Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à calculer la factorielle de tout nombre , qui est le produit de tous les entiers inférieurs ou égaux à et supérieurs ou égaux à 1 et à déterminer les factorielles pour résoudre des problèmes.
Lorsque l’on cherche le nombre de nombres à 4 chiffres différents que l’on peut former à partir des chiffres 3, 5, 7 et 9, on trouve qu’il y a au total nombres possibles distincts. Plus généralement, si on souhaite savoir de combien de façons on peut ordonner un ensemble de éléments, on constate que le nombre total est . Ce calcul du produit de tous les entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à apparaît suffisamment régulièrement dans divers domaines mathématiques pour que les mathématiciens lui aient donné un nom : la factorielle de .
Définition : Factorielle
La factorielle d’un entier positif est le produit de tous les entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à . On utilise la notation , que l’on lit « factorielle », pour la désigner. Par conséquent,
Par convention, la factorielle de 0 est égale à 1, c’est-à-dire .
D’après la définition, il est aisé de voir que, pour tout entier ,
À bien des égards, il s’agit de la propriété clé des factorielles et nous allons l’appliquer à maintes reprises pour résoudre des problèmes impliquant des factorielles.
Entraînons-nous à calculer une factorielle avec le premier exemple.
Exemple 1: Calculer une factorielle
Calculez
Réponse
On rappelle que la définition de est le produit de tous les entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à , ou de manière équivalente
Par conséquent,
Deux factorielles sont égales à 1, il s’agit de et . Nous allons utiliser cette propriété des factorielles pour résoudre le problème suivant.
Exemple 2: Résoudre un problème impliquant la factorielle de zéro
Déterminez l’ensemble solution pour .
Réponse
Nous pourrions être tentés de dire que si , alors . D’où, . Malheureusement, ce n’est pas la réponse complète. On rappelle en fait que et que 0 n’est pas le seul nombre dont la factorielle est égale à 1. En particulier, la factorielle de 1 est aussi égale à 1 : . Ainsi, pour résoudre , on doit considérer les deux cas : et . Par conséquent, nous concluons que et sont les deux solutions possibles. L’ensemble solution est donc {26 ; 27}.
La plupart des calculatrices scientifiques ont un bouton permettant de calculer la factorielle d’un nombre. Dans des exemples comme le premier que nous avons étudié, il serait tout à fait légitime d’utiliser simplement une calculatrice pour calculer l’expression. Cependant, cela n’est pas toujours possible. Les factorielles augmentent en fait tellement rapidement que la plupart des calculatrices ne peuvent pas calculer des factorielles de nombres supérieurs à 69. Cela ne signifie cependant pas que nous sommes incapables de les utiliser. Au lieu de cela, utiliser les propriétés des factorielles nous permettra de résoudre des problèmes qui impliquent des nombres trop grands pour nos calculatrices.
Dans le prochain exemple, nous allons utiliser les propriétés des factorielles pour calculer une expression.
Exemple 3: Propriétés des factorielles
Sans utiliser de calculatrice, calculez l’expression .
Réponse
En utilisant la propriété des factorielles suivante : on voit que
Par conséquent,
Nous pouvons également appliquer cette propriété lorsque nous travaillons sur des expressions impliquant la factorielle d’un nombre inconnu.
Étudions un exemple de cela.
Exemple 4: Simplifier une expression impliquant des factorielles
Simplifiez .
Réponse
En utilisant la propriété des factorielles suivante :
on peut réécrire
En appliquant à nouveau la même propriété, on peut écrire
En le substituant dans l’expression donnée, on a
En simplifiant par le facteur commun au numérateur et au dénominateur, on obtient
Étudions maintenant un exemple où nous utilisons les propriétés des factorielles pour résoudre une équation impliquant des factorielles.
Exemple 5: Utiliser les propriétés des factorielles pour résoudre un problème
Déterminez la valeur de qui vérifie l’équation .
