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Fiche explicative de la leçon : Probabilité conditionnelle : arbres pondérés Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à utiliser des arbres de probabilité pour calculer des probabilités conditionnelles.

Lorsque l’on travaille avec des probabilités conditionnelles, les arbres de probabilité peuvent être utiles pour représenter les probabilités des différentes issues. Pour nous aider à comprendre comment utiliser les arbres de probabilité, rappelons d’abord la formule de la probabilité conditionnelle.

Définition : Probabilité conditionnelle

La probabilité qu’un événement 𝐵 se réalise sachant que l’événement 𝐴 s’est réalisé est 𝑃(𝐵𝐴)=𝑃(𝐴𝐵)𝑃(𝐴),𝑃(𝐵𝐴) est la probabilité de 𝐵 sachant que 𝐴 s’est réalisé, 𝑃(𝐴𝐵) est la probabilité que 𝐴 et 𝐵 se réalisent simultanément et 𝑃(𝐴) est la probabilité que 𝐴 se réalise.

On peut réécrire la formule ci-dessus en multipliant les deux membres par 𝑃(𝐴), ce qui donne 𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐵𝐴)𝑃(𝐴).

On peut utiliser cette version de la formule pour calculer la probabilité de l’intersection de deux événements. Sur un arbre de probabilité, elle peut être calculée en multipliant les probabilités le long des branches, la première représentant la probabilité de 𝐴 et la seconde branche représentant la probabilité de 𝐵 sachant que 𝐴 s’est réalisé, comme illustré ci-dessous.

Nous pouvons également utiliser les formules de probabilité connues pour développer notre compréhension des arbres de probabilité. Rappelons d’abord certaines de ces formules.

Définition : Formules de probabilité simples

Pour tout événement 𝐴, si 𝑃(𝐴) est la probabilité que l’événement 𝐴 se réalise, alors:

  • La probabilité que l’événement 𝐴 se réalise est définie par 𝑃(𝐴)=𝑐𝑎𝑟𝑑(𝐴)𝑐𝑎𝑟𝑑(Ω),𝑐𝑎𝑟𝑑(𝐴) est le nombre d’issues de l’événement 𝐴 et 𝑐𝑎𝑟𝑑(Ω) est le nombre d’issues de l’univers Ω.
  • Toutes les probabilités appartiennent à l’intervalle [0;1], c’est-à-dire 0𝑃(𝐴)1.
  • Somme des probabilités:la somme des probabilités de toutes les issues possibles est égale à 1 (ou 100%).
  • Le contraire de l’événement 𝐴, noté 𝐴, se réfère à tout ce qui n’est pas 𝐴 et 𝑃(𝐴)=1𝑃(𝐴).

Remarque

Le contraire de l’événement 𝐴 peut également être noté 𝐴.

On peut ensuite appliquer ces formules de probabilité à un arbre de probabilité. Dans un arbre de probabilité, la somme des probabilités de chaque ensemble de branches doit être égale à 1, car la probabilité de toutes les issues possibles est égale à 1. Par exemple, si un événement a deux issues, avec la première branche représentant la probabilité de 𝐴, alors la deuxième branche doit représenter la probabilité de 𝐴, le contraire de 𝐴. De même, si la probabilité de 𝐵 sachant que 𝐴 s’est réalisé est représentée sur une de deux branches, alors l’autre branche doit représenter la probabilité de 𝐵 sachant que 𝐴 s’est réalisé. En outre, si la probabilité de 𝐵 sachant que 𝐴 s’est réalisé est représentée sur une de deux branches, alors l’autre branche doit correspondre à la probabilité de 𝐵 sachant que 𝐴 s’est réalisé. On peut illustrer cela sur l’arbre de probabilité suivant.

Puisque l’arbre ci-dessus n’a que des branches doubles, on peut utiliser l’événement contraire pour déterminer la probabilité de l’autre branche. S’il y a cependant trois branches ou plus, il n’est pas possible d’utiliser ce raisonnement.

Explorons avec le premier exemple comment utiliser un arbre pour calculer une probabilité conditionnelle.

Exemple 1: Calculer une probabilité conditionnelle sur un arbre de probabilité

Un sac contient 3 balles bleues et 7 balles rouges. Hugo sélectionne 2 balles sans remise et trace l’arbre de probabilité suivant.

Sachant que la première balle est rouge, calculez la valeur de 𝑥, qui représente la probabilité que la deuxième balle sélectionnée soit rouge.

