Le portail a été désactivé. Veuillez contacter l'administrateur de votre portail.

Vidéo de la leçon : Probabilité conditionnelle : Arbres de probabilité Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à utiliser des arbres de probabilité pour calculer des probabilités conditionnelles.

12:19

Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à utiliser des arbres de probabilité pour calculer des probabilités conditionnelles. Lorsque l’on travaille avec des probabilités conditionnelles, il peut être utile d’utiliser un arbre de probabilité pour illustrer la probabilité des différentes issues. Pour mieux comprendre cela, rappelons tout d’abord la formule de probabilité conditionnelle.

La probabilité qu’un événement 𝐵 se réalise sachant que l’événement 𝐴 s’est réalisé est notée probabilité de 𝐵 sachant 𝐴 et est égale à la probabilité de 𝐴 inter 𝐵 divisée par la probabilité de 𝐴, où la probabilité de l’intersection est la probabilité que 𝐴 et 𝐵 se réalisent tous les deux. En multipliant les deux membres par la probabilité de 𝐴, on trouve que la probabilité de 𝐴 inter 𝐵 est égale à la probabilité de 𝐵 sachant 𝐴 fois la probabilité de 𝐴.

Nous allons maintenant voir comment cela peut être représenté sur un arbre de probabilité. On peut utiliser cette formule pour calculer la probabilité de l’intersection de deux événements. Sur un arbre de probabilité, on peut déterminer cette probabilité en multipliant les probabilités le long des branches successives, la première représentant la probabilité de 𝐴 et la seconde représentant la probabilité de 𝐵 sachant que 𝐴 s’est réalisé. On rappelle que toutes les probabilités sont comprises entre zéro et un, donc la probabilité de 𝐴 est supérieure ou égale à zéro et inférieure ou égale à un, et que la probabilité du contraire de l’événement, noté 𝐴 prime ou 𝐴 barre, est égale à un moins la probabilité de 𝐴 ; on peut alors compléter la moitié supérieure de l’arbre.

En étendant cela à la moitié inférieure et en commençant par la probabilité de 𝐴 prime, l’arbre complet ressemble à ceci. En multipliant les probabilités le long des branches, on peut calculer les probabilités de 𝐴 inter 𝐵, 𝐴 inter B prime, A prime inter 𝐵 et 𝐴 prime inter 𝐵 prime. Voyons maintenant avec un exemple comment utiliser un arbre de probabilité dans un contexte concret.

Un sac contient trois balles bleues et sept balles rouges. David sélectionne deux balles sans remise et dessine l’arbre suivant. Sachant que la première balle est rouge, calculez la valeur de 𝑥, qui représente la probabilité que la deuxième balle soit rouge.

La question indique que les deux balles sont sélectionnées sans remise. Cela signifie que la couleur de la deuxième balle dépend de la couleur de la première balle. Nous devons alors prendre en compte l’issue du premier événement pour calculer la probabilité du deuxième événement. Il s’agit donc d’une probabilité conditionnelle. Nous essayons de calculer la probabilité que la deuxième balle soit rouge sachant que la première balle était rouge.

On sait que le sac contenait initialement trois balles bleues et sept balles rouges. Comme il y a 10 balles au total, la probabilité que la première balle soit bleue est égale à trois sur 10. Et la probabilité que la première balle soit rouge est égale à sept sur 10. L’énoncé indique ensuite que la première balle était rouge. Cela signifie qu’il reste maintenant six balles rouges dans le sac. Et il y a encore trois balles bleues, ce qui nous donne un total de neuf balles. La probabilité que la deuxième balle soit rouge sachant que la première est rouge est donc égale à six sur 9. En annulant le diviseur commun trois, cela se simplifie par deux sur 3. La valeur de 𝑥 sur l’arbre est donc égale à deux sur 3.

Nous pouvons vérifier cette réponse en considérant ces deux branches, car nous savons que la somme de leurs probabilités doit être égale à un. Comme la probabilité que la deuxième balle soit bleue sachant que la première balle est rouge est de un sur 3 et que un sur 3 plus deux sur 3 égale un, nous savons que notre réponse est correcte. La fraction un sur 3 provient du fait que trois des neuf balles restantes sont bleues. Et trois sur 9 égale un sur 3.

