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Sur la figure, 𝚨𝚩 est une barre fixée à un mur vertical à l’extrémité 𝐴. L’autre extrémité 𝐵 est connectée à un câble 𝚩𝐂, où 𝐶 est fixé à un point différent du même mur vertical. Si la tension dans le câble est égale à 65 newtons, calculez le moment de la tension autour du point 𝐴 en newton mètres.
Nous avons reçu un schéma du système sur un ensemble d’axes 3D. L’axe des 𝑥 pointe vers l’extérieur de l’écran, l’axe des 𝑦 pointe vers la droite et l’axe des 𝑧 pointe vers le haut. Ici, nous pouvons voir la barre avec une extrémité attachée au mur comme décrite dans l’énoncé de la question. Et nous pouvons voir que ce câble relie également l’autre extrémité de la barre au mur. Ainsi, le schéma nous montre ce qui rassemble deux morceaux de mur flottant dans l’espace. Mais la question indique clairement que le câble et la barre sont connectés au même mur vertical. Ainsi, les deux murs illustrés dans le schéma sont en fait des parties du même mur.
Il y a trois points spécifiques qui sont étiquetés dans le schéma et également mentionnés dans la question : 𝐴, 𝐵 et 𝐶. 𝐴 est le point où une extrémité de la barre est connectée au mur, et c’est aussi l’origine du repère 3D. 𝐵 est l’endroit où l’autre extrémité de la barre est reliée au câble et 𝐶 est l’endroit où l’autre extrémité du câble est reliée au mur.
La question nous demande de calculer le moment de la force de tension autour du point 𝐴 en newton-mètres. En d’autres termes, nous voulons calculer le moment autour du point 𝐴, qui est produit par la tension dans le câble. Et pour ce faire, nous devons utiliser cette équation. Cette équation nous dit que le vecteur moment 𝐌 est égal au produit vectoriel d’un vecteur déplacement 𝐑 et d’un vecteur force 𝐅. Plus précisément, 𝐅 n’est que le vecteur de force qui produit le moment. Donc, dans cette question, c’est le vecteur de force agissant en 𝐵 en raison de la tension dans le câble. Et que 𝐑 est le vecteur de déplacement du point auquel la force agit par rapport au point sur lequel nous voulons calculer le moment.
Donc, dans cette question, parce que la force agit au point 𝐵 et que nous voulons calculer le moment autour du point 𝐴, le vecteur 𝐑 est le vecteur de déplacement qui lie 𝐴 à 𝐵. En d’autres termes, c’est le vecteur 𝚨𝚩. Dans cette question, on ne nous a pas donné les composantes de 𝐑 ou 𝐅. Donc, pour calculer leur produit vectoriel, nous devons déterminer leurs composants à partir des informations données dans la question. Commençons par trouver les composantes du vecteur 𝐑.
Nous avons déjà remarqué que 𝐑 n’est que le vecteur 𝚨𝚩, où 𝐴 est situé à l’origine et 𝐵 est situé à 12 mètres dans le sens 𝑦 positif. Ainsi, le vecteur 𝚨𝚩 a une norme de 12 mètres et pointe dans la le sens 𝑦 positif. De manière équivalente, on peut dire que les composantes de ce vecteur dans les directions 𝑥 et 𝑧 sont nulles et la composante dans la direction 𝑦 est égale à 12. Écrit comme un vecteur en mètres, cela nous donne zéro 𝐢 plus 12𝐣 plus zéro 𝐤, ou tout simplement, 12𝐣.
D’accord, ensuite nous avons besoin de trouver les composantes du vecteur de force 𝐅. De cette manière, nous pourrons calculer le produit vectoriel de 𝐑 et 𝐅, ce qui nous donnera le vecteur de moment 𝐌. Malheureusement, trouver le vecteur 𝐅 sera un peu plus compliqué que de trouver 𝐑. Alors, 𝐅 décrit le vecteur de force qui agit en 𝐵 en raison de la tension dans le câble. Cela signifie que nous savons deux choses sur le vecteur 𝐅.
Tout d’abord, la norme de 𝐅 est de 65 newtons, vu que l’on nous dit qu’il y a 65 newtons de tension dans le câble. Et deuxièmement, comme le câble lie 𝐵 à 𝐶, nous savons que la force agissant en 𝐵 doit suivre le vecteur 𝚩𝐂. En d’autres termes, le vecteur 𝐅 est parallèle et de même sens à 𝚩𝐂. Il est utile de nous rappeler à ce stade que même si 𝐅 agit dans le sens de 𝚩𝐂, ce n’est pas égal à 𝚩𝐂. 𝐅 est un vecteur de force et 𝚩𝐂 est un vecteur de déplacement. Ainsi, la norme de 𝐅 n’a rien à voir avec la norme de 𝚩𝐂.
