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Vidéo de la leçon : Puissance et dérivée du travail en fonction du temps Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à définir la puissance d’une force comme la dérivée du travail fourni par cette force par rapport au temps.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à définir la puissance d’une force comme la dérivée du travail fourni par cette force par rapport au temps. Si une force résultante agissant sur un corps fournit un travail, alors ce travail est égal à la variation de l’énergie cinétique du corps. Dans cette vidéo, nous n’allons considérer aucun autre transfert d’énergie. Commençons par définir le travail fourni par une force agissant sur un corps. Le travail fourni par une force agissant sur un corps dépend de la force qui agit sur le corps et du déplacement du corps avec 𝑊 égal au produit scalaire de 𝐅 et 𝐬, où 𝐅 est le vecteur force et 𝐬 est le déplacement.

On rappelle que l’énergie cinétique d’un corps dépend de sa masse et de sa vitesse telle que l’énergie cinétique est égale à un demi de 𝑚𝑣 au carré. Lorsqu’une force agissant sur un corps fournit un travail et fait varier son énergie cinétique, l’énergie cinétique du corps varie sur l’intervalle de temps pendant lequel la force agit. Le taux de variation du travail fourni par la force agissant sur le corps correspond à la puissance fournie par la force. La puissance 𝑃 est donc égale à d𝑊 sur d𝑡. On dérive le travail fourni par rapport au temps. Voyons maintenant comment cela fonctionne en pratique.

Ce schéma représente le vecteur de la force résultante constante 𝐅 agissant sur un corps et provoquant un vecteur accélération 𝐚. Remarquez que l’accélération et la force ont le même sens. Si le corps est au repos avant que la force n’agisse sur lui, le déplacement du corps est défini par 𝐬 égale un demi du vecteur 𝐚 fois 𝑡 au carré, où 𝐬 est égal à zéro lorsque 𝑡 est égal à zéro. On rappelle alors que le travail fourni est égal au produit scalaire du vecteur force et du déplacement. En remplaçant 𝐬 par un demi de 𝐚𝑡 au carré, le travail fourni peut être reformulé comme le produit scalaire du vecteur 𝐅 et de un demi de 𝐚𝑡 au carré. La fonction 𝑊 de 𝑡 entre 𝑡 égale zéro et 𝑡 égale cinq est représentée sur ce graphique, où les normes du vecteur 𝐅 et du vecteur 𝐚 sont supposées égales à un.

La vitesse instantanée à laquelle le travail fourni augmente à l’instant 𝑡 est égale au coefficient directeur de la tangente à la courbe à l’instant 𝑡. En rappelant que la puissance est égale à d𝑊 sur d𝑡 et en dérivant par rapport à 𝑡, on a d𝑊 sur d𝑡 égale le produit scalaire de 𝐅 et de 𝐚𝑡. Si la force n’est pas constante, elle ne provoque pas une accélération uniforme. Par conséquent, la puissance instantanée 𝑃 peut être définie plus généralement par le produit scalaire de 𝐅 et 𝐯, où 𝐯 est le vecteur vitesse du corps. Remarquez alors qu’une force constante ne produit pas une puissance constante.

En plus de la puissance instantanée fournie par une force, on peut également calculer sa puissance moyenne. La puissance moyenne est égale au travail fourni divisé par la variation du temps, qui est notée Δ𝑡. Sur notre graphique du travail en fonction du temps, la puissance moyenne est donc égale au coefficient directeur de la droite qui coupe la courbe représentative de 𝑊 aux instants initial et final de l’intervalle entre 𝑡 égale zéro à 𝑡 égale cinq. Avant de nous pencher sur quelques problèmes, récapitulons les formules dont nous allons avoir besoin.

Le travail fourni est égal au produit scalaire des vecteurs de force et de déplacement. La puissance 𝑃 correspond à cette expression dérivée par rapport au temps, c’est-à-dire 𝑃 égale d𝑊 sur d𝑡. On peut également trouver la puissance en calculant le produit scalaire des vecteurs de force et de vitesse. Si on connaît une expression du travail fourni, on peut la dériver pour obtenir une expression de la puissance. Et comme l’intégration est l’opération réciproque de la dérivation, le travail fourni est égal à l’intégrale de la puissance. Enfin, nous avons vu que la puissance moyenne est égale à la variation de travail fourni divisé par la variation du temps. Nous allons maintenant étudier quelques exemples.

Le travail fourni par un moteur à l’instant 𝑡 est défini par 𝑊 de 𝑡 égale deux 𝑡 au cube plus six 𝑡 joules. Déterminez l’expression de la puissance du moteur en fonction du temps.

Commençons par rappeler que la puissance est la dérivée du travail avec 𝑃 égale d𝑊 sur d𝑡. Dans cette question, nous connaissons une expression du travail fourni 𝑊 en fonction du temps. Il est égal à deux 𝑡 au cube plus six 𝑡. On peut donc dériver cette fonction terme par terme pour trouver la fonction de la puissance 𝑃. On rappelle que si 𝑦 est égal à 𝑎 fois 𝑥 puissance 𝑛, alors d𝑦 sur d𝑥 est égal à 𝑛 fois 𝑎 fois 𝑥 puissance 𝑛 moins un. On dérive deux 𝑡 au cube et on obtient six 𝑡 au carré car trois fois deux égale six et on diminue la puissance d’une unité. Et dériver six 𝑡 nous donne simplement six car lorsque l’on diminue la puissance de 𝑡, on obtient 𝑡 puissance zéro, ce qui est égal à un. La puissance du moteur en fonction du temps est égale à six 𝑡 au carré plus six en unité standard watts.

