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Quelle expression nous permet de calculer le nombre de façons de former un groupe de 10 personnes à partir de 10 garçons et 12 filles, sachant que le groupe contient au moins huit filles ? Est-ce (A) huit parmi 12 fois deux parmi 10 plus neuf parmi 12 fois un parmi 10 plus 10 parmi 12 ? Proposition (B) huit parmi 12 fois deux parmi 10 plus neuf parmi 12 fois un parmi 10. Proposition (C) huit parmi 12 fois un parmi 10 plus neuf parmi 12 fois zéro parmi 10. Proposition (D) huit parmi 12 fois deux parmi 10 fois neuf parmi 12 fois un parmi 10 fois 10 parmi 12. Ou proposition (E) huit parmi 12 plus deux parmi 10 fois neuf parmi 12 plus un parmi 10 fois 10 parmi 12.
Dans cette question, on essaye de former un groupe de 10 personnes à partir de 10 garçons et de 12 filles, avec au moins huit filles dans le groupe. Donc on pourrait sélectionner huit filles et deux garçons. Mais on pourrait aussi sélectionner neuf filles et un garçon. Et une dernière option serait de sélectionner 10 filles et aucun garçon.
Dans cette question, l’ordre dans lequel on sélectionne les garçons et les filles n’a pas d’importance. On rappelle que dans le cas où l’ordre n’a pas d’importance, le nombre de façons de choisir 𝑟 éléments parmi 𝑛 éléments est 𝑟 parmi 𝑛. Donc, le nombre de façons de choisir huit filles parmi le total de 12 filles s’écrit huit parmi 12. Et comme il y a 10 garçons au total, choisir deux s’écrit deux parmi 10. On peut procéder de la même façon pour les deux autres cas, à savoir choisir neuf filles et un garçon et choisir 10 filles et zéro garçon.
Dans cette question, on veut sélectionner huit filles et deux garçons et pour cela, on peut utiliser le principe fondamental du dénombrement. D’après ce principe, le nombre total d’issues possibles est égal au produit du nombre d’issues possibles pour chaque événement. Par conséquent, sélectionner huit filles et deux garçons est égal à huit parmi 12 fois deux parmi 10. De même, sélectionner neuf filles et un garçon est égal à neuf parmi 12 fois un parmi 10. Et enfin, sélectionner 10 filles et zéro garçon est égal à 10 parmi 12 fois zéro parmi 10. À ce stade, on rappelle que zéro parmi 𝑛 et 𝑛 parmi 𝑛 sont égaux à un. Donc, sélectionner 10 filles et zéro garçon est simplement égal à 10 parmi 12.
L’un de ces trois cas se réalise forcément. Et on sait que ces événements sont incompatibles. On rappelle que si 𝐴 et 𝐵 sont deux événements incompatibles, où 𝐴 a 𝑚 issues distinctes et 𝐵 a 𝑛 issues distinctes, alors le nombre total d’issues est 𝑚 plus 𝑛. C’est le principe additif du dénombrement. On doit additionner huit parmi 12 fois deux parmi 10, neuf parmi 12 fois un parmi 10, et 10 parmi 12. Cela correspond donc à la proposition (A). Le nombre de façons de former un groupe de 10 personnes à partir de 10 garçons et 12 filles sachant que le groupe doit comprendre au moins huit filles est huit parmi 12 fois deux parmi 10 plus neuf parmi 12 fois un parmi 10 plus 10 parmi 12.
