Dans cette fiche explicative, nous apprendrons comment calculer la somme des termes d’une suite arithmétique avec un nombre donné de termes.
Les suites et les séries sont couramment utilisées dans la vie quotidienne, elles peuvent, par exemple, modéliser la propagation d’un virus ou le déclin d’une population (ces deux choses ne sont pas nécessairement liées bien sûr ! ). Dans l’étude des mathématiques fondamentales, nous nous intéressons à trouver le terme général, ou de rang , de telles suites, ainsi que la somme d’un nombre donné de termes.
Nous commençons par rappeler ce que nous entendons par une suite arithmétique.
Définition : Suites et séries arithmétiques
Une suite est arithmétique si la différence entre ses termes consécutifs, appelée raison, est constante. Le terme général, , d’une suite arithmétique de premier terme et de raison est donné par
Une série arithmétique est la somme d’un nombre donné de termes d’une suite arithmétique.
Par exemple, la suite est une suite arithmétique.
Son premier terme vaut et sa raison vaut 3.
En utilisant la formule du terme général avec et , le -ième terme de cette suite est donné par
La série arithmétique correspondante serait
Voyons un exemple pratique avant de démontrer une formule pour la somme d’un nombre donné de termes dans une série arithmétique.
Exemple 1: Déterminer la somme d’une série arithmétique étant donné les trois premiers termes de sa suite
Déterminez la somme des 17 premiers termes de la série arithmétique .
Réponse
Il s’agit d’une série arithmétique de premier terme 12. La raison est obtenue en soustrayant un terme par le terme qui le précède :
Le terme général, , d’une suite arithmétique de premier terme et de raison est donné par
Cela signifie que le terme général de la suite est
Les deux derniers termes de la somme partielle de cette série sont obtenus en posant et .
Quand ,
Quand ,
Cela signifie que la somme des 17 premiers termes, , peut être écrite comme suit
Bien sûr, on pourrait inverser la série et obtenir le même résultat :
Remarquez comment chacun des 17 nombres de la liste peut être associé à un nombre de l’autre liste pour obtenir une somme de 168.
L’addition de ces équations donne
La somme des 17 premiers termes peut maintenant être calculée en divisant 2 856 par 2 :
La somme des 17 premiers termes de cette suite arithmétique est 1 428.
Cette méthode de recherche de la somme d’une série arithmétique finie peut être généralisée à une série arithmétique de premier terme et raison .
Exemple 2: Écriture d’une expression pour la somme des termes d’une suite arithmétique
Déterminez une expression pour la somme des termes d’une suite arithmétique dont le premier terme est et dont la raison est .
Réponse
On rappelle que le terme général d’une suite arithmétique de premier terme et de raison est donné par
On peut utiliser cette formule pour calculer les premiers termes de cette suite.
Quand ,
Quand ,
Quand ,
Le schéma continue de la même façon.
La somme des premiers termes, , est maintenant donnée par
Bien sûr, si nous inversons la série, nous obtiendrons toujours la même somme totale :
Remarquez comment chaque nombre de la liste peut être associé à un nombre de l’autre liste pour obtenir une somme constante : 
Cela signifie que lorsque nous ajoutons les deux équations, nous aurons paquets de cette expression :
Pour trouver une expression pour , on divise par 2 :
Définition : Somme des termes d’une suite arithmétique
La somme des premiers termes d’une suite arithmétique dont le premier terme est et dont la raison est est donnée par , où
Il peut arriver d’avoir les premier et dernier termes d’une suite arithmétique pour laquelle on nous demande de calculer la somme de ses termes. Nous allons maintenant examiner comment démontrer une formule pour cette somme en utilisant la formule pour la somme des premiers termes.
Exemple 3: Écriture d’une expression pour la somme des 𝑛 premiers termes d’une suite arithmétique
Écrivez une expression pour la somme des premiers termes d’une suite arithmétique de premier terme et de dernier terme .
Réponse
Nous commençons par rappeler la formule qui nous permet de trouver le -ième terme d’une suite arithmétique de premier terme et de raison :
On sait aussi que la somme des premiers termes d’une suite arithmétique dont le premier terme est et dont la raison est est donnée par , où
En écrivant comme , on peut réécrire comme indiqué :
Dans une suite avec termes, est le dernier terme. Cela signifie que nous pouvons remplacer par pour trouver une formule pour la somme des premiers termes d’une suite arithmétique de premier terme et dernier terme :
Définition : Somme des termes d’une suite arithmétique
La somme des premiers termes d’une suite arithmétique de premier terme et de dernier terme est donnée par , où
Nous allons maintenant apprendre à appliquer cette formule pour déterminer la somme des termes d’une suite arithmétique finie.
