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Déterminez d𝑦 sur d𝑥, sachant que 𝑦 est égal à 𝑥 moins 23 sur 𝑥 plus six à la puissance moins cinq.
Voyons cette fonction dont on nous demande de trouver la dérivée. Nous pouvons voir qu’elle comprend un quotient, 𝑥 moins 23 sur 𝑥 plus six. Et puis le quotient entier est élevé à la puissance moins cinq. Nous avons donc une fonction composée, une fonction d’une fonction. Nous allons devoir utiliser différentes règles de dérivation pour résoudre ce problème. Tout d’abord, nous pouvons simplifier notre fonction, 𝑦, un peu si nous le souhaitons.
Nous savons qu’un exposant négatif définit un inverse. Et dans le cas d’une fraction, pour trouver son inverse, nous inversons simplement cette fraction. Nous échangeons le numérateur et le dénominateur. Nous pouvons donc écrire 𝑦 comme 𝑥 plus six sur 𝑥 moins 23 à la puissance cinq. Nous avons changé le signe de la puissance et inversé la fraction. Ce n’est pas absolument nécessaire. Mais beaucoup de gens préfèrent travailler avec des exposants positifs plutôt que négatifs. Maintenant, pensons à répondre à la question. Et ce que nous pouvons faire en premier est de définir 𝑢 comme étant la fonction entière entre parenthèses.
Nous allons donc laisser 𝑢 égal 𝑥 plus six sur 𝑥 moins 23. Ensuite, en utilisant notre nouvelle définition de 𝑦, 𝑦 sera égal à 𝑢 à la puissance cinq. La raison pour laquelle cela est utile est que nous avons maintenant 𝑦 en fonction de 𝑢. Et 𝑢 elle-même est une fonction de 𝑥. Ce qui signifie que nous pourrions appliquer la règle de dérivation en chaîne pour trouver la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥. La règle de dérivation en chaîne nous dit que si 𝑦 est une fonction de 𝑢 et 𝑢 est une fonction de 𝑥, alors d𝑦 sur d𝑥 est égal à d𝑦 sur d𝑢 multiplié par d𝑢 sur d𝑥. Nous pouvons trouver d𝑦 sur d𝑢 en utilisant la règle de dérivation d’une puissance. C’est égal à cinq 𝑢 à la puissance quatre. Mais qu’en est-il de d𝑢 sur d𝑥 ?
Rappelez-vous, 𝑢 est un quotient des fonctions, et ce sont deux fonctions dérivables. Ce qui signifie que nous allons devoir appliquer une deuxième règle de dérivation, la règle de dérivation du quotient. Elle nous indique que pour deux fonctions dérivables 𝑓 et 𝑔, la dérivée de leur quotient, 𝑓 sur 𝑔, est égale à 𝑔 multiplié par 𝑓 prime moins 𝑓 multiplié par 𝑔 prime le tout sur 𝑔 au carré. Pour appliquer cette règle, nous devons donc définir 𝑓 comme fonction du numérateur, 𝑥 plus six, et 𝑔 comme fonction du dénominateur, 𝑥 moins 23. Nous pouvons déterminer chacune de leurs dérivées par rapport à 𝑥 en utilisant la règle de dérivation d’une puissance. Et en fait, c’est très simple. Elles sont chacune égales à un.
La substitution dans la règle de dérivation du quotient donne alors d𝑢 sur d𝑥, ou 𝑓 over 𝑔 prime, est égal à 𝑥 moins 23 multiplié par un, c’est 𝑔 multiplié par 𝑓 prime, moins 𝑥 plus six multiplié par un, c’est 𝑓 multiplié par 𝑔 prime, tous sur 𝑥 moins 23 au carré, c’est 𝑔 au carré. La distribution des parenthèses dans le numérateur donne 𝑥 moins 23 moins 𝑥 moins six sur 𝑥 moins 23 le tout au carré. Et enfin, rassembler les termes similaires donne que d𝑢 sur d𝑥 est égal à moins 29 sur 𝑥 moins 23 au carré.
Donc, après avoir trouvé à la fois d𝑦 sur d𝑢 et d𝑢 sur d𝑥, nous pouvons remplacer par la règle de dérivation en chaîne pour trouver d𝑦 sur d𝑥. Nous avons que d𝑦 sur d𝑥 est égal à moins 29 sur 𝑥 moins 23 au carré multiplié par cinq 𝑢 à la puissance quatre. Maintenant, cette expression pour d𝑦 sur d𝑥 implique actuellement deux variables, 𝑥 et 𝑢. Et nous avons besoin que ce soit en fonction de 𝑥 seulement. La dernière étape consiste donc à inverser la substitution que nous avons faite auparavant. 𝑢 était égal à 𝑥 plus six sur 𝑥 moins 23. Donc, en remplaçant 𝑢 par ce quotient, nous avons maintenant que d𝑦 sur d𝑥 est égal à moins 29 sur 𝑥 moins 23 au carré multiplié par cinq 𝑥 plus six sur 𝑥 moins 23 à la puissance quatre.
Au numérateur, moins 29 multiplié par cinq donne moins 145. Et puis, nous avons 𝑥 plus six à la puissance quatre. Et au dénominateur, nous avons 𝑥 moins 23 au carré multiplié par 𝑥 moins 23 à la puissance quatre. Donc, l’ajout des exposants donne 𝑥 moins 23 à la puissance six. Donc, en appliquant les règles de dérivation en chaîne et celle du quotient, nous avons trouvé d𝑦 sur d𝑥 pour cette fonction. C’est égal à moins 145 𝑥 plus six à la puissance quatre sur 𝑥 moins 23 à la puissance six.
