Transcription de vidéo
Dans cette vidéo, nous allons apprendre à calculer la factorielle de tout entier positif 𝑛 qui est le produit de tous les nombres entiers inférieurs ou égaux à 𝑛 et supérieurs ou égaux à un. Nous verrons ensuite comment utiliser les factorielles pour résoudre des problèmes. Nous allons commencer par regarder la définition d’une factorielle.
La factorielle d’un entier positif 𝑛 est le produit de tous les entiers positifs inférieurs ou égaux à 𝑛. Nous utilisons l’une ou l’autre des notations présentées, qui sont toutes deux lues comme factorielle de 𝑛. Et cela est égal à 𝑛 multiplié par 𝑛 moins un multiplié par 𝑛 moins deux et ainsi de suite multiplié par deux multiplié par un.
Nous définissons également la factorielle de zéro comme étant égale à un. C’est-à-dire que la factorielle zéro est égale à un. Pour tout entier 𝑛 tel que 𝑛 est supérieur ou égal à un, alors la factorielle de 𝑛 est également égale à 𝑛 multiplié par factorielle de 𝑛 moins un. Nous pouvons le voir dans la définition générale, comme 𝑛 moins un multiplié par 𝑛 moins deux et ainsi de suite multiplié par deux multiplié par un est égal à la factorielle de 𝑛 moins un. C’est cette propriété qui est particulièrement importante lors de la résolution de problèmes compliqués impliquant des factorielles. Cependant, dans notre premier exemple, nous allons nous entraîner à calculer une factorielle.
Déterminez factorielle de quatre.
Nous commençons par rappeler que la factorielle de tout entier positif 𝑛 est le produit de tous les entiers positifs inférieurs ou égaux à 𝑛. Cela signifie que factorielle de 𝑛 est égale à 𝑛 multiplié par 𝑛 moins un multiplié par 𝑛 moins deux et ainsi de suite multiplié par deux multiplié par un. Factorielle de quatre est donc égale à quatre multiplié par trois multiplié par deux multiplié par un.
Comme la multiplication est commutative, nous pouvons multiplier nos entiers dans n’importe quel ordre. Par exemple, quatre multiplié par trois est égal à 12. Deux multiplié par un est égal à deux. Et puis multiplier 12 par deux nous donne une réponse de 24. Alternativement, nous pourrions multiplier quatre par trois, ce qui nous donne 12, puis multiplier ceci par deux, nous donne 24, et enfin multiplier 24 par un nous donne une réponse finale de 24. Cela confirme que factorielle quatre est égal à 24.
Notre prochain exemple est un problème plus compliqué impliquant des factorielles.
Simplifiez l’expression factorielle six sur factorielle quatre moins factorielle 27 sur factorielle 28. Donnez votre réponse sous forme de fraction.
Nous rappelons que puisque factorielle 𝑛 est le produit de tous les entiers positifs inférieurs ou égaux à 𝑛, alors factorielle 𝑛 est égale à 𝑛 multiplié par 𝑛 moins un multiplié par 𝑛 moins deux et ainsi de suite jusqu’à un. Cela nous amène à une propriété clé des factorielles. Factorielle 𝑛 est égale à 𝑛 multipliée par factorielle de 𝑛 moins un. Cela signifie qu’au lieu de calculer chacune des factorielles individuellement, nous pouvons simplifier et rechercher des facteurs communs.
Nous pouvons écrire factorielle six comme six multiplié par cinq multiplié par factorielle quatre. Cela signifie que le premier terme de notre expression peut s’écrire comme six multiplié par cinq multiplié par factorielle quatre divisé par factorielle quatre. Nous pouvons alors simplifier un facteur de factorielle quatre du numérateur et du dénominateur, nous laissant avec six multiplié par cinq.
De la même manière, nous pouvons écrire le dénominateur de notre deuxième terme comme 28 multiplié par factorielle 27. Cette fois, nous pouvons simplifier le facteur de factorielle 27 au numérateur et au dénominateur. Et ce terme se simplifie à un sur 28. Six multiplié par cinq est égal à 30. Nous devons donc soustraire un vingt-huitième de 30. Nous pourrions écrire ceci comme un nombre mixte comme 29 et vingt-sept vingt-huitième. Cependant, comme nous voulons donner notre réponse comme une fraction, nous convertirons le nombre 30 ou 30 sur un en une fraction sur 28.
Pour ce faire, nous allons multiplier 30 par 28. Comme 28 multiplié par trois est 84, 28 multiplié par 30 est 840. Cela signifie que 30 ou 30 sur un est égal à 840 sur 28. Comme nos dénominateurs sont les mêmes, nous soustrayons simplement les numérateurs. Et nous pouvons donc conclure que factorielle six sur factorielle quatre moins factorielle 27 sur factorielle 28 écrit comme une fraction est 839 sur 28.
Dans notre dernier exemple, nous allons utiliser notre connaissance des factorielles pour résoudre une équation algébrique.
Trouvez l’ensemble solution de un sur factorielle de 𝑛 plus sept plus un sur factorielle 𝑛 plus huit est égal à 256 sur factorielle 𝑛 plus neuf.