Réponse
En utilisant la propriété des factorielles suivante : on peut réécrire
En le substituant dans l’équation donnée, on a
En simplifiant par le facteur commun au numérateur et au dénominateur, on peut le réécrire comme
Réarranger cette équation donne alors .
Étudions à présent un autre exemple où nous utilisons les propriétés des factorielles pour résoudre une équation impliquant des factorielles.
Exemple 6: Résoudre une équation factorielle
Déterminez l’ensemble solution de .
Réponse
On commence par multiplier les deux membres de l’équation par ce qui donne
En utilisant la propriété des factorielles suivante : on peut réécrire et En les substituant dans l’équation aux numérateurs, on a
En simplifiant par les facteurs communs aux dénominateurs et numérateurs, on peut la réécrire comme :
En développant les parenthèses, on a
En regroupant les termes semblables, on arrive à l’équation du second degré
En factorisant, ou en appliquant la formule qui permet de calculer les racines du second degré, on peut l’exprimer par
Par conséquent, ou . Comme les factorielles ne sont définies que pour les entiers positifs, on peut ignorer la solution . Par conséquent, l’ensemble solution de l’équation est {7}.
Jusqu’à présent, nous avons pu utiliser les propriétés des factorielles pour simplifier des équations et isoler des inconnues dans des équations du premier ou du second degré. Ces techniques ne peuvent cependant pas nous aider lorsque nous devons déterminer un nombre inconnu connaissant sa factorielle. Pour cela, nous devons utiliser la définition de la factorielle, qui est le produit des entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à ce nombre. Par conséquent, pour un nombre donné, on peut le diviser par des entiers strictement positifs consécutifs jusqu’à ce qu’il reste un entier. L’exemple suivant illustre ce processus.
Exemple 7: Déterminer un nombre inconnu connaissant sa factorielle
Déterminez la valeur de tel que .
Réponse
Puisqu’une factorielle est un produit d’entiers strictement positifs consécutifs, on peut diviser 720 par des entiers strictement positifs consécutifs comme suit. En commençant avec 1, comme on peut réécrire
On divise ensuite 720 par 2, ce qui donne
Donc,
En divisant 360 par 3, on obtient 120. Par conséquent, on peut écrire
De même, en divisant 120 par 4, on obtient 30. Donc,
Enfin, en divisant 30 par 5, on obtient 6, ce qui donne
En utilisant cette méthode, nous avons exprimé 720 comme le produit des 6 premiers entiers consécutifs. Par conséquent, . On peut l’écrire plus simplement comme
Nous concluons donc que .
Nous allons terminer par un dernier exemple où nous pouvons appliquer toutes les techniques que nous avons apprises pour résoudre un problème de factorielles.
Exemple 8: Résoudre un problème avec des factorielles
Déterminez la valeur de tel que .
Réponse
Considérons d’abord la valeur 5 040. Comme nous avons le produit d’une factorielle et d’un entier sur le membre gauche de l’équation, nous souhaiterions exprimer 5 040 comme une factorielle ou comme le produit d’une factorielle et d’un autre entier. Pour cela, on peut le diviser consécutivement par les nombres naturels :
On peut maintenant étudier l’autre membre de l’équation. On rappelle que pour un entier positif
Nous ne disposons pas pour le moment de deux nombres consécutifs et pour appliquer cette formule. Cependant, en multipliant et en divisant par 8, on peut produire deux nombres consécutifs et et appliquer la formule :
Par conséquent,
D’où, .
Terminons par résumer quelques concepts importants.
Points clés
- La factorielle d’un entier positif est définie comme le produit de tous les entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à . On la note .
- La propriété clé de la factorielle est . Grâce à celle-ci, on peut souvent simplifier des expressions impliquant des factorielles et résoudre des équations factorielles.
- Lorsque l’on essaie de déterminer un entier inconnu à partir de sa factorielle, on le divise par des entiers strictement positifs consécutifs.
