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Dans une suite arithmétique qui commence par 𝑎 un, 𝑎 27 est égal à 29 et la somme du huitième et du douzième terme dépasse le 15e terme par sept. Déterminez le nombre de termes dont la somme est 322.
Rappelez-vous, une suite arithmétique est une suite qui a une raison entre les termes. Nous allons travailler en arrière en cherchant à former une expression qui décrit un certain nombre de termes d’une suite arithmétique.
Supposons que nous ayons une suite arithmétique avec le premier terme 𝑎 et la raison 𝑑. 𝑆 𝑛, qui décrit la somme des premiers 𝑛 termes, est donné par 𝑛 divisé par deux fois deux 𝑎 plus 𝑛 moins une fois 𝑑. Maintenant, en fait, on nous dit que le premier terme est 𝑎 un. Et nous voulons trouver le nombre de termes, la valeur de 𝑛, où la somme est 322. Alors on pose 𝑆 indice 𝑛 322. Ensuite, puisque le premier terme de notre suite est 𝑎 un, le membre de droite devient 𝑛 divisé par deux fois deux 𝑎 un plus 𝑛 moins un fois 𝑑.
Maintenant, il s’ensuit que pour pouvoir calculer la valeur de 𝑛, nous allons devoir déterminer la valeur de 𝑑 et la valeur de 𝑎 un. Et il y a des informations dans l’énoncé qui nous permettront de le faire. Premièrement, nous savons que le 27e terme est 29 et nous connaissons également la formule qui nous permet de trouver le terme de rang 𝑛 dans une suite arithmétique. C’est 𝑎 plus 𝑛 moins un fois 𝑑. Cette fois, on pose 𝑎 𝑛 égal à 𝑎 27. C’est 29. Ensuite, le membre droit de cette équation peut être écrit comme 𝑎 un plus 𝑛 moins un - soit 27 moins un - 𝑑, ou 26𝑑.
La partie suivante de l’information compare la somme des huitième et douzième termes au 15e. Formons donc des expressions pour le 15e, le 8e et le 12e termes. Le 15e terme est 𝑎 un plus 15 moins un 𝑑, ou 14𝑑. Ensuite, les huitième et douzième termes sont respectivement 𝑎 un plus sept 𝑑 et 𝑎 un plus 11𝑑. Nous savons que la somme des huitième et douzième termes dépasse le 15ème par sept. Alors trouvons leur somme. C’est 𝑎 un plus sept 𝑑 plus 𝑎 un plus 11𝑑, soit deux 𝑎 un plus 18𝑑.
Nous allons relier cette expression à l’expression 𝑎 15. Nous savons que la somme des huitième et douzième termes sera équivalente au 15e terme plus sept. Nous pouvons donc former l’équation suivante. Deux 𝑎 un plus 18𝑑 égale à 𝑎 un plus 14𝑑 plus sept. Si nous soustrayons 𝑎 un et 14𝑑 des deux membres, nous obtenons l’équation suivante. 𝑎 un plus quatre 𝑑 égale à sept.
Nous pourrions maintenant voir que nous avons deux systèmes d'équations. Nous pouvons utiliser cette équation avec l’équation que nous avons formée pour décrire le 27e terme. Libérons de l’espace pour le faire.
Nous pouvons réarranger notre deuxième équation de sorte qu’elle corresponde à la forme de la première. Ensuite, nous remarquons que le coefficient de 𝑎 un est le même. Nous pouvons donc soustraire une équation de l’autre. 29 moins sept est 22, 𝑎 moins un moins 𝑎 moins un est zéro, et 26 moins quatre vaut 22. Nous obtenons donc 22 est égal à 22𝑑. En divisant par 22, nous trouvons que 𝑑 est égal à un. Et c’est génial parce que nous pourrons remplacer cela dans l’expression que nous avons formée pour décrire la somme d’un certain nombre de termes.
Avant de le faire cependant, calculons 𝑎 un. Nous allons substituer cela dans l’équation sept égale 𝑎 un plus quatre 𝑑. Lorsque nous le faisons, nous obtenons sept égale à 𝑎 un plus quatre fois un, ou simplement 𝑎 un plus quatre. Nous soustrayons ensuite quatre des deux membres, et nous obtenons 𝑎 un égal à trois.
Nous avons maintenant toutes les informations dont nous avons besoin pour décrire notre suite arithmétique. Nous savons qu’il a une raison de un et un premier terme de trois. Mais nous savons aussi que nous voulons trouver le nombre de termes dont la somme est 322. Remplaçons donc ces valeurs dans cette équation. Cela nous donne 322 est égal à 𝑛 sur deux fois deux fois trois plus 𝑛 moins une fois un. Calculons les termes à l’intérieur de nos parenthèses, et ils se simplifient simplement par cinq plus 𝑛.
Nous allons écrire certaines des informations clés, puis libérer de l’espace pour résoudre cette équation. Donc, pour résoudre cette équation, commençons par traiter la fraction. Nous allons multiplier les deux membres de l’équation par deux. Cela nous donne 644 égal à 𝑛 fois cinq plus 𝑛. Nous pouvons alors distribuer les parenthèses sur le membre de droite, et nous obtenons cinq 𝑛 plus 𝑛 au carré.
Ici, nous remarquons que nous avons une équation du second degré en 𝑛. Et pour le résoudre, nous devons la rendre nulle. Soustrayons 644 des deux membres. Ensuite, pour factoriser l’expression sur le membre de droite, nous devons trouver une paire de nombres dont le produit est négatif 644 et dont la somme est cinq. Peut-être un peu d’essais et d’erreurs, et nous constatons que nous obtenons moins 23 et 28. Donc, cette expression du second degré est 𝑛 moins 23 fois 𝑛 plus 28. Et pour que le produit de ces deux expressions soit nul, on sait que l’une ou l’autre doit être égale à zéro. Nous résolvons ensuite chaque équation pour 𝑛, et nous obtenons 𝑛 est égal à 23 ou moins 28. Et à ce stade, nous pouvons instantanément ignorer 𝑛 est égal à 28.
Rappelez-vous, nous trouvons un certain nombre de termes, donc 𝑛 doit être un nombre naturel. Cela signifie que 𝑛 est 23. Et donc il doit y avoir 23 termes dont la somme est 322. La réponse est 23.