Pour répondre à cette question, nous commençons par rappeler que pour tout entier 𝑛 supérieur ou égal à un, alors factorielle 𝑛 est égale à 𝑛 multipliée par factorielle 𝑛 moins un. Le fait que 𝑛 doit être supérieur ou égal à un sera important lors de la recherche de l’ensemble solution.
Lorsque vous traitez un problème où la somme de deux fractions est égale à une autre fraction, il est souvent utile d’essayer d’éliminer d’abord les dénominateurs. Dans cette question, nous multiplierons les trois termes par factorielle 𝑛 plus neuf. Cela nous donne factorielle 𝑛 plus neuf sur factorielle 𝑛 plus sept plus factorielle 𝑛 plus neuf sur factorielle 𝑛 plus huit est égal à 256 multiplié par factorielle 𝑛 plus neuf sur factorielle 𝑛 plus neuf factorielle. Sur le membre droit de notre équation, nous pouvons simplifier le facteur commun de factorielle 𝑛 plus neuf, nous laissant avec 256.
En utilisant le fait que factorielle 𝑛 est égale à 𝑛 multipliée par factorielle 𝑛 moins un et qu’elle est également égale à 𝑛 multipliée par 𝑛 moins un multipliée par factorielle 𝑛 moins deux, nous pouvons réécrire le membre gauche de notre équation comme indiqué. En premier lieu, nous pouvons simplifier un facteur de factorielle 𝑛 plus sept. Et en second lieu, nous simplifions un facteur de factorielle 𝑛 plus huit. Nous avons maintenant une équation qui ne contient plus de fractions. 𝑛 plus neuf multiplié par 𝑛 plus huit plus 𝑛 plus neuf est égal à 256.
Nous pouvons simplifier le membre gauche en supprimant un facteur 𝑛 plus neuf ou en utilisant la méthode FOIL pour distribuer nos parenthèses. 𝑛 plus neuf multiplié par 𝑛 plus huit est égal à 𝑛 carré plus huit 𝑛 plus neuf 𝑛 plus 72. Et lorsque nous ajoutons 𝑛 plus neuf, nous obtenons une réponse de 256. Nous pouvons ensuite regrouper ou collecter les termes similaires sur le membre gauche. Cela nous donne 𝑛 au carré plus 18𝑛. Et lorsque nous soustrayons 256 des deux membres, nous avons moins 175. Nous avons maintenant une équation du second degré 𝑛 au carré plus 18𝑛 moins 175 est égal à zéro.
Notre étape suivante consiste à factoriser l’expression du membre gauche en deux ensembles de parenthèses. Puisque le coefficient de 𝑛 au carré est égal à un, nous savons que le premier terme de chacun d’eux sera 𝑛. Et les deuxièmes termes auront une somme de 18 et un produit de moins 175. Un couple de facteurs de 175 est 25 et sept. Cela signifie que multiplier 25 par moins sept nous donne moins 175. Et puisque 25 plus moins sept est 18, nos deux ensembles de parenthèses sont 𝑛 plus 25 et 𝑛 moins sept.
Comme le produit de 𝑛 plus 25 et 𝑛 moins sept est égal à zéro, alors 𝑛 plus 25 est égal à zéro ou 𝑛 moins sept est égal à zéro. Cela nous donne deux solutions possibles 𝑛 est égal à moins 25 et 𝑛 est égal à sept. Comme déjà mentionné, nous savons que 𝑛 doit être supérieur ou égal à un, car les factorielles ne sont définies que pour les entiers positifs. La valeur de 𝑛 qui satisfait l’équation est donc égale à sept. Et l’ensemble solution de l’équation un sur factorielle 𝑛 plus sept plus un sur factorielle 𝑛 plus huit est égal à 256 sur factorielle 𝑛 plus neuf contient le nombre sept.
Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo.
La factorielle d’un entier positif 𝑛 est définie comme le produit de tous les entiers positifs inférieurs ou égaux à 𝑛 telle que la factorielle de 𝑛 est comme indiquée. La propriété clé de la factorielle est que factorielle 𝑛 est égale à 𝑛 multiplié par factorielle 𝑛 moins un. Et nous pouvons l’utiliser pour simplifier les expressions impliquant des factorielles. Bien qu’il n’ait pas été couvert par un exemple spécifique dans cette vidéo, lorsque nous essayons de trouver un entier inconnu étant donné sa factorielle, nous divisons par des entiers positifs consécutifs.
Cela signifie que pour trouver la valeur de 𝑛 telle que factorielle 𝑛 égale 120, nous divisons par les entiers un, deux, trois, etc. 120 divisé par un est 120. En divisant cela par deux, on obtient 60. Diviser 60 par trois nous donne 20. 20 divisé par quatre est égal à cinq. Et enfin, cinq divisé par cinq est égal à un. Nous pouvons donc conclure que 120 est égal à cinq multiplié par quatre multiplié par trois multiplié par deux multiplié par un, ce qui peut être écrit comme factorielle cinq. La valeur de 𝑛 telle que factorielle 𝑛 est 120 est cinq.
