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Simplifiez la fonction d’expression 𝑛 de 𝑥 égal trois 𝑥 sur 𝑥 plus quatre moins sept 𝑥 sur 𝑥 moins quatre et déterminez son ensemble de définition.
Pour résoudre ce type de problème, il y a deux choses à faire. On doit simplifier les fonctions et déterminer l'ensemble de définition. Nous allons commencer par examiner l'ensemble de définition. Avant de déterminer l'ensemble de définition, on doit se demander : « Qu'est-ce qu’un ensemble de définition ? » Eh bien j'aime cette définition : l'ensemble de définition est l'ensemble complet des valeurs possibles pour la variable indépendante. Bien. Intéressant. Mais bon, ça veut dire quoi ?
En fait, cela signifie que nous voulons savoir quelles valeurs de 𝑥 ont une image par la fonction et donnent des valeurs réelles de 𝑦 ou, dans ce cas, de 𝑛 de 𝑥. Par exemple, si l’expression de la fonction est la racine carrée d'un nombre négatif alors la fonction ne renverra pas d’image, il en est de même si le dénominateur vaut zéro. Cela empêcherait également la fonction de s’appliquer.
Et c'est ce deuxième cas que nous allons étudier aujourd'hui, nous allons voir quelles valeurs vont annuler nos dénominateurs. Bon, essayons de résoudre ce problème. On veut donc déterminer l'ensemble de définition de notre fonction. Pour cela, on pose les dénominateurs de notre fonction comme étant égaux à zéro.
On commence par le premier terme, donc l’expression de gauche. Je vais poser comme nul le dénominateur de cette expression. Cela nous donne 𝑥 plus quatre égal zéro. On peut maintenant résoudre ceci en soustrayant quatre à chaque membre, ce qui nous donne une valeur 𝑥 égal moins quatre. Excellent ! Il s'agit de la première valeur de 𝑥 qui ne permet pas à notre fonction de s’appliquer.
Maintenant nous allons examiner le second terme de l’expression notre fonction. Donc nous allons rendre la quantité 𝑥 moins quatre nulle. Une fois de plus, on va juste résoudre ça. On ajoute quatre à chaque membre, ce qui donne la réponse suivante : 𝑥 égal quatre. Parfait ! On a maintenant trouvé les deux valeurs de 𝑥 qui ne permettront pas à notre fonction de s’appliquer.
Alors maintenant, on peut définir notre ensemble de définition. Et nous le faisons comme suit. Puisque nous disons que notre ensemble de définition est égal à ℝ, c'est-à-dire les nombres réels donc tous les nombres réels, moins les valeurs moins quatre et quatre. Donc cela signifie que l'ensemble de définition est composé de tous les nombres réels, sauf les nombres moins quatre et quatre.
Excellent ! Nous pouvons maintenant passer à la seconde partie de la question. Donc maintenant on va simplifier notre fonction. Pour simplifier cette fonction, on doit l'examiner. En fait, nous avons deux termes qui sont des expressions fractionnaires. Et ce que nous allons essayer de faire ici revient à de soustraire des fractions. Nous simplifions juste en trouvant un dénominateur commun.
Pour trouver ce dénominateur commun, nous allons multiplier notre première expression par 𝑥 moins quatre et c'est le numérateur et le dénominateur que l’on multiplie, ce qui nous donne trois 𝑥 facteur de 𝑥 moins quatre sur 𝑥 plus quatre facteur de 𝑥 moins quatre. Nous allons ensuite multiplier notre deuxième expression par 𝑥 plus quatre, donc le numérateur et le dénominateur, ce qui nous donne sept 𝑥 facteur de 𝑥 plus quatre sur 𝑥 moins quatre facteur de 𝑥 plus quatre.
Excellent ! Donc maintenant, on peut voir que l'on a en fait un dénominateur commun pour chaque terme de l’expression notre fonction. Pour l'étape suivante, il s'agit de réécrire la fonction en une seule expression fractionnaire. Et on peut faire ça car on a maintenant un dénominateur commun pour chacun de nos termes.
