Transcription de la vidéo
Calculez cosinus carré de 165 degrés moins sinus carré de 165 degrés, sans utiliser de calculatrice.
On nous dit qu’on ne peut pas utiliser de calculatrice pour calculer cette expression. Lorsqu’on doit calculer une expression trigonométrique sans utiliser la calculatrice, cela signifie généralement qu’on doit utiliser les angles remarquables. Les angles remarquables sont zéro, 30, 45, 60 et 90 degrés. On les appelle angles remarquables parce qu’on connaît la valeur exacte de leurs sinus et de leurs cosinus. Pour retrouver la valeur des sinus de ces angles remarquables, il existe une méthode dont la première étape est de compter de zéro à quatre. On prend ensuite la racine carrée de chacun de ces nombres et on la divise par deux.
Pour le sinus de zéro degré, cela nous donne la racine carrée de zéro divisée par deux, ce qui est égal zéro. Le sinus de 30 degrés est égal à la racine carrée de un divisée par deux, ce qui est égal à un demi. Les sinus de 45 et 60 degrés ne peuvent pas être simplifiés davantage. Mais puisque la racine carrée de quatre est égale à deux, le sinus de 90 degrés devient deux sur deux, ce qui est égal à un. Les valeurs du cosinus de 𝜃 sont les valeurs du sinus de 𝜃 écrites dans l’ordre inverse.
Tout cela est très bien. Mais dans notre expression, on a le cosinus de 165 degrés et le sinus de 165 degrés. Et 165 degrés ne fait pas partie de nos angles remarquables. Donc on ne va pas pouvoir simplement remplacer les valeurs du cosinus de 165 degrés et du sinus de 165 degrés dans notre expression. Si on veut utiliser nos angles remarquables, il nous faut modifier notre expression. Ici, l’astuce consiste à remarquer que notre expression est de la forme cosinus carré de 𝑥 moins sinus carré de 𝑥, où 𝑥 est égal à 165 degrés.
Et cela nous évoque la formule de duplication du cosinus de deux 𝑥. On sait que pour tout 𝑥, le cosinus de deux 𝑥 est égal à cosinus carré de 𝑥 moins sinus carré de 𝑥. Si on inverse les deux membres, on a que cosinus carré de 𝑥 moins sinus carré de 𝑥 égale cos deux 𝑥. On applique cette formule à notre expression et cela nous donne le cosinus de deux fois 165 degrés, ce qui est égal à cosinus de 330 degrés. On a maintenant une expression beaucoup plus simple que celle d’origine. Mais cet angle de 330 degrés n’est toujours pas un angle remarquable. On va devoir utiliser d’autres identités trigonométriques.
Tout d’abord, on peut se servir du fait que le cosinus est une fonction périodique de période 360 degrés. Donc le cosinus de 360 degrés plus 𝑥 et le cosinus de 𝑥 sont égaux. Si on applique cette identité à plusieurs reprises, on peut voir qu’additionner un multiple de 360 degrés à l’argument du cosinus ne change pas la valeur du cosinus. Donc si on écrit 330 degrés sous la forme 360 degrés moins 30 degrés, on peut soustraire 360 degrés de l’argument du cosinus pour avoir à présent le cosinus de moins 30 degrés. On se rapproche de notre objectif. En effet, 30 degrés est un angle remarquable. Donc on connaît la valeur du cosinus de 30 degrés.
Mais ce signe moins est de trop. On va donc l’éliminer en appliquant une nouvelle identité trigonométrique. On va utiliser le fait que le cosinus est une fonction paire, et donc que le cosinus de moins 𝑥 est égal au cosinus de 𝑥. Donc, le cosinus de moins 30 degrés est égal au cosinus de 30 degrés. On peut lire la valeur du cosinus de 30 degrés dans notre tableau des angles remarquables. C’est la racine de trois sur deux. Et il s’agit là de notre réponse finale. Le cosinus carré de 165 degrés moins le sinus carré de 165 degrés est égal à racine de trois sur deux. Et on a bien trouvé cette valeur sans l’aide de la calculatrice.
Pour résumer, notre première étape, qui a été l’astuce principale pour résoudre la question, a été d’utiliser la formule de duplication du cosinus. Après quelques simplifications, on a utilisé le fait que la fonction cosinus est une fonction périodique, mais aussi une fonction paire, pour ne plus avoir que le cosinus de 30 degrés. Et 30 degrés est un angle remarquable. Donc on savait quelle était la valeur du cosinus de 30 degrés. Il s’agit de notre réponse finale: racine de trois sur deux.