Exemple 4: Déterminer la somme des termes d’une suite arithmétique en fonction du premier et du dernier terme
Déterminez la somme des termes de la suite arithmétique à 11 termes dont le premier terme est et le dernier terme est .
Réponse
Rappelons que la somme des premiers termes d’une suite arithmétique de premier terme et de dernier terme est donnée par , où
Le premier terme de la suite est et le dernier terme est , alors on pose et .
Il y a 11 termes dans la suite, alors on note .
Ensuite, la somme des 11 premiers termes est donnée par , où
La somme des termes de cette suite arithmétique à 11 termes est .
Nous allons maintenant examiner comment utiliser le terme général d’une suite arithmétique pour calculer la somme d’un nombre donné de termes de cette même suite arithmétique.
Exemple 5: Déterminer la somme des termes d’une suite arithmétique étant donné son terme général
Déterminez la somme des 10 premiers termes de la suite , où .
Réponse
On nous donne le terme général de la suite, . Cette formule nous permet de calculer n’importe quel terme en fonction de son indice.
Par exemple, on trouve le premier terme en substituant dans la formule.
Quand ,
Quand ,
Quand ,
Les trois premiers termes de la suite sont 6, 8 et 10. On peut donc en déduire que le premier terme vaut 6 et que la raison vaut 2.
La somme des premiers termes d’une suite arithmétique dont le premier terme est et dont la raison est est donnée par , où
Puisque nous calculons la somme des 10 premiers termes, nous allons poser , et :
La somme des 10 premiers termes de cette suite est égale à 150.
Il convient de noter que les formules que nous utilisons pour travailler avec des suites et des séries peuvent être adaptées lorsqu’un terme ou un certain nombre de termes sont donnés sous forme d’expressions algébriques. Nous traiterons ce cas dans notre prochain exemple.
Exemple 6: Déterminer la somme des termes d’une suite arithmétique donnée en fonction de 𝑛
Déterminez, en fonction de , la somme des termes de la suite arithmétique .
Réponse
Afin de déterminer la somme des termes d’une suite arithmétique, nous devons connaître le nombre de termes ou la valeur du dernier terme. Dans cet exemple, on nous donne le dernier terme de la suite arithmétique comme une expression algébrique, .
Afin de déterminer le nombre de termes dans cette suite, regardons le terme général . Quand , , qui est le premier terme de la suite. Quand , , qui est le deuxième terme de la suite. Cette tendance se poursuit, ce qui signifie que, tant que , est aussi le nombre de termes dans la suite.
Cela signifie que nous pouvons utiliser la formule pour déterminer la somme des premiers termes d’une suite arithmétique de premier terme et dernier terme :
En remplaçant et dans notre formule,
La somme des termes de la suite arithmétique est .
Dans notre dernier exemple, nous allons voir comment trouver la somme d’un nombre donné de termes d’une suite arithmétique avec des informations sur ses termes. Ce processus implique de résoudre le problème en « inversant » le raisonnement pour trouver la solution.
Exemple 7: Déterminer la somme d’un nombre donné de termes d’une suite arithmétique sous une condition donnée
Déterminez la somme des 21 premiers termes d’une suite arithmétique telle que et .
Réponse
Il y a deux formules que nous pouvons utiliser pour déterminer la somme d’un nombre donné de termes d’une suite arithmétique. La première nécessite de connaître la valeur du premier terme et la raison : alors que la seconde nécessite de connaître la valeur du premier terme et du dernier terme :
On nous a donné des informations sur trois des termes de la suite, alors il s’ensuit que nous devrons peut-être appliquer la formule qui donne le -ième terme d’une suite arithmétique. Comme cette formule utilise la valeur du premier terme et la raison, on pourrait en déduire que nous aurons besoin de la première version de la formule de la somme.
Le terme général d’une suite arithmétique de premier terme et raison est donné par
En posant ,
Pour ,
Et pour ,
Remplaçons chacune de ces expressions par les deux équations données dans la question.
La première nous donne
Ensuite, l’équation devient
Remarquez que nous avons une paire d’équations linéaires simultanées. Celles-ci peuvent être résolues en soustrayant l’une à l’autre :
Enfin, on peut substituer dans l’une de nos équations d’origine :
La somme des premiers termes d’une suite arithmétique dont le premier terme est et dont la raison est est donnée par , où
Étant donné que nous trouvons la somme des 21 premiers termes, nous allons substituer , et dans cette formule :
Points clés
- La somme des premiers termes d’une suite arithmétique dont le premier terme est et dont la raison est est donnée par , où
- La somme des premiers termes d’une suite arithmétique de premier terme et dernier terme est donnée par , où
