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Déterminez les valeurs de 𝑐 qui rendent la fonction 𝑓 continue en 𝑥 est égal à 𝑐, sachant que 𝑓 de 𝑥 est égale à deux plus 𝑥 au carré, si 𝑥 est inférieur ou égal à 𝑐 ; et moins trois 𝑥, si 𝑥 est supérieur à 𝑐.
Pour qu’une fonction 𝑓 de 𝑥 soit continue en 𝑥 égal à 𝑐, trois choses doivent être vraies. Premièrement, 𝑓 de 𝑐 doit exister, c’est-à-dire que la fonction 𝑓 de 𝑥 est définie en 𝑥 égale 𝑐. Deuxièmement, la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑐 de 𝑓 de 𝑥 doit exister, de sorte que les limites à gauche et à droite existent et sont égales. Et troisièmement, la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑐 de 𝑓 de 𝑥 doit être égale à 𝑓 de 𝑐.
Passons-les en revue une par une. Tout d’abord, nous avons besoin que 𝑓 de 𝑐 existe. Eh bien, lorsque 𝑥 est inférieur ou égal à 𝑐, ce qui inclut lorsque 𝑥 est égal à 𝑐, 𝑓 de 𝑥 est égal à deux plus 𝑥 au carré. Donc 𝑓 de 𝑐 est égal à deux plus 𝑐 au carré. Cela est défini pour toute valeur réelle de 𝑐, donc notre premier critère est satisfait.
Maintenant, nous allons nous assurer que la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑐 de 𝑓 de 𝑥 existe. Tout d’abord, nous évaluons la limite à gauche, la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑐 de gauche de 𝑓 de 𝑥. Pour cette limite à gauche, nous ne considérons que les valeurs de 𝑥 pour lesquelles 𝑥 est inférieure à 𝑐, et donc 𝑓 de 𝑥 est égal à deux plus 𝑥 au carré. Et nous évaluons cette limite par substitution directe, en remplaçant 𝑥 par 𝑐 pour obtenir deux plus 𝑐 au carré. Maintenant, nous devons trouver la valeur de l’autre limite à droite, la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑐 de droite de 𝑓 de 𝑥. Lorsque 𝑥 est supérieur à 𝑐, 𝑓 de 𝑥 est égal à moins trois 𝑥. Donc, c’est la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑐 de moins trois 𝑥, ce qui est moins trois 𝑐. Nous avons montré que les deux limites à droite et à gauche existent, mais pour que la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑐 de 𝑓 de 𝑥 existe, les valeurs de ces deux limites à droite et à gauche doivent être égales. Deux plus 𝑐 au carré doit être égal à moins trois 𝑐.
Faisons de la place et résolvons cette équation. Tout d’abord, nous ajoutons trois 𝑐 aux deux membres et réorganisons les termes. Maintenant, nous avons une expression du second degré en 𝑐 sous la forme que nous sommes habitués à résoudre. Nous pouvons factoriser ce polynôme par inspection, et nous voyons donc que ces solutions sont 𝑐 est égal à moins un et 𝑐 est égal à moins deux. Bien sûr, nous aurions pu utiliser une méthode différente, peut-être compléter le carré ou appliquer la formule des racines du second degré. Nous aurions trouvé les mêmes solutions. Ce sont les deux valeurs de 𝑐, pour lesquelles la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑐 de 𝑓 de 𝑥 existera.
La seule chose à vérifier est que la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑐 de 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑓 de 𝑐. Rappelons que deux plus c au carré était la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑐 de gauche de 𝑓 de 𝑥 et moins trois 𝑐 était la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑐 de droite de 𝑓 de 𝑥. Nous avons montré que ces deux étaient égaux lorsque 𝑐 est égal à moins un ou moins deux. Et quand elles sont égales, il est logique de parler de la limite quand 𝑥 tend vers 𝑐 de 𝑓 de 𝑥. Essayons d’abord 𝑐 égale moins un. Dans ce cas, la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑐 de gauche de 𝑓 de 𝑥 est deux plus moins un au carré par substitution directe, qui est trois. Nous effectuons également une substitution directe pour trouver la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑐 de droite, obtenant moins trois fois moins un, ce qui est encore trois. Et comme ces deux limites à droite et à gauche concordent, on peut dire que la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑐 de 𝑓 de 𝑥 est égale à trois. Pour satisfaire au troisième critère, cette limite doit être égale à la valeur de la fonction en 𝑐. 𝑓 de 𝑐 est deux plus 𝑐 au carré, donc lorsque 𝑐 est moins un, 𝑓 de 𝑐 est deux plus moins un au carré, ce qui fait trois. Et nous pouvons voir que le troisième critère est satisfait, la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑐 de 𝑓 de 𝑐 est égale à 𝑓 de 𝑐 lorsque 𝑐 vaut moins un.
Maintenant, il suffit de vérifier 𝑐 est égal à moins deux. Lorsque 𝑐 est égal à moins deux, comme nous savons que les valeurs des deux limites à droite et à gauche sont égales, la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑐 de 𝑓 de 𝑥 est simplement la valeur de l’une de ces limites. Nous choisirons la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑐 de gauche de 𝑓 de 𝑥, qui est deux plus 𝑐 au carré. En substituant la valeur de 𝑐, moins deux, nous obtenons deux plus moins deux au carré, soit six. Et bien sûr, vous pouvez vérifier que c’est exactement ce que nous obtiendrions par substitution directe dans l’autre limite. Quelle est la valeur de 𝑓 de 𝑐 dans ce cas ? Eh bien, 𝑓 de 𝑐 est également égal à deux plus 𝑐 au carré. Et en substituant moins deux, nous obtenons une valeur de six. Et encore une fois, le troisième critère est satisfait. La limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑐 de 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑓 de 𝑐 ; elles sont toutes deux égales à six lorsque 𝑐 est égal à moins deux. Et donc dans ce cas, la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑐 de 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑓 de 𝑐 chaque fois que la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑐 de 𝑓 de 𝑥 existe, c’est-à-dire lorsque 𝑐 est égal à moins un ou 𝑐 est égal à moins deux.
Il y a donc deux valeurs de 𝑐 qui rendent la fonction 𝑓 continue en 𝑥 est égal à 𝑐, à savoir 𝑐 est égal à moins un et 𝑐 est égal à moins deux.