Bien que cela ne soit pas demandé dans cette question, remarquez que lorsque la première balle sélectionnée est bleue, il reste sept balles rouges et deux balles bleues dans le sac. Cela signifie que les probabilités que la deuxième balle soit bleue ou que la deuxième balle soit rouge sachant que la première balle est bleue sont respectivement de deux sur 9 et de sept sur 9.

Dans le prochain problème, nous allons dessiner un arbre de probabilité afin de calculer la probabilité d’un événement conditionnel.

Un sac contient 22 balles rouges et 15 balles noires. Deux balles sont tirées au hasard. Calculez la probabilité que la deuxième balle soit noire sachant que la première balle est rouge. Donnez votre réponse au millième près.

Dans ce problème, deux balles sont tirées au hasard dans un sac. Une façon de représenter cette situation est avec un arbre de probabilité. Nous savons que la première balle sélectionnée peut être rouge ou noire. Il en va de même pour la deuxième balle, ce qui nous donne quatre combinaisons possibles : rouge rouge, rouge noire, noire rouge ou noire noire. Comme les deux balles sont tirées en même temps, on peut supposer que le tirage est sans remise. Cela signifie que ces événements sont dépendants et que nous recherchons une probabilité conditionnelle.

La probabilité conditionnelle peut être représentée avec cette notation : la probabilité de 𝐵 sachant 𝐴. Nous devons ici calculer la probabilité que la deuxième balle soit noire sachant que la première balle est rouge. Il s’agit de la probabilité correspondant à la branche en rose. Comme les événements sont dépendants, nous devons d’abord calculer la probabilité que la première balle soit rouge.

Il y a 22 balles rouges et 15 balles noires dans le sac. Cela signifie qu’il y a un total de 37 balles. Et la probabilité que la première balle soit rouge est de 22 sur 37. Bien que cela ne soit pas demandé dans cette question, nous pouvons également ajouter à notre arbre la probabilité que la première balle soit noire. Elle est égale à 15 sur 37. Voyons à présent combien de balles il reste dans le sac si la première balle sélectionnée est rouge. Il y a maintenant 21 balles rouges et il y a toujours 15 balles noires. Cela fait un total de 36 et la probabilité de sélectionner une balle noire est de 15 sur 36. Il s’agit de la probabilité que nous recherchons. La probabilité que la deuxième balle soit noire sachant que la première balle est rouge est donc de 15 sur 36.

Bien qu’on laisse souvent la réponse sous forme exacte, cette question nous demande de donner une réponse arrondie au millième. 15 divisé par 36 ou la fraction simplifiée cinq divisé par 12 est égal à 0,4166 etc. Nous pouvons arrondir ce chiffre au millième près, ce qui nous donne une réponse de 0,417. On peut également compléter le reste de l’arbre. Si la première balle sélectionnée est rouge, la probabilité que la deuxième balle soit également rouge est de 21 sur 36, car il reste 21 balles rouges. Si on suppose maintenant que la première balle est noire, il reste 22 balles rouges et seulement 14 balles noires. Cela signifie que la probabilité que la deuxième balle soit rouge sachant que la première balle est noire est de 22 sur 36. Et la probabilité que la deuxième balle soit noire sachant que la première balle est également noire est de 14 sur 36.

Il peut, à ce stade, être utile de vérifier que les sommes des probabilités de chaque paire de branches sont égales à un. On peut le faire avant ou après avoir simplifié les fractions.

Nous allons maintenant étudier un dernier exemple.

La probabilité qu’il pleuve un jour donné est de 0,6. S’il pleut, la probabilité qu’un groupe d’amis joue au football est de 0,2. S’il ne pleut pas, la probabilité qu’ils jouent au football passe à 0,8. Calculez la probabilité qu’il pleuve et que les amis jouent au football. Calculez la probabilité qu’il ne pleuve pas et que les amis jouent au football. Quelle est la probabilité que les amis jouent au football un jour donné ?

Ce problème comporte trois questions. Ces questions portent toutes sur des probabilités conditionnelles et sur deux événements dépendants : l’événement « il pleut un jour donné » et l’événement « le groupe d’amis joue au football ». Une façon de représenter les informations de ce problème est de construire un arbre de probabilité. Faisons donc un peu de place pour le dessiner.