Réponse

La question indique que les deux balles sont sélectionnées sans remise. Cela signifie que la couleur de la deuxième balle dépend de la couleur de la première balle. Nous devons donc prendre en compte l’issue du premier événement lors du calcul de la probabilité de l’issue du deuxième événement.

Nous devons ici déterminer la valeur de 𝑥, qui représente la probabilité que la deuxième balle sélectionnée soit rouge sachant que la première balle sélectionnée est rouge;nous allons donc utiliser l’information selon laquelle la première balle sélectionnée est rouge pour déterminer 𝑥.

Il y a initialement 3 balles bleues et 7 balles rouges. Si une balle rouge est sélectionnée en premier, il reste ensuite 6 balles rouges dans le sac mais le nombre de balles bleues reste inchangé. On calcule donc la probabilité que la deuxième balle soit rouge en divisant le nombre de balles rouges dans le sac après qu’une balle rouge est sélectionnée (6) par le nombre total de balles après qu’une balle rouge est sélectionnée (9):𝑃()==69=23.deuxièmeballerougepremièreballerougenombredeballesrougesaprèsquuneballerougeestsélectionnéenombretotaldeballesaprèsquuneballerougeestsélectionnée

Comme l’énoncé indique que la probabilité que la deuxième balle soit bleue sachant que la première balle est rouge est égale à 39, on peut utiliser le fait que la somme des probabilités d’un ensemble de branches doit être égale à 1 pour vérifier notre réponse. Cela donne 23+39=23+13=1, donc notre résultat est correct.

Par conséquent, la probabilité que la deuxième balle soit rouge sachant que la première balle est rouge est égale à 23.

Dans l’exemple suivant, nous allons voir comment tracer un arbre de probabilité pour déterminer la probabilité d’un événement conditionnel.

Exemple 2: Calculer une probabilité conditionnelle sans remise

Un sac contient 22 balles rouges et 15 balles noires. Deux balles sont tirées au hasard sans remise. Calculez la probabilité que la deuxième balle soit noire sachant que la première balle est rouge. Donnez votre réponse sous forme exacte.

Réponse

La question décrit deux événements où des balles sont sélectionnées dans un sac. Il peut donc être utile d’utiliser un arbre de probabilité pour les représenter.

Puisque les deux balles sont sélectionnées soit simultanément soit l’une après l’autre, on peut traiter ces événements comme deux événements consécutifs. Le premier ensemble de branches a ainsi deux issues:balle rouge et balle noire pour représenter la première balle et le deuxième ensemble de branches a les mêmes issues, mais représente la deuxième balle, comme illustré ci-dessous.

Comme la première et la deuxième balles sont sélectionnées en même temps, on peut supposer qu’elles sont sélectionnées sans remise. Cela signifie qu’une fois que la première balle est sélectionnée, elle n’est pas remise dans le sac et cela change le nombre total de balles dans le sac ainsi que le nombre de balles de chaque couleur. Nous devons donc prendre en compte l’issue de la sélection de la première balle lors du calcul de la probabilité de l’issue de la sélection de la deuxième balle.

Commençons par calculer les probabilités des issues de la sélection de la première balle. Puisqu’il y a 22 balles rouges et 15 balles noires, il y a 37 balles au total. Pour la probabilité de sélectionner une balle rouge, on peut utiliser la formule simple:𝑃()==2237.rougenombredeballesrougesnombretotaldeballes

De même, la probabilité de sélectionner une balle noire est 𝑃()==1537.noirenombredeballesnoiresnombretotaldeballes

On peut maintenant ajouter ces informations sur les premières branches de l’arbre de probabilité:

Notez que la somme des probabilités qui sont sur les deux branches est égale à 1. Cela doit être vrai pour chaque ensemble de branches de l’arbre car à chaque étape, toutes les issues possibles sont couvertes par chaque ensemble de branches.

Calculons à présent les probabilités des issues de la sélection de la deuxième balle. Nous devons pour cela prendre en compte la première issue afin d’ajuster le nombre de balles de chaque couleur ainsi que le nombre total de balles.

Si la première balle est rouge, cela signifie qu’il y a une balle rouge en moins dans le sac lorsque la deuxième balle est sélectionnée. Il y a donc maintenant 21 balles rouges mais le nombre de balles noires, 15, reste inchangé. Cela signifie également que le nombre total de balles est maintenant de 21+15=36.

