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Fiche explicative de la leçon : La puissance comme taux de travail Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à définir la puissance d’une force comme la dérivée du travail fourni par la force.

Si la force résultante exercée sur un corps travaille, alors le travail de cette force sur le corps est égal à la variation de l’énergie cinétique du corps.

L’énergie cinétique transférée à un corps par le travail d'une force nette peut ensuite être transformée en énergie potentielle gravitationnelle ou être dissipée par une force de frottement agissant sur le corps. Par souci de clarté, nous nous limiterons dans cette fiche explicative aux situations où des forces modifient l’énergie cinétique de corps sans autre transfert d’énergie.

Définissons le travail d'une force sur un corps.

Définition : Travail d'une force sur un corps

Le travail d'une force sur un corps dépend de la force qui agit sur le corps et du déplacement du corps, selon la formule 𝑊=𝐹𝑠,𝐹 est la force et 𝑠 est le déplacement du corps.

Définissons l’énergie cinétique.

Définition : Energie cinétique

L’énergie cinétique d’un corps dépend de la masse et de la vitesse du corps, selon la formule 𝐸=12𝑚𝑣,c𝑚 est la masse du corps et 𝑣 est la vitesse du corps.

Lorsqu’une force agit sur un corps et modifie son énergie cinétique, l’énergie cinétique du corps change sur l’intervalle de temps pendant lequel la force agit. La force fournit un travail sur le corps avec une certaine intensité. Le taux de variation du travail d'une force sur un corps est la puissance fournie par cette force.

Une force résultante constante 𝐹 agissant sur un corps induit une accélération du corps 𝑎 en direction de 𝐹. Pour un corps initialement au repos et situé en un point 𝑃 avant que la force commence à agir sur lui, le vecteur déplacement du corps partant de 𝑃 suit le sens de 𝑎 et est donné par 𝑠=12𝑎𝑡,𝑠, le vecteur déplacement du corps pendant un intervalle de temps donné, est nul à 𝑡=0.

On peut substituer le vecteur déplacement 𝑠 dans la direction de la force dans la formule du travail de la force, ce qui donne 𝑊=𝐹𝑠=12𝐹𝑎𝑡,𝑊 est le travail effectué entre 𝑡=0 et l’instant 𝑡.

La variation de 𝑊 par rapport à 𝑡 entre 𝑡=0 et 𝑡=5 est représentée dans le graphique suivant. Les normes de 𝐹 et 𝑎 sont toutes les deux prises égales à 1.

Le taux auquel le travail effectué entre 𝑡=0 et l’instant 𝑡 augmente est égal au gradient de la courbe à l’instant 𝑡. Le gradient de la courbe est la dérivée par rapport à 𝑡 de 𝑊=12𝐹𝑎𝑡, on peut écrire la dérivée par rapport au temps de l’équation comme suit:dd𝑊𝑡=𝐹𝑎𝑡.

Puisque la variation du travail d'une force fourni à un corps correspond à la puissance fournie par la force, cette expression est la puissance instantanée fournie au corps par la force constante. La puissance instantanée est une fonction de 𝑡.

Si une force n’est pas constante, elle ne produit pas une accélération constante, alors dans ce cas la puissance instantanée 𝑃 fournie par cette force peut être donnée sous la forme plus générale suivante 𝑃=𝐹𝑣,𝑣 est le vecteur vitesse du corps.

Intuitivement, on peut penser qu’une force constante agissant sur un corps lui fournit une puissance constante. Cependant, on peut voir que cela est incorrect en comparant l'augmentation de la vitesse et l’augmentation de l’énergie cinétique correspondante.

Considérons un corps initialement au repos qui accélère uniformément. Dans un intervalle de temps Δ𝑡, la vitesse du corps augmente de Δ𝑣, où, en prenant une vitesse initiale nulle:Δ𝑣=𝑣0=𝑣.

L’énergie cinétique du corps augmente de Δ𝐸, Δ𝐸=𝑣.

