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Fiche explicative de la leçon : Produit vectoriel en 3D Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment trouver le produit vectoriel de deux vecteurs dans l’espace et comment l’utiliser pour calculer l’aire de formes géométriques.

Il existe deux manières de multiplier les vecteurs. Vous connaissez peut-être déjà le produit scalaire. Le résultat de ce produit est une quantité scalaire, égale au produit des normes des deux vecteurs multiplié par le cosinus de l’angle formé par les deux vecteurs. Quant au produit vectoriel, il s’agit d’une multiplication de vecteurs dont le résultat est un vecteur.

Définition : Produit vectoriel

Le produit vectoriel de deux vecteurs 𝐴 et 𝐵 est un autre vecteur donné par 𝐴×𝐵=𝐴𝐵|𝜃|𝑢,sin𝜃 est l’angle entre 𝐴 et 𝐵 et 𝑢 est un vecteur unitaire orthogonal au plan défini par 𝐴 et 𝐵. Le sens de 𝑢 est donné par la règle dite de la main droite.

La règle de la main droite est une méthode mnémotechnique qui permet de trouver, à l’aide de sa main droite, le sens (vers le haut ou vers le bas) de 𝐴×𝐵 par rapport au plan défini par 𝐴 et 𝐵 (considéré comme horizontal).

On aligne l’index de notre main droite sur 𝐴 et le majeur sur 𝐵;le sens indiqué par le pouce (vers le haut ou vers le bas) correspond alors au sens de 𝐴×𝐵.

Une version alternative de cette méthode consiste à utiliser sa main droite à moitié fermée, les doigts montrant l’angle de 𝐴 vers 𝐵;le pouce indique alors le sens de 𝐴×𝐵.

On peut également déterminer le sens du vecteur 𝐴×𝐵 en observant dans quel sens (vers le haut ou vers le bas) le bouchon d’une bouteille, placée verticalement, se déplace lorsqu’on le tourne suivant le sens de rotation de l’angle de 𝐴 vers 𝐵. En tournant le bouchon dans le sens inverse des aiguilles d’une montre (mouvement de dévissage), on ouvre la bouteille et le bouchon est libéré vers le haut;en tournant le bouchon dans le sens des aiguilles d’une montre (mouvement de vissage), on ferme la bouteille et le bouchon descend. On peut aussi visualiser cette méthode avec un écrou, comme illustré ci-dessous;le symbole représente un vecteur orthogonal au plan de notre feuille ou écran, qui pointe vers nous (le point au centre est la pointe de la flèche dirigée vers nous) et le symbole représente un vecteur orthogonal au plan de notre feuille ou écran qui pointe à l’opposé de nous.

Toutes ces règles reviennent au même;il suffit d’utiliser celle que l’on préfère;elle se révèlera utile non seulement en maths mais aussi en physique.

Dans un système direct de coordonnées cartésiennes en trois dimensions, l’ensemble des vecteurs unitaires (𝑖;𝑗;𝑘) est tel que 𝑘=𝑖×𝑗, 𝑖=𝑗×𝑘 et 𝑗=𝑘×𝑖;les vecteurs unitaires sont positionnés selon la règle de main droite.

On peut établir ces équations facilement en utilisant ce que nous avons appris jusqu’ici. Prenons par exemple 𝑗×𝑘. À l’aide du schéma ci-dessus, on aligne l’index de notre main droite sur 𝑗 et le majeur sur 𝑘;notre pouce pointe alors vers la droite, c’est-à-dire dans le même sens que 𝑖. On peut aussi imaginer que l’on observe 𝑗 et 𝑘 depuis un point situé sur l’axe défini par 𝑖, du côté positif, et l’on constate qu’il faut tourner dans le sens inverse des aiguilles d’une montre pour aller de 𝑗 à 𝑘 (en utilisant le chemin le plus court). Puisque 𝑗 et 𝑘 sont des vecteurs unitaires orthogonaux, le produit de leurs normes vaut 1 et le sinus de l’angle de 90 qu’ils forment vaut 1 également. On a donc 𝑗×𝑘=𝑖.

Il découle de ces règles que 𝐴×𝐵 et 𝐵×𝐴 sont de sens opposés, car le sens de rotation de 𝐴 vers 𝐵 est opposé à celui de 𝐵 vers 𝐴. Par conséquent, 𝐴×𝐵=𝐵×𝐴.

On dit que le produit vectoriel est anticommutatif.

