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Un sac contient 27 balles blanches et 6 balles noires. Si 2 balles sont tirées consécutivement sans remise, quelle est la probabilité que la deuxième balle soit noire sachant que la première est noire ?
Comme cette question concerne deux boules tirées l'une après l'autre d'un sac, il est utile d'utiliser un arbre pondéré pour illustrer la situation. Le premier événement est le tirage de la première boule qui a deux issues : elle est soit blanche, soit noire. Le deuxième événement, qui consiste à tirer la deuxième boule, a les mêmes deux issues : elle est également blanche ou noire.
Notez que les deux boules sont tirées sans remise, donc une fois que la première boule a été tirée, elle n'est pas remise dans le sac avant le tirage de la deuxième boule. Il faut donc tenir compte du résultat de la couleur de la première boule pour calculer la probabilité de chaque résultat pour la deuxième boule. Mais pour la première boule, nous pouvons simplement utiliser le nombre initial de boules de chaque couleur dans le sac. Au départ, il y a 27 boules blanches et six boules noires. Le nombre total de boules dans le sac est donc de 33. On peut donc écrire les probabilités du résultat de la première boule sous forme de fractions dont le dénominateur est 33.
Comme il y a 27 boules blanches au départ, la probabilité que la première boule choisie soit blanche est de 27 sur 33. Et comme il y a six boules noires au départ, la probabilité que la première boule choisie soit noire est de six sur 33. Nous devons maintenant considérer les probabilités pour le résultat du tirage de la deuxième boule. Comme la première boule n'a pas été remise, il y a maintenant une boule de moins dans le sac. Ainsi, les probabilités pour la deuxième boule peuvent toutes être écrites sous forme de fractions avec un dénominateur de 32.
Il faut maintenant considérer attentivement ce qui s'est déjà passé lors de la détermination du numérateur de chaque fraction. Si la première boule tirée était blanche, il y a maintenant une boule blanche de moins dans le sac, et il reste donc 26 boules blanches. La probabilité que la deuxième boule soit blanche, si la première était blanche, est donc de 26 sur 32. Si la première boule était blanche, le nombre de boules noires reste inchangé. Il reste donc six boules noires dans le sac. La probabilité que la deuxième boule soit noire, si la première boule était blanche, est donc de six sur 32.
En revanche, si la première boule était noire, le nombre de boules blanches dans le sac est le même qu'au départ, mais le nombre de boules noires a diminué d'une boule. La probabilité que la deuxième boule soit blanche, si la première était noire, est donc de 27 sur 32. Et la probabilité que la deuxième boule soit noire, si la première était noire, est de cinq sur 32.
On remarque que dans chaque cas, la somme des probabilités sur chaque ensemble de branches de l'arbre pondéré est égale à un, ce qui permet de déterminer les probabilités.
Maintenant, utilisons notre arbre pondéré pour répondre à la question, qui consistait à trouver la probabilité que la deuxième boule soit noire étant donné que la première est noire. Cette probabilité se trouve sur la deuxième ensemble de branches de l'arbre pondéré. Étant donné que la première boule est noire, la probabilité que la deuxième boule soit également noire est de cinq sur 32, car si une boule noire a été tirée du sac, il reste cinq boules noires sur un total de 32. On peut exprimer cela en utilisant la notation de probabilité conditionnelle représentée par un trait vertical.
Ainsi, en dessinant un arbre pondéré, on a trouvé que la probabilité que la deuxième boule soit noire, étant donné que la première est noire, est de cinq sur 32.
