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Si le vecteur 𝐀 est égal à moins deux, moins quatre, moins un, le vecteur 𝐁 est égal à moins quatre, un, cinq, et le vecteur 𝐂 est égal à zéro, trois, zéro, alors déterminez le produit vectoriel du vecteur 𝐀 et du vecteur 𝐁 plus 𝐂.
Nous rappelons que lors du calcul du produit vectoriel de deux vecteurs en trois dimensions, notre résultat est un vecteur perpendiculaire aux deux vecteurs originaux. Le produit vectoriel de deux vecteurs 𝐏 et 𝐐 est calculé grâce au déterminant de la matrice de dimension trois fois trois représentée. La ligne du haut de notre matrice contient les vecteurs unitaires 𝐢, 𝐣 et 𝐤. La deuxième ligne contient les composantes de notre premier vecteur, dans ce cas, 𝑃 indice 𝑥, 𝑃 indice 𝑦 et 𝑃 indice 𝑧. La ligne du bas de la matrice contient les composantes du second vecteur.
Dans cette question, nous essayons de calculer le produit vectoriel du vecteur 𝐀 et du vecteur 𝐁 plus 𝐂. Commençons par calculer le vecteur 𝐁 plus 𝐂. Il est égal à moins quatre, un, cinq plus zéro, trois, zéro. Pour additionner deux vecteurs quelconques, nous ajoutons simplement les composantes correspondantes, dans ce cas, moins quatre et zéro, un et trois et cinq et zéro. Le vecteur 𝐁 plus 𝐂 est donc égal à moins quatre, quatre, cinq. Nous pouvons maintenant calculer 𝐀 vectoriel 𝐁 plus 𝐂. Cela est égal au déterminant de la matrice de dimension trois fois trois 𝐢, 𝐣, 𝐤, moins deux, moins quatre, moins un, moins quatre, quatre, cinq.
Ce déterminant contient trois termes. Premièrement, le vecteur unitaire 𝐢 multiplié par le déterminant de la matrice deux fois deux moins quatre, moins un, quatre, cinq. Cela est égal au vecteur unitaire 𝐢 multiplié par moins 20 moins moins quatre, ce qui se simplifie en moins 16𝐢. Le deuxième terme est le vecteur unitaire moins 𝐣 multiplié par le déterminant de la matrice deux fois deux moins deux, moins un, moins quatre, cinq. Cela est égal à moins 𝐣 multiplié par moins 10 moins quatre, ce qui est égal à 14𝐣. Enfin, nous avons le vecteur unitaire 𝐤 multiplié par le déterminant de la matrice deux fois deux moins deux, moins quatre, moins quatre, quatre. Cela est égal à 𝐤 multiplié par moins huit moins 16, soit moins 24𝐤.
Si le vecteur 𝐀 est égal à moins deux, moins quatre, moins un, le vecteur 𝐁 est égal à moins quatre, un, cinq, et le vecteur 𝐂 est égal à zéro, trois, zéro, alors 𝐀 vectoriel 𝐁 plus 𝐂 est égal à moins 16𝐢 plus 14𝐣 moins 24𝐤. Cela peut également être écrit comme un vecteur en fonction de ses composantes moins 16, 14, moins 24.