Par conséquent, on a 𝑗×𝑖=𝑘,𝑘×𝑗=𝑖,𝑖×𝑘=𝑗.et

De plus, 𝐴×𝐴=0 car l’angle entre 𝐴 et 𝐴 est nul et que sin0=0. On aurait aussi pu remarquer qu’il n’y a aucune rotation à effectuer pour aller de 𝐴 vers 𝐴, donc le « bouchon » reste immobile;on peut calculer le produit vectoriel dans l’espace de manière similaire. Pour cela, on commence par réécrire chaque vecteur en fonction de ses coordonnées:𝐴=𝐴𝑖+𝐴𝑗+𝐴𝑘𝐵=𝐵𝑖+𝐵𝑗+𝐵𝑘.et

Vous avez peut-être déjà appris à trouver le produit croisé de deux vecteurs dans le plan en calculant un déterminant de dimension 2𝑓𝑜𝑖𝑠2 avec des composants. Il y a une façon similaire avec les vecteurs dans l’espace. Nous pouvons le trouver en réécrivant chaque vecteur en fonction de ses composants:𝐴=𝐴𝑖+𝐴𝑗+𝐴𝑘𝐵=𝐵𝑖+𝐵𝑗+𝐵𝑘.et

En utilisant la propriété de distribution du produit vectoriel (qu'on ne prouvera pas ici), on a 𝐴×𝐵=𝐴𝑖+𝐴𝑗+𝐴𝑘×𝐵𝑖+𝐵𝑗+𝐵𝑘=𝐴𝐵𝑘𝐴𝐵𝑗𝐴𝐵𝑘+𝐴𝐵𝑖+𝐴𝐵𝑗𝐴𝐵𝑖, puisque 𝑖×𝑖=𝑗×𝑗=𝑘×𝑘=0.

En réarrangeant, on trouve 𝐴×𝐵=𝐴𝐵𝐴𝐵𝑖(𝐴𝐵𝐴𝐵)𝑗+𝐴𝐵𝐴𝐵𝑘.

On reconnaît ici l’évaluation d’un déterminant 3×3. Ainsi, le produit vectoriel est donné par 𝐴×𝐵=|||||𝑖𝑗𝑘𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵|||||.

Définition : Produit vectoriel de deux vecteurs dans un système de coordonnées cartésiennes en trois dimensions

Soient deux vecteurs de dimension 3, 𝐴=𝐴𝑖+𝐴𝑗+𝐴𝑘 et 𝐵=𝐵𝑖+𝐵𝑗+𝐵𝑘, dans un repère 𝑂;𝑖;𝑗;𝑘. Le produit vectoriel de 𝐴 et 𝐵 est 𝐴×𝐵=|||||𝑖𝑗𝑘𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵|||||=𝐴𝐵𝐴𝐵𝑖(𝐴𝐵𝐴𝐵)𝑗+𝐴𝐵𝐴𝐵𝑘.

Appliquons cette définition du produit vectoriel avec un premier exemple.

Exemple 1: Déterminer le produit vectoriel de deux vecteurs d’après leurs coordonnées

Soient 𝑉=𝑖 et 𝑊=3𝑖+2𝑗+4𝑘. Calculez 𝑉×𝑊.

Réponse

Les vecteurs nous sont donnés en fonction des vecteurs unitaires 𝑖, 𝑗 et 𝑘 dans un repère cartésien.

Écrivons-les en fonction de leurs coordonnées:𝑉=(1,0,0)𝑊=(3,2,4).et

On sait que 𝑉×𝑊=|||||𝑖𝑗𝑘𝑉𝑉𝑉𝑊𝑊𝑊|||||=||||𝑖𝑗𝑘100324||||=(0×42×0)𝑖(1×40×3)𝑗+(1×23×0)𝑘=0𝑖4𝑗+2𝑘=(0,4,2).

L’exemple suivant est semblable à celui-ci, mais il nous faudra effectuer quelques soustractions vectorielles au préalable.

Exemple 2: Déterminer le produit vectoriel de deux vecteurs obtenus par soustraction vectorielle

Soit 𝐴=(3;4;4), 𝐵=(2;5;4) et 𝐶=(4;4;2);trouvez 𝐴𝐵×𝐶𝐴.

Réponse

Commençons par calculer les coordonnées de 𝐴𝐵 et 𝐶𝐴:𝐴𝐵=(32,45,4(4))=(1,1,0),𝐶𝐴=(43,44,2(4))=(7,8,6).

En appliquant la règle permettant de calculer le produit vectoriel de deux vecteurs à partir de leurs coordonnées, on trouve 𝐴𝐵×𝐶𝐴=||||𝑖𝑗𝑘110786||||=(1×6(8)×0)𝑖(1×6(7)×0)𝑗+(1×(8)(7)×(1))𝑘=6𝑖6𝑗15𝑘.