Dans le prochain problème, nous devons trouver la puissance d’une force exprimée en fonction des vecteurs unitaires agissant sur une particule.

Une particule se déplace sous l’action de la force 𝐅 égale huit 𝐢 plus cinq 𝐣. Son vecteur position à l’instant 𝑡 est défini par 𝐫 de 𝑡 égale trois 𝑡 au carré moins 𝑡 moins quatre 𝐢 plus cinq sur deux 𝑡 au carré plus 10𝑡 plus cinq 𝐣. Calculez la dérivée du travail fourni par la force en 𝑡 égale trois.

Dans cette question, nous essayons de déterminer la dérivée du travail fourni. Cela revient à calculer la puissance puisque 𝑃 est égale à d𝑊 sur d𝑡. On peut calculer la puissance en dérivant le travail fourni par rapport au temps. Dans cette question, nous connaissons les expressions du vecteur de force et du déplacement de la particule, où r est juste un autre nom pour le déplacement s. En rappelant que le travail fourni est égal au produit scalaire de ces vecteurs, nous allons commencer par déterminer son expression. On calcule donc le produit scalaire de huit 𝐢 plus cinq 𝐣 et de trois 𝑡 au carré moins 𝑡 moins quatre 𝐢 plus cinq sur deux 𝑡 au carré plus 10𝑡 plus cinq 𝐣.

Afin de le calculer, on multiplie les composantes correspondantes en 𝐢 et 𝐣, puis on additionne ces produits. Huit fois trois 𝑡 au carré moins 𝑡 moins quatre donne 24𝑡 au carré moins huit 𝑡 moins 32. Et en faisant de même pour les composantes en 𝐣, on obtient 25 sur deux 𝑡 au carré plus 50𝑡 plus 25. En regroupant les termes semblables, cette expression se simplifie par 73 sur deux 𝑡 au carré plus 42𝑡 moins sept. On peut maintenant calculer la dérivée du travail fourni. En dérivant terme par terme, on obtient 73𝑡 plus 42 car la dérivée d’une constante est égale à zéro.

Et nous devons calculer la dérivée du travail fourni, ou la puissance, lorsque 𝑡 est égal à trois. En substituant cette valeur dans notre expression, on obtient 73 fois trois plus 42. Ce qui fait 261. La dérivée du travail fourni par la force en 𝑡 égale trois est donc de 261 unités de puissance.

Dans le dernier exemple, nous devons déterminer le travail fourni à partir de l’expression de la puissance en fonction du temps.

La puissance d’un moteur à l’instant 𝑡 secondes est définie par 𝑃 de 𝑡 égale 12𝑡 au carré plus huit 𝑡 watts. Calculez le travail fourni par le moteur entre 𝑡 égale deux secondes et 𝑡 égale trois secondes.

Dans cette question, nous connaissons une expression de la puissance d’un moteur en fonction de 𝑡. On rappelle que la puissance est la dérivée du travail avec 𝑃 égale d𝑊 sur d𝑡. Comme l’intégration est la réciproque de la dérivation, le travail doit être égal à l’intégrale de la puissance par rapport à 𝑡. On peut donc trouver une expression du travail fourni en intégrant 12𝑡 au carré plus huit 𝑡 par rapport à 𝑡. Comme nous devons calculer le travail fourni entre 𝑡 égale deux et 𝑡 égale trois secondes, les bornes inférieure et supérieure seront respectivement deux et trois. On peut également le voir sur ce graphique. Le travail fourni sera égal à l’aire délimitée par la courbe, les droites verticales 𝑡 égale deux et 𝑡 égale trois, et l’axe des abscisses.

On peut intégrer l’expression de la puissance terme par terme. On rappelle que l’intégrale de 𝑎𝑥 puissance 𝑛 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑎𝑥 puissance 𝑛 plus un divisé par 𝑛 plus un où 𝑛 est différent de moins un. Puisque nous calculons ici une intégrale définie, nous n’avons pas besoin d’inclure la constante 𝐶. Intégrer 12𝑡 au carré nous donne 12𝑡 au cube sur trois, ce qui se simplifie par quatre 𝑡 au cube. Intégrer huit 𝑡 nous donne huit 𝑡 au carré sur deux, ce qui se simplifie par quatre 𝑡 au carré.

Notre prochaine étape consiste à substituer les bornes supérieure et inférieure. Cela nous donne quatre fois trois au cube plus quatre fois trois au carré moins quatre fois deux au cube plus quatre fois deux au carré. Cela se simplifie par 144 moins 48, ce qui fait 96. Puisque la puissance du moteur était mesurée en unité standard watts, le travail doit être mesuré en joules. Le travail fourni par le moteur entre 𝑡 égale deux et 𝑡 égale trois secondes est donc de 96 joules.

Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Nous avons vu dans cette vidéo que la puissance est la vitesse du travail d’une force agissant sur un corps. Cela signifie que la puissance est la dérivée du travail avec 𝑃 égale d𝑊 sur d𝑊. Nous avons vu que les unités standard de la puissance sont les watts et que les unités standard du travail sont les joules. Puisque l’intégration est la réciproque de la dérivation, le travail est égal à l’intégrale de la puissance. En utilisant ces deux formules, nous avons pu calculer la quantité de travail ou de puissance fournis sur un intervalle de temps. Nous avons également vu que l’on peut calculer le travail fourni en calculant le produit scalaire des vecteurs de force et de déplacement et la puissance en calculant le produit scalaire des vecteurs de force et de vitesse.

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