Comme vous pouvez le voir, je viens de remarquer que tous nos dénominateurs sont identiques. Peu importe qu'ils soient écrits dans l'autre sens. Il s'agit du même dénominateur. Excellent ! On veut maintenant passer à la simplification de notre numérateur. Mais pour nous permettre de le faire, nous ne pouvons pas réussir pour le moment. Donc, on va développer les parenthèses. On va commencer par les premières parenthèses du numérateur.
On a donc trois 𝑥 fois 𝑥, ce qui nous donne trois 𝑥 au carré. Ensuite, trois 𝑥 fois moins quatre, ce qui donne moins 12𝑥. On peut ensuite développer les secondes parenthèses. On a donc moins sept 𝑥 fois 𝑥, ce qui donne moins sept 𝑥 au carré. Et puis, finalement, moins sept 𝑥 fois quatre. Mais attention, il faut faire très attention avec les moins ici, car cela ne nous donne pas 28𝑥.
Mais en fait moins 28𝑥. Il s'agit d'une des erreurs les plus courantes. Soyez prudents avec ça. Excellent ! Donc nous avons développé nos parenthèses. Passons maintenant à la simplification. D'accord. Maintenant, pour simplifier un peu plus le numérateur, on peut en fait chercher à réunir les termes similaires. Et c'est ce qu'on va faire maintenant. Tout d'abord, il y a trois 𝑥 au carré moins sept 𝑥 au carré, ce qui nous donne moins quatre 𝑥 au carré.
Nous pouvons ensuite calculer moins 12𝑥 moins 28𝑥, ce qui nous donne moins 40𝑥, sans oublier de faire attention aux nombres négatifs. Cela semble simple, je sais. Mais honnêtement, c'est l'une des erreurs les plus courantes. Et puis tout ça sur 𝑥 plus quatre facteur de 𝑥 moins quatre.
À cette étape, vous pensez sûrement : « D'accord. Bon. Sommes-nous sur le point de simplifier ? Est-ce que tout est simplifié ? » Donc, ce que je vous dirais maintenant, c'est de jeter un coup d'œil à notre numérateur. D'accord, on ne peut plus rassembler de termes similaires. Mais peut-on le factoriser ? Il faut toujours vérifier. Peut-on le factoriser ? Et si oui, factorisons-le.
Dans ce cas, on peut examiner les coefficients de 𝑥 au carré et de 𝑥. On voit qu'ils peuvent être divisés par quatre et qu'ils peuvent être divisés par moins quatre. Notre premier facteur sera donc moins quatre. On regarde ensuite les 𝑥 au carré et les 𝑥. On voit qu'en fait on a 𝑥 en commun dans les deux termes.
L’autre facteur en dehors des parenthèses sera donc 𝑥. Nous allons maintenant examiner les termes qui seront à l'intérieur. On a donc moins quatre 𝑥. En multipliant ceci par 𝑥, on obtient moins quatre 𝑥 au carré. Ensuite, si nous avons moins quatre 𝑥, par quoi devons-nous le multiplier pour obtenir moins 40𝑥 ? Ce sera plus plus 10.
Excellent ! Alors maintenant, en examinant ça, on peut penser, « Bien. Est-ce que c'est totalement simplifié ? » La réponse est, bien peut-on simplifier plus le numérateur. Peut-on factoriser encore plus ? Est-ce qu'on peut réunir des termes ? Non. Alors oui, c'est totalement simplifié. Mais pour notre réponse finale, la forme sous laquelle je la garde est de ce type.
Pour utiliser cette forme, il suffit de retirer le moins car il s'applique à toute la fraction. Excellent ! Nous avons donc résolu le problème. On a simplifié la fonction. Et nous avons déterminé son ensemble de définition. Un petit rappel : l'ensemble de définition est l'ensemble des valeurs possibles de 𝑥 qui permet à une fonction qui s’appliquer.
Dans notre cas, nous l'avons trouvé en posant chacun de nos dénominateurs nuls, puis en résolvant les équations. Ensuite, on simplifie la fonction et là encore, s'il s'agit d’expressions fractionnaires, on les traite de la même manière que n'importe quelle fraction, même si elles contiennent des termes algébriques. Dans ce cas, il faut trouver le dénominateur commun, puis soustraire les numérateurs.
