Video Transcript
Un corps de masse de 17 kilogrammes se déplace sous l’action d’une force 𝐅. Son vecteur de position à l’instant 𝑡 est donné par la relation 𝐫 de 𝑡 égale 7𝑡 au cube 𝐢 plus 4𝑡 au carré 𝐣. Étant donné que 𝐅 est mesurée en newtons, 𝐫 en mètres et 𝑡 en secondes, écrivez une expression pour la puissance de la force 𝐅 à l’instant 𝑡. Soit 𝐯 le vecteur vitesse instantanée de l’objet.
Nous savons que le taux auquel la force 𝐅 effectue un travail sur la masse, aussi appelé puissance, est donnée par 𝑝 égale au produit scalaire de 𝐅 pour 𝐯. Donc, idéalement, pour trouver la puissance de la force 𝐅, nous devons savoir la force et le vecteur vitesse.
On nous donne que le vecteur de position à l’instant 𝑡 est 7𝑡 au cube 𝐢 plus 4𝑡 au carré 𝐣. Et nous savons aussi que le vecteur vitesse est le taux de variation du déplacement d’un objet par rapport au temps. Donc, 𝐯 est égal à d𝐫 sur d𝑡. Et cela fonctionne également pour la forme vectorielle. Ainsi, nous pouvons trouver un vecteur qui décrit le vecteur vitesse du corps en dérivant chaque terme par rapport à 𝑡.
Commençons par dériver la composante 𝐢. Pour un terme de puissance comme celui-ci, nous multiplions simplement le terme entier par l’exposant, puis réduisons l’exposant par un. Donc, nous obtenons trois fois 7𝑡 au carré, ou 21𝑡 au carré. De même, en dérivant 4𝑡 au carré, on obtient deux fois 4𝑡 à la puissance un, ou simplement huit 𝑡. Et donc, nous avons un vecteur qui décrit le vecteur vitesse du corps en 𝑡 secondes.
Mais qu’en est-il de la force ? Eh bien, l’une des formules que nous pouvons utiliser est que la force est égale à la masse multipliée par l’accélération. Et bien sûr, cela fonctionne parfaitement bien pour les quantités vectorielles également. Si nous rappelons que l’accélération est le taux de variation du vecteur vitesse par rapport au temps - en d’autres termes, 𝑎 est égal à la dérivée de 𝐯 par rapport à 𝑡 - nous voyons que nous pouvons trouver un vecteur qui décrit l’accélération du corps en dérivant le vecteur vitesse par rapport au temps.
Encore une fois, nous pouvons le faire séparément pour les composantes horizontale et verticale. La dérivée de 21𝑡 au carré par rapport à 𝑡 est 42𝑡. Et la dérivée de huit 𝑡 est huit. On nous dit que le corps a une masse de 17 kilogrammes, donc la force est égale à 17 fois le vecteur d’accélération. C’est 42𝑡 𝐢 plus huit 𝐣. Nous pouvons simplement développer 17 sur notre vecteur. 17 fois 42𝑡 est 714𝑡. Et 17 fois huit font 136.
La puissance est le produit scalaire du vecteur force et du vecteur vitesse. Donc, nous multiplions les composantes 𝐢. Cela fait 21𝑡 au carré fois 714𝑡. Et nous ajoutons le produit des composantes 𝐣. C’est huit 𝑡 fois 136. Cela nous donne 14994 𝑡 au cube plus 1088𝑡. Mais quelles sont les unités de notre puissance ? Eh bien, la force est mesurée en newtons, le déplacement en mètres et le temps en secondes. Nous savons qu’un newton mètre par seconde de puissance est égal à un watt de puissance. Et donc, nos unités sont des watts. La puissance de la force 𝐅 à l’instant 𝑡 est 14994𝑡 au cube plus 1088𝑡 watts.
