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Vidéo de la leçon : Somme des termes d’une suite arithmétique Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à calculer la somme des termes d’une suite arithmétique ayant un nombre fini de termes.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à calculer la somme des termes d’une suite arithmétique ayant un nombre fini de termes. Nous allons commencer par rappeler ce que nous entendons par suite arithmétique et série arithmétique.

Une liste de nombres écrits dans un ordre défini est appelée une suite. Dans une suite arithmétique, la différence entre deux termes consécutifs est constante. On l’appelle la raison et elle est désignée par la lettre r. Le premier terme d’une suite arithmétique 𝑎 un peut être simplement noté 𝑎. Le deuxième terme 𝑎 deux est donc égal à 𝑎 plus r. Pour arriver au troisième terme, nous devons à nouveau ajouter r, donc 𝑎 trois égale 𝑎 plus r plus r. Cela peut bien sûr se simplifier par 𝑎 plus deux r. Ce modèle continue de sorte que le quatrième terme est égale à 𝑎 plus trois r, le cinquième terme à 𝑎 plus quatre r, et ainsi de suite.

Nous remarquons alors que le deuxième terme a un r. Le troisième terme a deux r. Le quatrième terme aurait trois r et ainsi de suite. Cela signifie que le terme de rang aura 𝑛 moins un fois r. Cela nous amène à la formule du terme général d’une suite arithmétique, 𝑎 𝑛 égale 𝑎 plus 𝑛 moins un fois r. Lorsque nous travaillons sur une suite finie comme dans cette vidéo, nous pouvons désigner le dernier terme par 𝑙. La somme des termes d’une suite arithmétique est appelée une série arithmétique. Cela signifie qu’une série arithmétique s’écrit sous la forme 𝑎 plus 𝑎 plus r plus 𝑎 plus deux r et ainsi de suite jusqu’à 𝑎 plus 𝑛 moins un fois r.

Nous allons maintenant utiliser ces informations pour démontrer deux formules permettant de calculer la somme des 𝑛 premiers termes d’une suite arithmétique.

Déterminez une expression de la somme des termes d’une suite arithmétique de premier terme 𝑎 et de raison r.

La question indique que le premier terme de la suite arithmétique est 𝑎 et que sa raison est r. Nous essayons de trouver une expression de la somme des 𝑛 premiers termes, que nous désignons par 𝑆 𝑛. Elle est égale au premier terme 𝑎, plus le deuxième terme, 𝑎 plus r, et ainsi de suite. Nous savons que le terme de rang 𝑛 de toute suite arithmétique est égal à 𝑎 plus 𝑛 moins un fois r. Cela signifie que l’avant-dernier terme est égal à 𝑎 plus 𝑛 moins deux fois r. Nous appelons cette équation un.

Nous allons ensuite inverser l’ordre de cette somme, ce que nous pouvons faire car l’addition est commutative. Cela nous donne 𝑆 𝑛 égale 𝑎 plus 𝑛 moins un fois r plus 𝑎 plus 𝑛 moins deux fois r et ainsi de suite jusqu’à plus 𝑎 plus r plus 𝑎. Nous appelons cette équation deux. Additionner les équations un et deux nous donne deux fois 𝑆 𝑛 sur le membre gauche. Sur le membre droit, on additionne chaque paire de termes. En additionnant la première paire, on voit que 𝑎 plus 𝑎 égale deux 𝑎. Et on a donc deux 𝑎 plus 𝑛 moins un fois r.

La deuxième paire de termes donne le même résultat car 𝑎 plus 𝑎 égale deux 𝑎 et r plus moins deux fois r égale 𝑛 moins un fois r. En fait, c’est le cas pour chacune des paires des équations. La somme de chaque paire de termes est égale à deux 𝑎 plus 𝑛 moins un fois r. Il y a 𝑛 paires de termes, on peut donc réécrire le membre droit comme 𝑛 fois deux 𝑎 plus 𝑛 moins un fois r. Diviser les deux membres de l’équation par deux donne 𝑆 𝑛 égale 𝑛 sur deux fois deux 𝑎 plus 𝑛 moins un fois r. Il s’agit d’une expression de la somme d’une suite arithmétique dont le premier terme est et dont la raison est r.

Nous allons maintenant déterminer une autre formule de la somme des termes d’une suite arithmétique.