La probabilité que la deuxième balle soit rouge sachant que la première est rouge est le nombre de balles rouges dans le sac (21 maintenant) divisé par le nombre total de balles (36 maintenant):𝑃()=2136.deuxièmerougepremièrerouge

De même, la probabilité que la deuxième balle soit noire sachant que la première est rouge est le nombre de balles noires dans le sac (toujours 15) divisé par le nombre total de balles (36 maintenant):𝑃()=1536.deuxièmenoirepremièrerouge

Par conséquent, la probabilité que la deuxième balle soit noire sachant que la première balle est rouge est de 1536.

Remarque

Nous pouvons confirmer notre réponse en vérifiant que la somme des probabilités des deux branches est égale à 1, comme indiqué sur l’arbre ci-dessous.

Dans l’exemple suivant, nous allons voir comment calculer les probabilités d’événements à partir de leurs probabilités conditionnelles à l’aide d’un arbre de probabilité.

Exemple 3: Probabilités conditionnelles appliquées à la météo à l’aide d’un arbre de probabilité

La probabilité qu’il pleuve un jour donné est de 0,6. S’il pleut, la probabilité qu’un groupe d’amis joue au football est de 0,2. S’il ne pleut pas, la probabilité qu’ils jouent au football devient 0,8.

  1. Calculez la probabilité qu’il pleuve un jour donné et que les amis jouent au football.
  2. Calculez la probabilité qu’il ne pleuve pas un jour donné et que les amis jouent au football.
  3. Quelle est la probabilité que les amis jouent au football un jour donné?

Réponse

Comme il y a peu d’issues:Pluie/Pas de pluie et Football/Pas de football, on peut facilement représenter l’ensemble des issues sur un arbre de probabilité. Les issues liées au football dépendent de la pluie, donc le premier ensemble de branches doit représenter la pluie. On sait que la probabilité qu’il pleuve est de 0,6, donc la probabilité qu’il ne pleuve pas 𝑃pluie est 1𝑃()=10,6=0,4pluie et on peut indiquer ces probabilités sur les branches concernées.

Les deuxièmes ensembles de branches représentent les issues liées au football issues du premier ensemble de branches et, de la même manière que pour Pluie/Pas de pluie, on peut déterminer les probabilités de Football/Pas de football à partir des informations données.

S’il pleut, la probabilité que les amis jouent au football est de 0,2, donc la probabilité qu’ils ne jouent pas au football s’il pleut est de 10,2=0,8. De même, s’il ne pleut pas, la probabilité qu’ils jouent au football est de 0,8, donc la probabilité qu’ils ne jouent pas au football s’il ne pleut pas est de 10,8=0,2. Nous pouvons alors compléter les nouvelles branches et probabilités de l’arbre avec ces informations.

Maintenant que l’arbre de probabilité est complet, nous pouvons calculer les probabilités demandées.

Partie 1

Pour calculer la probabilité qu’il pleuve et que les amis jouent au football, on multiplie les probabilités correspondant à Pluie et Football sur les branches en haut de l’arbre mises en évidence ci-dessous.

La probabilité qu’il pleuve et que les amis jouent au football est par conséquent, 𝑃()=𝑃()×𝑃()=0,6×0,2=0,12.pluiefootballpluiefootballpluie

Partie 2

Pour calculer la probabilité qu’il ne pleuve pas et que les amis jouent au football, on multiplie la probabilité de la branche Pas de pluie par la probabilité de la branche Football issue de Pas de pluie.

La probabilité qu’il ne pleuve pas un jour donné et que les amis jouent au football est donc de 0,32. C’est-à-dire qu’il y a 32% de chances qu’il ne pleuve pas et que les amis jouent au football.

Partie 3

Pour calculer la probabilité que les amis jouent au football un jour donné, nous devons prendre en compte chaque issue conditionnelle où le résultat est « jouer au football ». Cela signifie que nous devons additionner la probabilité qu’il pleuve et qu’ils jouent au football et la probabilité qu’il ne pleuve pas et qu’ils jouent au football.

La probabilité que les amis jouent au football un jour donné est donc 𝑃()=𝑃()+𝑃()=0,12+0,32=0,44.footballpluiefootballpasdepluiefootball

On peut dire qu’il y a 44% de chances que les amis jouent au football un jour donné.

Remarque

La somme des probabilités de toute les issues possibles est égale à 1. Cela doit toujours être le cas.