Nous pouvons rendre cela un peu plus clair dans notre schéma en traçant le vecteur 𝐅 d’une couleur différente de cela du câble. Eh bien, ces faits déterminent 𝐅 complètement. C’est-à-dire, nous avons son intensité, sa direction et son sens. Cependant, nous devons calculer les composantes de 𝐅 dans les directions 𝑥, 𝑦 et 𝑧 pour que l’on puisse calculer 𝐌. Pour trouver ces composantes, nous devons d’abord mieux décrire la direction et le sens dans laquelle 𝐅 pointe. Nous avons dit qu’elle est parallèle à 𝚩𝐂, mais quelles sont les composantes de 𝚩𝐂 ? Nous pouvons les déterminer en regardant les longueurs dans le schéma.
Pour aller du point 𝐵 au point 𝐶, il faut parcourir 12 mètres dans le sens négatif 𝑦, trois mètres dans le sens positif 𝑧, puis quatre mètres dans le sens négatif 𝑥. Donc, exprimé en mètres, le vecteur 𝚩𝐂 a une composante 𝑥 de moins quatre 𝐢, une composante 𝑦 de moins 12𝐣 et une composante 𝑧 de trois 𝐤. Alors, 𝐅 est parallèle à ce vecteur, et en plus on sait que la force a une intensité de 65 newtons.
À ce stade, il est utile de nous rappeler que si 𝐅 est parallèle à 𝚩𝐂, cela signifie que nous pouvons obtenir 𝐅 en mettant 𝚩𝐂 à l’échelle, soit en l’étirant soit en le comprimant. En d’autres termes, puisque les deux vecteurs pointent dans la même direction et le même sens, alors si nous étendons le vecteur 𝚩𝐂, en d’autres mots, si nous faisons un échelonnement par la bonne quantité, alors il sera égal à 𝐅. Mathématiquement, nous le faisons en multipliant le vecteur 𝚩𝐂 par une constante scalaire 𝐤, c’est-à-dire un nombre. Ainsi, nous pouvons obtenir 𝐅 en multipliant le vecteur 𝚩𝐂 par un nombre de sorte que son intensité devienne 65. Mais quel est ce nombre ? Quelle est la constante scalaire que nous devons multiplier 𝚩𝐂 pour obtenir 𝐅 ?
Une façon de résoudre ce problème consiste à trouver le vecteur unitaire qui pointe dans la direction et le sens de 𝚩𝐂. Dans ce cas, appelons ce vecteur unitaire 𝐮 écrit avec un chapeau pour montrer qu’il s’agit d’un vecteur unitaire. Rappelez-vous qu’un vecteur unitaire a l’intensité de un. Si nous pouvons trouver ce vecteur unitaire, le multiplier par 65 nous indiquera le vecteur qui pointe dans la même direction, le même sens et a une intensité de 65. En d’autres termes, il nous retournera 𝐅. Heureusement, pour trouver le vecteur unitaire qui pointe dans la direction et le sens d’un vecteur, c’est relativement simple. Cela se fait en divisant simplement ce vecteur par sa propre intensité. Cela signifie que 𝐮, le vecteur unitaire qui pointe dans la direction et le sens de 𝚩𝐂, est donné en divisant le vecteur 𝚩𝐂 par la norme de 𝚩𝐂.
Nous pouvons calculer la norme de 𝚩𝐂 en utilisant la forme tridimensionnelle du théorème de Pythagore. Elle est donnée par la racine carrée de la composante 𝑥 au carré plus la composante 𝑦 au carré plus la composante 𝑧 au carré. En simplifiant le dénominateur de cette expression, moins quatre au carré est 16, moins 12 au carré est 144 et trois au carré est neuf. 16 plus 144 plus neuf est 169, et la racine carrée de 169 est 13.
Donc, nous avons montré que parce que 𝚩𝐂 a une intensité de 13, le diviser par 13 nous donne le vecteur unitaire qui pointe dans la direction et le sens de 𝚩𝐂. Puisque nous avons montré que 𝐅 est égal à 65 fois ce vecteur unitaire 𝐮, cela signifie que 𝐅 est égal à 65 fois 𝚩𝐂 sur 13, que nous pouvons écrire de manière équivalente à 65 sur 13 fois 𝚩𝐂. En d’autres termes, la mise à l’échelle de 𝚩𝐂 par un facteur de 65 sur 13 nous donne 𝐅.
