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Etant donnés 𝑧 un est égal à deux cosinus 𝜋 sur six plus 𝑖 sinus 𝜋 sur six et 𝑧 deux est égal à un sur racine de trois multiplié par cosinus 𝜋 sur trois plus 𝑖 sinus 𝜋 sur trois, déterminez 𝑧 un 𝑧 deux.
On nous donne deux nombres complexes représentés sous forme polaire ou forme trigonométrique. Et on nous demande de déterminer leur produit. Pour multiplier deux nombres complexes sous forme polaire, nous devons multiplier leurs modules et ajouter leurs arguments.
Le module de notre premier nombre complexe est deux. Et le module de notre second nombre complexe est un sur racine de trois. Ensuite, l’argument de notre premier nombre complexe est 𝜋 sur six. Et l’argument de notre second nombre complexe est 𝜋 sur trois. Nous avons dit qu’il faut commencer par multiplier les modules de nos deux nombres complexes. Soit deux multiplié par un sur racine de trois, ce qui est égal à deux sur racine de trois.
À ce stade, avant de passer à l’argument du produit, nous allons rendre rationnel le dénominateur de cette fraction. Et nous faisons cela en multipliant à la fois le numérateur et le dénominateur de la fraction par racine de trois. Deux multiplié par racine de trois égale deux racine de trois. Et racine de trois multiplié par racine de trois égale trois. Le module du produit de nos nombres complexes est donc deux racine de trois sur trois.
Nous allons ensuite ajouter leurs arguments. Soit 𝜋 sur six plus 𝜋 sur trois. Cette fois, nous allons les ajouter en créant un dénominateur commun. Ici, cela sera six. Nous multiplions donc le numérateur et le dénominateur de notre seconde fraction par deux. Et nous voyons que cela devient 𝜋 sur six plus deux 𝜋 sur six, ce qui est égal à trois 𝜋 sur six ou simplement un demi de 𝜋, 𝜋 sur deux.
Et nous avons déterminé le produit de nos deux nombres complexes. Il s’agit de deux racine de trois sur trois multiplié par cosinus 𝜋 sur deux plus 𝑖 sinus 𝜋 sur deux.