Dans l’exemple précédent, déterminer d’abord les coordonnées de 𝐴𝐵 et 𝐶𝐴 était la méthode la plus simple pour trouver le produit vectoriel. Cependant, nous aurions aussi pu utiliser le fait que le produit vectoriel est distributif:𝐴𝐵×𝐶𝐴=𝐴×𝐶𝐴×𝐴𝐵×𝐶+𝐵×𝐴=𝐴×𝐶𝐵×𝐶+𝐵×𝐴,car 𝐴×𝐴=0 (l’angle entre un vecteur et lui-même étant égal à zéro).

On peut démontrer la distributivité du produit vectoriel facilement en utilisant la méthode pour calculer le produit vectoriel à partir des coordonnées des vecteurs:𝐴+𝐵×𝐶=|||||𝑖𝑗𝑘𝐴+𝐵𝐴+𝐵𝐴+𝐵𝐶𝐶𝐶|||||=|||||𝑖𝑗𝑘𝐴𝐴𝐴𝐶𝐶𝐶|||||+|||||𝑖𝑗𝑘𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶|||||.

Utilisons maintenant ce que nous avons appris sur le sens du produit vectoriel de deux vecteurs pour résoudre l’exemple suivant.

Exemple 3: Trouver les vecteurs unitaires orthogonaux à deux vecteurs donnés

Déterminez les vecteurs unitaires orthogonaux aux vecteurs 𝐴=(4;2;0) et 𝐵=(4;6;4).

Réponse

On sait que le produit vectoriel de deux vecteurs est un vecteur qui leur est orthogonal (ainsi, en réalité, qu’à toute combinaison de ces deux vecteurs, c’est-à-dire à tout vecteur contenu dans le plan défini par ces deux vecteurs). On répondra donc à la question en trouvant les deux vecteurs unitaires (de norme 1) colinéaires au produit vectoriel de 𝐴 et 𝐵;l’un dans le même sens que le produit vectoriel, l’autre dans le sens opposé.

Commençons par calculer 𝐴×𝐵:𝐴×𝐵=|||||𝑖𝑗𝑘𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵|||||=||||𝑖𝑗𝑘420464||||=(2×(4)6×0)𝑖(4×(4)4×0)𝑗+(4×64×2)𝑘=8𝑖+16𝑗+16𝑘.

Le vecteur unitaire qui est colinéaire à 𝐴×𝐵 et qui pointe dans le même sens est 𝐴×𝐵𝐴×𝐵=8𝑖+16𝑗+16𝑘64+256+256=8𝑖+16𝑗+16𝑘24=𝑖+2𝑗+2𝑘3=13,23,23.

Pour trouver le vecteur unitaire colinéaire de sens opposé, il suffit de multiplier celui-ci par 1, c’est-à-dire 13,23,23.

Le produit vectoriel de deux vecteurs possède d’autres propriétés géométriques que le fait d’être orthogonal au plan défini par les deux vecteurs:sa norme est aussi égale à l’aire du parallélogramme généré par les deux vecteurs.

On considère les vecteurs 𝐴 et 𝐵 tels que montrés sur la figure ci-dessous;on peut voir que l’on a 𝐵|𝜃|=𝑂𝑌sin, qui correspond à la hauteur du parallélogramme généré par 𝐴 et 𝐵. Par conséquent, 𝐴𝐵|𝜃|sin nous donne l’aire du parallélogramme 𝑂𝐴𝐶𝐵. On prend ici la valeur absolue du sinus de 𝜃 car 𝜃 est un angle orienté. En effet, si l’on considère 𝐴×𝐵, l’angle 𝜃 est défini comme l’angle de 𝐴 vers 𝐵;c’est un angle négatif et son sinus est négatif. Ou bien, en n’utilisant que des angles positifs, on remarque que la mesure de 𝜃 est comprise entre 180 et 360 (elle est égale à 360𝐴𝑂𝐵, mesuré dans le sens direct) et donc que son sinus est négatif.

Mettons ceci en pratique pour calculer une aire.

Exemple 4: Déterminer l’aire d’un parallélogramme étant donné deux vecteurs dans l’espace formant deux côtés adjacents

Soit un parallélogramme 𝐴𝐵𝐶𝐷 tel que 𝐴𝐵=(1;1;3) et 𝐴𝐷=(3;4;1). Déterminez l’aire de 𝐴𝐵𝐶𝐷. Donnez votre réponse au dixième près.

Réponse

Si 𝐴𝐵𝐶𝐷 est un parallélogramme, alors 𝐴𝐵 et 𝐴𝐷 sont deux de ses côtés adjacents. Son aire est donnée par 𝐴𝐵×𝐴𝐷. Commençons par calculer 𝐴𝐵×𝐴𝐷:𝐴𝐵×𝐴𝐷=||||𝑖𝑗𝑘113341||||=11𝑖+10𝑗7𝑘.

