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Déterminez la valeur de 𝑛 telle que factorielle 𝑛 soit égale à 720.
Nous rappelons que factorielle 𝑛 est égal à 𝑛 multiplié par 𝑛 moins un multiplié par 𝑛 moins deux et ce jusqu’à un. Nous devons donc multiplier tous les entiers à partir de notre nombre 𝑛 jusqu’à un. Cela signifie que factorielle deux est égal à deux multiplié par un. Ceci est égal à deux. Factorielle de trois est égal à trois multiplié par deux multiplié par un.
Il existe cependant un moyen plus facile de calculer ceci, car nous savons que deux multiplié par un est égal à factorielle deux. Puisque factorielle de deux est égal à deux et que trois multiplié par deux est égal à six, alors factorielle trois est égal à six. Factorielle quatre est égal à quatre multiplié par trois multiplié par deux multiplié par un. Cela donne la même chose que quatre multiplié par factorielle de trois. Factorielle trois était égal à six. Par conséquent, factorielle quatre est égal à quatre multiplié par six, soit 24.
Cela nous amène à une règle générale selon laquelle factorielle 𝑛 est égal à 𝑛 multipliée par factorielle 𝑛 moins un. Factorielle de cinq est donc égal à cinq multiplié par factorielle de quatre. Puisque factorielle quatre était 24, nous devons multiplier cinq par 24. Cela nous donne un résultat de 120. Nous recherchons la factorielle qui nous donne un résultat de 720. Ainsi, notre résultat est encore trop petit.
En utilisant notre règle, nous avons que factorielle six est égal à six multiplié par factorielle cinq et nous devons donc multiplier 120 par six. Puisque six multiplié par 100 est égal à 600 et que six multiplié par 20 est égal à 120, six multiplié par 120 est égal à 720. Puisque factorielle de six est égal à 720, notre valeur de 𝑛 est six.