Maintenant, considérons une deuxième augmentation de la vitesse qui est égale à la première augmentation, et qui se produit également pendant un intervalle de temps Δ𝑡:Δ𝑣=𝑣𝑣=Δ𝑣.

Puisque 𝑣𝑣=𝑣, on en déduit que 𝑣=2𝑣.

La variation de la vitesse Δ𝑣 correspond à une augmentation de l’énergie cinétique de Δ𝐸, Δ𝐸=𝑣𝑣=(2𝑣)𝑣=4𝑣𝑣=3𝑣.

Par conséquent, Δ𝐸=3Δ𝐸.

L'augmentation de l'énergie cinétique n'est pas la même dans les deux cas et donc le travail fourni au corps diffère pour deux intervalles de temps égaux.

Supposons à l'inverse que, à intervalles de temps égaux, un même travail est fourni au corps, de sorte que Δ𝐸=Δ𝐸.

Encore une fois, en supposant que le corps est initialement au repos, alors à 𝑡=Δ𝑡, la vitesse du corps vaut 0+Δ𝑣=Δ𝑣, et, à 𝑡=2Δ𝑡, la vitesse du corps vaut Δ𝑣+Δ𝑣.

Pour que le travail fourni au corps soit le même sur les deux intervalles de temps, Δ𝑣=(Δ𝑣+Δ𝑣)Δ𝑣, ce qui ne peut pas être le cas pour une valeur de Δ𝑣 strictement positive;or, pour un objet accéléré par une force résultante constante, Δ𝑣 est strictement positif. Si Δ𝑣 est strictement positif, on doit avoir Δ𝑣=Δ𝑣21.

Ainsi, si à intervalles de temps égaux, un même travail est effectué par une force sur un corps de masse fixe, alors l’accélération du corps et, par conséquent, la norme de la force agissant sur celui-ci doit diminuer à chaque intervalle de temps successif. Lorsque la puissance est constante, cela signifie que la force fournissant la puissance doit dépendre du temps.

À part la puissance instantanée fournie par une force, on peut également déterminer la puissance moyenne fournie par une force. La puissance moyenne fournie à un corps sur un intervalle de temps Δ𝑡 est égale au travail effectué pendant Δ𝑡, divisé par Δ𝑡.

Sur un graphique représentant le travail en fonction du temps, la puissance moyenne est alors égale à la pente de la droite reliant la valeur de 𝑊 aux temps initial et final d’un intervalle, comme indiqué sur le graphique suivant par la ligne pointillée, où Δ𝑡 est l’intervalle entre 𝑡=0 et 𝑡=5.

Une force constante agissant sur un corps fournit à celui-ci un travail qui varie au cours du temps pendant lequel la force agit. En revanche, si la force n’est pas constante mais dépend du temps, alors la force fournit au corps un travail qui peut être constant. Dans ce cas, on dit que la force fournit une puissance constante.

Si une force fournit une puissance instantanée qui est la même en tout instant où la force agit, alors la puissance moyenne fournie par la force est égale à la puissance instantanée de la force à chaque instant. Par conséquent, un graphique représentant le travail au cours du temps aura une dérivée constante si la force fournit une puissance constante, de la même manière que la puissance moyenne d’une force est donnée par la pente d’une droite.

Voyons un exemple où une valeur constante de puissance est utilisée.

Exemple 1: Déterminer le temps nécessaire pour qu'une voiture recevant une puissance constante donnée atteigne une certaine vitesse

Déterminez le temps nécessaire pour qu'une voiture de 1‎ ‎236 kg atteigne une vitesse de 126 km/h, sachant que la voiture est initialement au repos et que la puissance du moteur est constante et égale à 103 chevaux-vapeur.