Par conséquent, 𝐴𝐵×𝐴𝐷=121+100+49=27016,41.àdécimalesprès

L’aire de 𝐴𝐵𝐶𝐷 vaut 16,4 unités de surface, au dixième près.

Sur la figure précédant le dernier exemple, l’aire du triangle 𝑂𝐴𝐵 est égale à la moitié de l’aire du parallélogramme 𝑂𝐴𝐶𝐵. Il en découle que l’aire d’un triangle 𝐴𝐵𝐶 est égale à la moitié de la norme du produit vectoriel de deux des trois vecteurs formant ses côtés;c’est-à-dire airede𝐴𝐵𝐶=12𝐴𝐵×𝐴𝐶=12𝐵𝐴×𝐵𝐶=12𝐶𝐵×𝐶𝐴.

Changer le sens des vecteurs ( 𝐴𝐵 à la place de 𝐵𝐴 par exemple ) ou inverser leur ordre dans le produit vectoriel n’aurait pour conséquence que de changer l’angle entre eux. Comme nous ne nous intéressons ici qu’à la norme du produit vectoriel, la façon dont les deux vecteurs sont choisis entre les trois points, ainsi que l’ordre dans lequel ils apparaissent dans le produit vectoriel, n’importent pas. Nous avons simplement fait le choix d’écrire les vecteurs en commençant par l’un des sommets du triangle, afin de pouvoir plus facilement se représenter le parallélogramme généré par ces deux vecteurs et visualiser le triangle comme étant la moitié du parallélogramme.

Dans le dernier exemple, nous utiliserons cette propriété du produit vectoriel dans un contexte géométrique.

Exemple 5: Déterminer l’aire d’un triangle étant donné ses sommets dans l’espace

Soient les points de coordonnées 𝐷=(0;2;8), 𝐸=(6;4;6) et 𝐹=(4;9;2).

Réponse

On sait que l’aire d’un triangle est égale à la moitié de la norme du produit vectoriel de deux des trois vecteurs formant ses côtés. Ainsi, si l’on prend les deux côtés du sommet 𝐸, on a airede𝐷𝐸𝐹=12𝐸𝐹×𝐸𝐷.

Commençons par calculer les coordonnées de 𝐸𝐹, 𝐸𝐷 et 𝐸𝐹×𝐸𝐷:𝐸𝐹=(46,94,26)=(10,13,8),𝐸𝐷=(06,24,86)=(6,6,14),𝐸𝐹×𝐸𝐷=||||𝑖𝑗𝑘101386614||||=(13×(14)(6)×(8))𝑖(10×(14)(6)×(8))𝑗+(10×(6)(6)×(13))𝑘=134𝑖92𝑗18𝑘.

Par conséquent, 𝐸𝐹×𝐸𝐷=134+92+18 et airedeunitésdesurfaceàdécimalesprès𝐷𝐸𝐹=12𝐸𝐹×𝐸𝐷=12134+92+1881,772.

Points clés

  • Le produit vectoriel de deux vecteurs 𝐴 et 𝐵 est un autre vecteur donné par 𝐴×𝐵=𝐴𝐵|𝜃|𝑢,sin𝜃 est l’angle entre 𝐴 et 𝐵 et 𝑢 est un vecteur unitaire orthogonal au plan défini par 𝐴 et 𝐵, où le sens de 𝑢 est donné par la règle dite de la main droite.
  • Pour deux vecteurs de l’espace 𝐴=𝐴𝑖+𝐴𝑗+𝐴𝑘 et 𝐵=𝐵𝑖+𝐵𝑗+𝐵𝑘 dans un repère 𝑂;𝑖;𝑗;𝑘, le produit vectoriel de 𝐴 et 𝐵 est 𝐴×𝐵=|||||𝑖𝑗𝑘𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵|||||=𝐴𝐵𝐴𝐵𝑖(𝐴𝐵𝐴𝐵)𝑗+𝐴𝐵𝐴𝐵𝑘.
  • Le produit vectoriel est anticommutatif:𝐴×𝐵=𝐵×𝐴.
  • Le produit vectoriel est distributif:𝐴+𝐵×𝐶=𝐴×𝐶+𝐵×𝐶.
  • Le produit vectoriel de deux vecteurs colinéaires est nul et par conséquent:𝐴×𝐴=0.
  • L’aire du parallélogramme généré par 𝐴 et 𝐵 est donnée par 𝐴×𝐵. Il en résulte que l’aire du triangle dont 𝐴 et 𝐵 sont deux des côtés est donnée par 12𝐴×𝐵.

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