Soit P l’événement « il pleut un jour donné ». On nous dit que la probabilité qu’il pleuve un jour donné est de 0,6. Nous savons que le contraire de tout événement 𝐴, qui est noté 𝐴 prime ou 𝐴 barre, a une probabilité égale à un moins la probabilité de 𝐴. Cela signifie que la probabilité qu’il ne pleuve pas est égale à un moins 0,6. Cela fait 0,4 et nous pouvons l’ajouter à l’arbre ici.

Si on désigne ensuite par F l’événement « le groupe d’amis joue au football », il y a quatre scénarios possibles : tout d’abord, il pleut et les amis jouent au football, ensuite, il pleut et les amis ne jouent pas au football, puis, il ne pleut pas et les amis jouent au football, et enfin, il ne pleut pas et les amis ne jouent pas au football. On sait que s’il pleut, la probabilité que les amis jouent au football est de 0,2. Il s’agit d’un exemple de probabilité conditionnelle, la probabilité que les amis jouent au football sachant qu’il pleut. Nous pouvons donc ajouter 0,2 à notre arbre.

Encore une fois, comme la somme des probabilités de chaque paire de branches doit être égale à un, la probabilité de son contraire est de 0,8. Donc la probabilité que les amis ne jouent pas au football sachant qu’il pleut est de 0,8. Nous pouvons utiliser la même méthode pour la moitié inférieure de l’arbre. La question indique que s’il ne pleut pas, la probabilité que les amis jouent au football est de 0,8. C’est-à-dire que la probabilité conditionnelle que les amis jouent au football sachant qu’il ne pleut pas est de 0,8.

Revenons maintenant aux trois questions du problème. Nous devons d’abord calculer la probabilité qu’il pleuve et que les amis jouent au football. Comme nous souhaitons que les deux événements se réalisent, il s’agit de l’intersection des deux événements. On rappelle que pour deux événements 𝐴 et 𝐵, la probabilité de 𝐴 inter 𝐵 est égale à la probabilité de 𝐵 sachant 𝐴 fois la probabilité de 𝐴. Dans cette question, la probabilité qu’il pleuve et que les amis jouent au football est égale à la probabilité que les amis jouent au football sachant qu’il pleut multipliée par la probabilité qu’il pleuve. Nous devons donc multiplier les probabilités 0,2 et 0,6. Et cela nous donne 0,12.

Passons maintenant à la deuxième question. On nous demande de calculer la probabilité qu’il ne pleuve pas et que les amis jouent au football. Cela correspond au chemin rose sur notre arbre. La probabilité qu’il ne pleuve pas et que les amis jouent au football est égale à la probabilité qu’ils jouent au football sachant qu’il ne pleut pas multipliée par la probabilité qu’il ne pleuve pas. Nous devons donc multiplier 0,8 et 0,4. Et cela est égal à 0,32. La probabilité qu’il ne pleuve pas et que les amis jouent au football est donc de 0,32.

La dernière question nous demande de calculer la probabilité que les amis jouent au football un jour donné. Cela peut se produire dans deux situations : soit il pleut et ils jouent au football, soit il ne pleut pas et ils jouent au football. Nous devons donc calculer la probabilité de la réunion de ces deux événements. D’après l’arbre de probabilité, cela correspond à la somme de ces probabilités. Nous devons donc additionner 0,12 et 0,32. Ce qui fait 0,44. Nous pouvons par conséquent conclure que la probabilité que les amis jouent au football un jour donné est de 0,44.

Notez ici que la somme des probabilités de toutes les issues possibles doit être égale à un. Dans ce cas, la somme des quatre probabilités 0,12, 0,48, 0,32 et 0,08 est égale à un.

Nous allons maintenant terminer cette vidéo en résumant les points clés. Nous avons vu dans cette vidéo que lorsque le nombre d’issues est relativement faible, l’arbre de probabilité est un moyen utile d’illustrer la probabilité d’événements composés. Nous avons également vu que la somme des probabilités de chaque ensemble de branches doit être égale à un. De même, la somme des probabilités de toutes les issues finales est égale à un. Concernant les probabilités conditionnelles, nous avons vu que la probabilité de 𝐴 inter 𝐵 est égale à la probabilité de 𝐵 sachant 𝐴 fois la probabilité de 𝐴.

Nagwa utilise des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site. En savoir plus sur notre Politique de Confidentialité.