de notre parallélogramme est ici.

Dans notre question, on nous demande de calculer cette aire, l’aire de 𝐴𝐵𝐶𝐷. Pour ce faire, on peut rappeler le fait que la norme du produit vectoriel de deux vecteurs qui constituent les côtés adjacents d’un parallélogramme est égale à l’aire de cette figure. En d’autres termes, si on évalue le produit vectoriel de 𝐀𝐁 et 𝐀𝐃, alors la norme de ce produit vectoriel est égale à l’aire que nous avons ombrée en bleu.

Notre première étape consiste alors à calculer ce produit vectoriel. Nous pouvons rappeler que, étant donné deux vecteurs tridimensionnels - nous les appellerons 𝐀 et 𝐁 - 𝐀 fois 𝐁 est défini par cette expression. Ici, on a une matrice trois × trois dont la première ligne contient les vecteurs unitaires, la deuxième contient les composantes correspondantes de 𝐀 et la troisième celles de 𝐁. Appliquons maintenant cette règle générale aux vecteurs qui nous sont donnés ici, les vecteurs 𝐀𝐁 et 𝐀𝐃.

Ayant commencé notre matrice trois × trois, nous allons remplir la deuxième ligne avec les composantes du vecteur 𝐀𝐁. Et nous voyons qu’il s’agit de moins un, plus un et trois. Et ensuite les composantes de 𝐀𝐃 sont plus trois, plus quatre et plus un. Pour calculer ce déterminant, créons un peu d’espace à l’écran, puis calculons ce produit vectoriel, en commençant par la composante 𝐢. On supprime la ligne et la colonne qui contiennent cet élément. Et la valeur de la composante 𝐢 est alors égale au déterminant de cette matrice deux × deux. Un fois un est égal à un. Et on en soustrait trois fois quatre, soit 12.

Ensuite, on passe à la composante 𝐣. Cette valeur est égale à moins moins un fois un, soit moins un, moins trois fois trois, soit neuf. Et pour finir, la composante 𝐤, égale au déterminant de cette matrice. Moins un fois quatre égale moins quatre, moins un fois trois ou trois. Ces composantes deviennent moins 11𝐢, plus 10𝐣 et moins sept 𝐤. Voici donc le produit vectoriel de 𝐀𝐁 et 𝐀𝐃.

Mais ce n’est pas notre réponse car souvenez-vous, nous voulons calculer l’aire de notre parallélogramme. Pour ce faire, on doit calculer la norme du vecteur que nous avons obtenu. Si on a un vecteur 𝐕 avec des composantes dans les directions 𝐢, 𝐣 et 𝐤, alors la norme de 𝐕 est égale à la racine carrée de la somme des carrés de ses composantes. On peut appliquer la même règle pour calculer la norme de 𝐀𝐁 fois 𝐀𝐃. Ici, les composantes sont moins 11, plus 10 et moins sept. Les carrés de tous ces facteurs sont 121, 100 et 49. Et lorsqu’on les additionne, on obtient 270. Lorsqu’on calcule la racine carrée de 270 avec une calculatrice et qu’on arrondit au dixième près, on a 16,4. Cette valeur est l’aire de 𝐴𝐵𝐶𝐷 dans les unités adéquates.

Terminons maintenant en passant en revue quelques points clés sur le produit vectoriel en 3D. Dans cette leçon, nous avons appris qu’un produit vectoriel en 3D combine deux vecteurs tridimensionnels et produit un autre vecteur orthogonal aux deux premiers. Donc, si les vecteurs 𝐀 et 𝐁 étaient dans le plan de notre écran, alors 𝐀 fois 𝐁 serait dans la direction qui sort de l’écran.

Nous avons également appris que la norme d’un produit vectoriel donne l’aire du parallélogramme défini par les deux vecteurs du produit vectoriel. Et enfin, on a vu que si 𝐀 et 𝐁 sont deux vecteurs tridimensionnels, alors 𝐀 fois 𝐁 est égal au déterminant de cette matrice trois × trois. Écrit sous forme de composante, cela ressemble à ceci.

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