Réponse

La voiture est initialement au repos, donc sans énergie cinétique. Lorsque la vitesse de la voiture est égale à 126 km/h, cela équivaut à une vitesse en mètres par seconde de 𝑣=126×10003600=35/.ms

L’énergie cinétique de la voiture lorsqu’elle a une vitesse de 35 m/s est donnée par 𝐸=12×1236×35=757050.joules

Une puissance de 1 cheval-vapeur correspond à 735 W. La puissance fournie par le moteur est donc donnée par 𝑃=103×735=75705.W

La durée de l’intervalle de temps pendant lequel la voiture accélère est égale à l’augmentation de l’énergie cinétique de la voiture divisée par la puissance fournie par le moteur, donc Δ𝑡 est donné par Δ𝑡=75705075705=10.s

Voyons maintenant un exemple où l'on utilise la puissance instantanée.

Exemple 2: Calcul de la puissance à partir du travail et du temps

La puissance d’une machine est donnée par la relation 𝑃=3𝑡+7, 𝑡 est le temps écoulé en secondes. Déterminer le travail effectué par la machine pendant les premières 8 secondes.

Réponse

La puissance fournie par la machine évolue avec le temps selon l’équation 𝑃=3𝑡+7, ainsi, le travail effectué par la machine correspond au travail effectué entre 𝑡=0 et un instant 𝑡.

L'énoncé demande de trouver le travail effectué par la machine dans un intervalle de temps de 8 secondes commençant à 𝑡=0. Comme la puissance est la dérivée du travail, le travail est le produit de la puissance et du temps. Le travail effectué pendant l'intervalle de temps considéré correspond à l’aire sous la droite dans le graphique suivant représentant la puissance en fonction du temps.

L’équation de la droite est 𝑃=3𝑡+7,0𝑡8.

Le travail peut être déterminé en intégrant 𝑃(𝑡) par rapport à 𝑡:𝑊=3𝑡+7𝑡=32𝑡+7𝑡,𝑊=32(640)+56=152.d

On peut également déterminer l'aire sans utiliser l’intégrale comme suit.

La puissance à 𝑡=8 est donnée par 𝑃=3(8)+7=31.

L’aire recherchée peut être décomposée en deux parties distinctes, l'aire d'un rectangle de côtés 8 et 7 et l'aire d’un triangle rectangle de base 8 et de hauteur 317. Ces aires valent:𝐴=8×7=56,𝐴=8×3172=96,rectangletriangle et l’aire totale est 56+96=152.

L'unité de puissance n'est pas indiquée dans la question, donc la réponse doit être donnée comme 𝑊=152.unitésdetravail

Dans l’exemple précédent, il était possible de répondre à la question sans utiliser l’intégration. Maintenant, voyons un exemple similaire au précédent pour lequel l’intégration est nécessaire.

Exemple 3: Calcul de la puissance à partir du travail et du temps

La puissance d’un moteur au temps 𝑡secondes est donnée par 𝑃(𝑡)=12𝑡+8𝑡W. Déterminez le travail effectué par le moteur entre 𝑡=2s et 𝑡=3s.

Réponse

La puissance fournie par le moteur varie avec le temps. Comme la puissance est la dérivée du travail, le travail est le produit de la puissance et du temps. Le travail effectué dans l’intervalle de temps considéré correspond à l’aire entre la courbe, l'axe des 𝑥 et les droites pointillées représentés dans le graphique suivant de la puissance en fonction du temps.

L’aire à calculer n’est pas celle d’une forme courante, mais peut être déterminée par intégration comme suit:𝑊=12𝑡+8𝑡𝑡=123𝑡+82𝑡=4𝑡+𝑡𝑊=43+32+2𝑊=4(3612)=96.d

Par conséquent, le travail effectué par le moteur entre 𝑡=2s et 𝑡=3s vaut 96 J.

Points clés

  • La puissance fournie par une force correspond à la variation de travail fourni par cette force sur un corps et est la dérivée par rapport au temps du travail fourni par la force au corps.
  • On peut prendre la valeur instantanée ou moyenne de la puissance fournie par une force.
  • Lorsqu’un corps est accéléré par une force résultante constante, la variation de travail fourni au corps par la force est directement proportionnelle au temps pendant lequel la force agit sur le corps.

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