Déterminez une expression de la somme des 𝑛 premiers termes d’une suite arithmétique de premier terme 𝑎 et de dernier terme 𝑙.

Nous savons que la somme des 𝑛 premiers termes d’une suite arithmétique peut être calculée à l’aide de la formule 𝑛 sur deux fois deux 𝑎 plus 𝑛 moins un fois r, où 𝑛 est le nombre de termes, 𝑎 est le premier terme, et r est la raison. Nous savons également que le terme de rang 𝑛, 𝑎 𝑛, est égal à 𝑎 plus 𝑛 moins un fois r. La question indique que le dernier terme est égal à . Par conséquent, 𝑙 égale 𝑎 plus 𝑛 moins un fois r. Puisque 𝑎 plus 𝑎 égale deux 𝑎, on peut réécrire la formule de 𝑆 𝑛 comme 𝑛 sur deux fois 𝑎 plus 𝑎 plus 𝑛 moins un fois r.

On sait alors que la deuxième partie entre parenthèses, 𝑎 plus 𝑛 moins un fois r, est égale à 𝑙. La somme des 𝑛 premiers termes d’une suite arithmétique de premier terme 𝑎 et de dernier terme 𝑙 est donc égale à 𝑛 sur deux fois 𝑎 plus 𝑙.

Nous allons maintenant brièvement résumer les formules que nous allons utiliser dans la suite de cette vidéo. Le terme de rang 𝑛, 𝑎 𝑛, est égal à 𝑎 plus 𝑛 moins un fois r. La somme des 𝑛 premiers termes, notée 𝑆 𝑛, est égale à 𝑛 sur deux fois deux 𝑎 plus 𝑛 moins un fois r. Comme nous traitons des suites finies, il y aura également un dernier terme 𝑙. Et il est égal à 𝑎 𝑛. Par conséquent, 𝑆 𝑛 est aussi égale à 𝑛 sur deux fois 𝑎 plus 𝑙. Nous allons maintenant utiliser ces formules pour résoudre des problèmes impliquant des suites arithmétiques finies.

Calculez la somme des 10 premiers termes de la suite arithmétique dont le premier terme est cinq et la raison est huit.

Nous savons que le premier terme, désigné par la lettre 𝑎, est égal à cinq. La raison r de cette suite arithmétique est quant à elle égale à huit. Comme nous devons calculer la somme des 10 premiers termes, 𝑛 est égal à 10. Nous savons que la somme des 𝑛 premiers termes d’une suite arithmétique, notée 𝑆 𝑛, est égale à 𝑛 sur deux fois deux 𝑎 plus 𝑛 moins un fois r. En substituant les valeurs de 𝑎, r et 𝑛, on peut calculer 𝑆 10. Elle est égale à 10 sur deux fois deux fois cinq plus 10 moins un fois huit. Deux fois cinq égale 10, et 10 moins un fois huit égale 72. Multiplier 82 par cinq nous donne 410.

La somme des 10 premiers termes de la suite arithmétique dont le premier terme est cinq et la raison est huit est donc égale à 410.

Nous allons maintenant étudier une question similaire où les termes sont négatifs.

Déterminez la somme des termes de la suite arithmétique à 11 termes dont le premier terme est moins 92 et le dernier terme est moins 102.

Le premier terme 𝑎 de notre suite arithmétique est égal à moins 92 et son dernier terme 𝑙 est égal à moins 102. Nous savons également qu’il y a 11 termes dans la suite. Par conséquent, 𝑛 est égal à 11. Nous pourrions utiliser ces informations pour calculer la raison r. Ce n’est cependant pas nécessaire dans cette question. Nous pouvons calculer la somme des 𝑛 premiers termes en utilisant la formule 𝑛 sur deux fois 𝑎 plus 𝑙. En substituant les valeurs, on trouve que 𝑆 11 est égal à 11 sur deux fois moins 92 plus moins 102. 11 sur deux égale 5,5, et moins 92 plus moins 102 égale moins 194. Multiplier ces deux valeurs nous donne moins 1 067.

La somme des 11 termes de la suite arithmétique dont le premier terme est moins 92 et le dernier terme est moins 102 est égale à moins 1 067.

Dans la question suivante, nous devons calculer la somme des 10 premiers termes d’une suite arithmétique à partir du terme général.