Notez que nous modifions les unités des mètres en newtons. Lorsque nous multiplions le vecteur 𝚩𝐂 par un facteur de 65 sur 13, nous multiplions effectivement chacune des composantes de 𝚩𝐂 par 65 sur 13. Cela nous donne une composante 𝑥 de moins quatre 𝐢 fois 65 sur 13, une composante 𝑦 de moins 12𝐣 fois 65 sur 13, et une composante 𝑧 de trois 𝐤 fois 65 sur 13. Alors 65 sur 13 simplifie à seulement cinq. Donc, nous multiplions vraiment chacune de ces composantes par cinq.
Nous pouvons simplifier cela un terme à la fois. Moins quatre fois 65 sur 13 ou moins quatre fois cinq est moins 20, ce qui nous laisse avec une composante 𝑥 de moins 20𝐢. En regardant le prochain terme, nous avons moins 12𝐣 fois 65 sur 13. Cela équivaut à moins 12𝐣 fois cinq, ce qui est moins 60𝐣. Et enfin, trois 𝐤 fois 65 sur 13 est trois 𝐤 fois cinq, ce qui équivaut à 15𝐤. Donc, nous l’avons ici. Nous savions que 𝐅 avait une valeur de 65 newtons et pointait dans les mêmes direction et sens que 𝚩𝐂. Ainsi, nous avons trouvé 𝐅 en calculant le vecteur unitaire dans la direction et le sens de 𝚩𝐂 puis en le multipliant par 65.
Lorsque nous avons trouvé les composantes du vecteur de déplacement 𝐑 et du vecteur de force 𝐅, nous pouvons calculer le vecteur de moment, produit par 𝐅, en calculant le produit vectoriel de 𝐑 et 𝐅. Pour ce faire, nous calculons ce déterminant trois-trois où les éléments de la rangée supérieure sont les vecteurs unitaires 𝐢, 𝐣 et 𝐤. Les éléments de la rangée du milieu sont les composantes 𝑥, 𝑦 et 𝑧 du vecteur de déplacement 𝐑, écrites sans leurs vecteurs unitaires. Et les éléments de la rangée du bas sont les composantes 𝑥, 𝑦 et 𝑧 du vecteur force 𝐅, également écrites sans leurs vecteurs unitaires.
𝐑 a une composante 𝑥 de zéro, une composante 𝑦 de 12 et une composante 𝑧 de zéro. Et 𝐅 a une composante 𝑥 de moins 20, une composante 𝑦 de moins 60 et une composante 𝑧 de 15. Ce déterminant est ensuite calculé efficacement en trois parties. Premièrement, nous avons le vecteur unitaire 𝐢 multiplié par 12 fois 15 moins zéro fois moins 60. Ensuite, nous soustrayons le vecteur unitaire 𝐣 multiplié par zéro fois 15 moins zéro fois moins 20. Et enfin, nous ajoutons le vecteur unitaire 𝐤 multiplié par zéro fois moins 60 moins 12 fois moins 20.
D’accord, ensuite nous devons simplement simplifier chaque terme. En regardant le terme 𝐢, nous avons 12 fois 15, soit 180. Et nous soustrayons zéro fois moins 60, ce qui est bien sûr zéro. Ainsi, le terme 𝐢 se simplifie à 180𝐢. En regardant le terme 𝐣, nous avons zéro fois 15, qui est zéro. Et nous soustrayons zéro fois moins 20, ce qui est aussi zéro. Cela signifie que ce terme se simplifie en moins 𝐣 fois zéro, ce qui est bien sûr égal à zéro. Donc, nous n’avons pas besoin d’écrire ce terme. Enfin, en regardant le terme 𝐤 , nous avons zéro fois moins 60, ce qui est zéro. Et puis, nous soustrayons 12 fois moins 20. 12 fois moins 20 est moins 240. Donc, nous avons zéro moins moins 240, qui est juste 240. Donc, ce terme se simplifie à 240𝐤.
Une fois que nous avons trouvé le produit vectoriel de 𝐑 et 𝐅, cela signifie que c’est égal au vecteur moment 𝐌. Nous pouvons également noter que parce que nous avons exprimé le vecteur de déplacement 𝐑 en mètres et le vecteur de force 𝐅 en newtons, le vecteur moment est exprimé en newtons fois mètres comme spécifié dans la question. Donc, voici notre réponse finale. Le moment autour du point 𝐴 qui est produit par la tension indiquée sur le schéma exprimé en newton mètres est 180𝐢 plus 240𝐤.