Dans l’exemple suivant, nous allons étudier les situations dans lesquelles un « faux positif » peut arriver et voir comment utiliser un arbre de probabilité pour calculer la probabilité d’un tel événement.

Exemple 4: Probabilités conditionnelles, arbres de probabilité et faux positifs

Il est peu connu que des substances ont été utilisées par les athlètes pour améliorer leurs performances depuis les premiers Jeux Olympiques (de 776 à 393av. J-C). On pense d’ailleurs que l’origine du mot dopage vient du mot néerlandais doop, qui est un type de jus d’opium consommé dans la Grèce antique.

Le dépistage est aujourd’hui devenu une pratique standard. En 2003, après avoir testé de manière anonyme près de 1 500 joueurs, la MLB (Major League Baseball) a annoncé qu’environ 6% des joueurs de la MLB utilisaient des substances améliorant la performance. Ils ont obtenu ce résultat en tenant compte du fait qu’il y avait 5% de chances que des joueurs n’ayant pas pris de substances dopantes soient testés positifs (effet faux positif) et 10% de chances que des joueurs ayant pris des substances dopantes soient testés négatifs (effet faux négatif).

  1. Calculez la probabilité qu’un joueur de la MLB choisi au hasard n’ait pas pris de substance dopante et ait été testé positif. Arrondissez votre réponse au millième si nécessaire.
  2. Calculez la probabilité qu’un joueur de la MLB choisi au hasard ait pris des substances dopantes et ait été testé positif. Arrondissez votre réponse au millième si nécessaire.
  3. Calculez la probabilité qu’un joueur de MLB choisi au hasard ait été testé positif. Arrondissez votre réponse au millième si nécessaire.

Réponse

La situation que l’on étudie est celle d’un joueur de la MLB choisi au hasard ayant pris des substances dopantes ou non et ayant dans les deux cas subi un dépistage avec un résultat positif ou négatif. La première étape consiste à dessiner un arbre de probabilité en utilisant les informations fournies. Nous pourrons ensuite l’utiliser pour calculer les probabilités demandées.

Les premières branches illustrent les issues « Dopage » et « Pas de dopage », c’est à dire si un joueur de la MLB a pris des substances dopantes ou non. On sait qu’environ 6% des joueurs de la MLB ont pris des substances dopantes, donc la probabilité qu’un joueur de MLB n’ait pas pris de substances dopantes est de 0,94 (comme 6%=0,06 en probabilité et 10,06=0,94).

La prochaine étape consiste à ajouter des branches aux issues Pas de dopage et Dopage pour les résultats du test:Positif ou Négatif.

Sachant que la probabilité d’un faux positif, c’est-à-dire qu’on sait que le joueur n’a pris aucune substance dopante mais que son test est positif, est de 0,05 (5%), la probabilité qu’il ait été testé négatif sans avoir pris de substances dopantes est de 10,05=0,95. Ces deux probabilités (0,05 et 0,95) sont indiquées sur l’arbre ci-dessus sur les branches pertinentes (Positif ou Négatif) issues de la branche Pas de dopage.

De même, si on sait que le joueur a pris des substances dopantes, la probabilité qu’il ait été testé négatif est 0,1 ( soit 10%) et par conséquent, la probabilité qu’il ait été testé positif est de 10,1=0,9. Ces probabilités (0,1 et 0,9) sont indiquées ci-dessus sur les branches pertinentes (Positif ou Négatif) issues de la branche Dopage.

Partie 1

Pour calculer la probabilité qu’un joueur de la MLB n’ait pas pris de substances dopantes et ait été testé positif, on multiplie la probabilité de la branche Pas de dopage avec celle de la branche Positif associée.

Par conséquent, la probabilité qu’un joueur de la MLB choisi au hasard n’ait pas pris de substances dopantes et ait été testé positif est de 0,047 ou 0,047×100%=4,7%.

Partie 2

Pour calculer la probabilité qu’un joueur de la MLB choisi au hasard ait pris des substances dopantes et ait été testé positif, on multiplie les probabilités de Dopage sur le premier ensemble de branches et de Positif sur le deuxième ensemble.