Calculez la somme des 10 premiers termes de la suite 𝑎 𝑛, où 𝑎 𝑛 égale deux 𝑛 plus quatre.

Il y a plusieurs façons d’aborder ce problème. Une d’entre elles est de calculer les premier et dernier termes de la suite. Comme il y a 10 termes, on peut les noter 𝑎 un et 𝑎 10. Le premier terme est égal à deux fois un plus quatre. Soit six. Le dixième terme 𝑎 10 est égal à deux fois 10 plus quatre. Soit 24. On peut maintenant utiliser la formule 𝑆 𝑛 égale 𝑛 sur deux fois 𝑎 plus 𝑙, où 𝑎 égale six, le premier terme, et 𝑙 égale 24, le 10ème, ou dernier, terme. 𝑆 10 égale 10 sur deux fois six plus 24. Cela se simplifie par cinq fois 30, ce qui nous permet de conclure que la somme des 10 premiers termes de la suite est égale à 150.

Une autre méthode consiste à reconnaître que cette suite est arithmétique. Par conséquent, sa raison r est égale à deux, le coefficient de 𝑛. Si 𝑎 𝑛 égale deux 𝑛 plus quatre, les termes de la suite sont six, huit, 10, etc. On peut alors utiliser la formule selon laquelle 𝑆 égale 𝑛 sur deux fois deux 𝑎 plus 𝑛 moins un fois r. Substituer les valeurs nous donne 𝑆 10 égale 10 sur deux fois deux fois six plus 10 moins un fois deux. Cela se simplifie par cinq fois 12 plus 18, ce qui est encore une fois égal à cinq fois 30 et qui nous donne une réponse de 150.

Nous allons maintenant étudier une dernière question.

Déterminez, en fonction de 𝑛, la somme des termes de la suite arithmétique neuf, 10, 11, etc. jusqu’à 𝑛 plus huit.

Nous pouvons utiliser deux formules pour calculer la somme des termes d’une suite arithmétique. La première est 𝑆 𝑛 égale 𝑛 sur deux fois 𝑎 plus 𝑙, où 𝑎 est le premier terme et 𝑙 est le dernier terme de la suite. La seconde est 𝑆 𝑛 égale 𝑛 sur deux fois deux 𝑎 plus 𝑛 moins un fois r. Où 𝑎 est à nouveau le premier terme et r est la raison de la suite. Nous pouvons voir que le premier terme 𝑎 est égal à neuf et que le dernier terme 𝑙 est égal à 𝑛 plus huit. 𝑆 𝑛 est donc égal à 𝑛 sur deux fois neuf plus 𝑛 plus huit. En regroupant les termes semblables entre parenthèses, on obtient 𝑛 sur deux fois 𝑛 plus 17. Il s’agit de l’expression, en fonction de 𝑛, de la somme des termes de la suite arithmétique.

Si nous choisissons d’utiliser l’autre formule, nous pouvons voir que la raison de la suite est égale à un. Substituer les valeurs de 𝑎 et r nous donne 𝑆 𝑛 égale 𝑛 sur deux fois deux fois neuf plus 𝑛 moins un fois un. L’expression entre parenthèses se simplifie par 18 plus 𝑛 moins un. 18 moins un égale 17. Par conséquent, on retrouve à nouveau l’expression 𝑛 sur deux fois 𝑛 plus 17. Il s’agit de la somme des termes de la suite arithmétique neuf, 10, 11, et ainsi de suite jusqu’à 𝑛 plus huit.

Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Nous avons vu dans cette vidéo que pour une suite arithmétique de premier terme 𝑎, de dernier terme 𝑙 et de raison r. Le terme de rang 𝑛 de la suite arithmétique, 𝑎 𝑛, est égal à 𝑎 plus 𝑛 moins un fois r. Lorsqu’il s’agit d’une suite arithmétique finie, il est de plus égal au dernier terme 𝑙. La somme des termes d’une suite arithmétique est appelée une série arithmétique. Nous pouvons calculer cette somme notée 𝑆 𝑛 en utilisant l’une des deux formules, 𝑛 sur deux fois deux 𝑎 plus 𝑛 moins un fois r, ou 𝑛 sur deux fois 𝑎 plus 𝑙. La formule que nous choisissons dépend des informations données dans la question.

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