Partie 3

Pour calculer la probabilité qu’un joueur MLB choisi au hasard ait été testé positif, nous devons additionner les probabilités de chaque situation où un joueur MLB a été testé positif. Heureusement, un joueur pouvait être testé positif dans uniquement deux situations et nous avons déjà déterminé les probabilités des deux!Il s’agit de la probabilité qu’un joueur n’ait pas pris de substances dopantes et ait été testé positif ( 𝑃(𝐷𝑃)=0,047 ) et de la probabilité qu’un joueur ait pris des substances dopantes et ait été testé positif ( 𝑃(𝐷𝑃)=0,054 ).

Par conséquent, la probabilité qu’un joueur MLB choisi au hasard ait été testé positif est de 0,047+0,054=0,101. Cela signifie qu’environ 10% des joueurs ont été testés positifs.

Dans l’exemple suivant, nous allons voir comment déterminer un nombre inconnu d’issues à partir d’une probabilité conditionnelle et d’autres informations. Nous allons nous appuyer sur un arbre de probabilité pour cela.

Exemple 5: Calculer un paramètre inconnu à l’aide d’un arbre de probabilité

Un sac contient un nombre inconnu de balles. Il y a 3 balles blanches et quelques balles noires. Deux balles sont sélectionnées sans remise. Si la probabilité de choisir une balle noire sachant que la première balle est blanche est égale à 67, combien de balles noires y a-t-il dans le sac?

Réponse

Comme la question indique qu’il y a deux issues possibles à chaque événement, balle blanche et balle noire, et que deux balles sont sélectionnées sans remise, il peut être utile d’utiliser un arbre de probabilité pour représenter ces informations. Nous allons commencer par dessiner l’arbre avec les différentes issues.

La question indique que la probabilité de choisir une balle noire sachant que la première balle est blanche est 67. Elle est représentée par la branche du choix d’une balle noire issue de la branche du choix d’une balle blanche, comme indiqué ci-dessous.

On sait qu’il y a 3 balles blanches dans le sac au départ mais on ne connaît pas le nombre total de balles ni le nombre de balles noires. Si on définit 𝑛 comme le nombre de balles noires, alors le nombre total de balles est 𝑛+3, puisqu’il est égal au nombre de balles noires, 𝑛, plus le nombre de balles blanches, 3.

On peut alors dire que la probabilité que la première balle soit blanche est égale au nombre de balles blanches, 3, divisé par le nombre total de balles, 𝑛+3. Cela nous donne 𝑃()==3𝑛+3.premièreballeblanchenombredeballesbanchesnombretotaldeballes

On peut ensuite indiquer ces probabilités sur l’arbre:

En utilisant 𝑛 pour le nombre de balles noires dans le sac et 𝑛+3 pour le nombre total de balles, on peut formuler une expression de la probabilité que la deuxième balle soit noire sachant que la première balle est blanche. Lorsque l’on sélectionne la deuxième balle, on sait qu’il ne reste plus que 2 balles blanches dans le sac puisque la première balle sélectionnée est blanche, mais qu’il y a toujours 𝑛 balles noires. Par conséquent, la probabilité que la deuxième balle soit noire sachant que la première balle est blanche est égale au nombre de balles noires 𝑛 divisé par le nombre de balles dans le sac, 𝑛+2, car il n’y a plus que 2 balles blanches dans le sac. Cela nous donne 𝑃()==𝑛𝑛+2.deuxièmenoirepremièreblanchenombredeballesnoiressachantquelapremièreestblanchenombretotaldeballessachantquelapremièreestblanche

Or, on sait déjà que la probabilité que la deuxième balle soit noire sachant que la première balle est blanche est égale à 67, on peut donc poser l’expression ci-dessus égale à cette valeur pour calculer 𝑛. Cela nous donne 𝑛𝑛+2=677𝑛=6(𝑛+2)7𝑛=6𝑛+12𝑛=12.

Par conséquent, il y a 12 balles noires dans le sac.

Dans cette fiche explicative, nous avons vu comment calculer la probabilité d’événements conditionnels à l’aide d’arbres de probabilité. Récapitulons les points clés.

Points Clés

  • Lorsque le nombre d’issues est relativement faible, un arbre de probabilité est un moyen utile d’illustrer un problème de probabilité avec plusieurs événements.
  • Chaque branche de l’arbre représente la probabilité d’une issue et les propriétés suivantes doivent être vraies dans tout arbre:
    • La somme des probabilités de chaque ensemble de branches doit être égale à 1.
    • La somme des probabilités de toutes les issues finales doit aussi être égale à 1.
  • S’il y a deux événements et que chaque événement a deux issues possibles, l’arbre de probabilité ressemble à ceci:

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