Vidéo de la leçon: Principes fondamentaux du dénombrement : le principe additif Mathématiques

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment déterminer le nombre de toutes les issues possibles de 2 ou plusieurs évènements combinés en utilisant le principe additif du dénombrement.

Imaginons qu’il y a deux restaurants dans le quartier, Pizza Boutique et Soupe Cuisine, des noms complètements très originaux, bien sûr! Pizza Boutique propose 10 pizzas à sa carte, tandis que Soupe Cuisine propose sept soupes. Nous souhaitons alors déterminer le nombre de repas possibles si nous choisissons d’acheter notre déjeuner dans un de ces deux restaurants. Pour cela, on additionne simplement le nombre de plats à la carte des deux restaurants. Cela fait 10 plus sept, soit 17 options différentes pour le déjeuner.

Bien sûr, cette réponse n’est valable que parce qu’il n’y a aucun plat en commun entre les deux restaurants. Si Soupe Cuisine décidait par exemple de proposer des pizzas au pepperoni, nous devrions revoir nos calculs.

Généralisons maintenant cet exemple. On rappelle que deux événements sont dits incompatibles s’il n’existe aucune issue commune entre les deux événements. Pour l’exemple précédent, ces événements seraient « acheter un repas à Pizza Boutique» et « acheter un repas de la Soupe Cuisine». Si Soupe Cuisine, comme nous l’avons évoqué, décidait de proposer des pizzas au pepperoni, ces deux événements ne seraient pas incompatibles. Mais comme les événements n’ont aucune issue en commun, ils sont incompatibles.

Par conséquent, si deux événements 𝐴 et 𝐵 sont incompatibles tels que l’événement 𝐴 a m issues distinctes et l’événement 𝐵 a 𝑛 issues distinctes, alors le nombre total d’issues de leur réunion est égal à m plus 𝑛.

Nous souhaitons maintenant appliquer ce principe avec les formules connues des combinaisons et des arrangements. Une combinaison correspond à la sélection d’objets dans un grand groupe lorsque l’ordre n’a pas d’importance. Supposons par exemple que nous avons trois objets 𝐴, 𝐵 et 𝐶. Choisir 𝐴 puis 𝐵 serait équivalent à choisir 𝐵 puis 𝐴. Et pour trouver le nombre de façons de choisir 𝑟 éléments parmi 𝑛 lorsque l’ordre n’a pas d’importance, on calcule 𝑛C𝑟. Lorsque l’ordre est important, il s’agit d’un arrangement. Et dans ce cas, le nombre de façons de classer 𝑟 éléments parmi 𝑛 est égal à 𝑛 A 𝑟 .

Avec ces rappels à l’esprit, appliquons la formule d’une combinaison et le principe additif dans un même exemple.

Il y a 10 garçons et six filles dans une classe. Quelle est l’expression permettant de calculer le nombre de façons de former un groupe composé de trois garçons ou de deux filles ? Est-ce (A) 10 𝐶 3 fois 6 𝐶 2? (B) 10 𝐶 3 plus 6 𝐶 2? (C) 10 A 3 fois 6 A 2, (D) 10 A 3 plus 6 A 2, ou (E) 10 𝐶 3 moins 6 𝐶 2?

Nous formons un groupe composé de trois garçons ou de deux filles. Donc il y a en fait deux événements. Le premier événement, appelons-le 𝐴, consiste à choisir trois garçons parmi un total de 10. Le deuxième événement, appelons-le 𝐵, consiste à choisir deux filles parmi un total de six. Il n’y a pas d’issue commune entre les deux événements. Ils doivent donc être incompatibles. Cela nous indique que nous allons pouvoir appliquer le principe additif pour résoudre ce problème.

Il stipule que si deux événements 𝐴 et 𝐵 sont incompatibles tels que 𝐴 a m issues distinctes et 𝐵 a 𝑛 issues distinctes, le nombre total d’issues de la réunion des deux événements est égal à 𝑚 plus 𝑛. On additionne simplement les nombres des issues des deux événements. Notre tâche consiste donc maintenant à calculer le nombre d’issues de chaque événement.

On choisit trois garçons parmi un total de 10. Et il n’y a aucune indication ici concernant l’ordre dans lequel on les choisit. Si on suppose que l’on a choisi le garçon un, le garçon deux et le garçon trois. Changer l’ordre dans lequel on choisit les deux premiers garçons, c’est-à-dire choisir le garçon deux puis le garçon un, et enfin le garçon trois, ne change rien. On retrouve toujours les trois mêmes garçons. Il s’agit donc d’une combinaison. Le nombre de façons de choisir 𝑟 éléments parmi 𝑛 lorsque l’ordre n’a pas d’importance, c’est-à-dire le nombre de combinaisons, est égal 𝑛C𝑟.

Peut-être que la notation que nous utilisons ici n’est pas celle à laquelle vous êtes habitué. Selon l’endroit où vous étudiez dans le monde, le 𝑛 et le 𝑟 peuvent être sous forme d’indices, de vecteur colonne ou même de couple. Nous calculons donc le nombre de façons de choisir trois garçons parmi un total de 10. Ce qui est égal à trois parmi 10. De même, l’ordre dans lequel on choisit les filles n’a pas d’importance. Et on en choisit deux parmi un total de six. Soit deux parmi six.

Comme les événements sont incompatibles, on additionne ces deux valeurs pour trouver le nombre total d’issues possibles. Par conséquent, le nombre de façons de former un groupe composé de trois garçons ou de deux filles est de trois parmi 10 plus deux parmi six, ce qui correspond à la réponse (B).

Nous avons ainsi montré comment appliquer le principe additif pour deux événements incompatibles. Voyons maintenant comment nous pouvons généraliser cela pour l’appliquer à plus de deux événements.

Revenons à notre problème où nous essayions de décider quel déjeuner acheter. Imaginez maintenant qu’un troisième restaurant ouvre, La Sandwicherie. Et ce restaurant propose cinq types de sandwiches différents. Les trois événements, qui sont « choisir une pizza », « choisir une soupe » et « choisir un sandwich », sont toujours incompatibles. Il n’y a pas d’éléments communs entre leurs menus. Le nombre total d’options est donc maintenant égal à la somme de 10, sept et cinq. Il y a ainsi 22 options différentes pour le déjeuner.

Et nous pouvons donc étendre notre principe additif à des événements incompatibles deux à deux. Le nombre d’issues distinctes de la réunion d’événements incompatibles deux à deux est égal à la somme des nombres d’issues distinctes de chaque événement. Voyons une application de cela avec le prochain exemple.

Quelle est l’expression permettant de calculer de combien de façons on peut sélectionner quatre balles de la même couleur parmi 10 balles bleues, six balles vertes et sept balles rouges ? Supposez qu’aucune des balles n’est identique. Est-ce (A) 4 parmi 10 fois 4 parmi 6 fois 4 parmi 7, (B) 10 A 4 fois 6 A 4 fois 7 A 4? (C) 10 A 4 plus 6 A 4 plus 7 A 4, (D) 10 𝐶 4 plus 6 𝐶 4 plus 7 𝐶 4, ou (E) 10 𝐶 4 fois 6 𝐶 4 plus 7 𝐶 4?

On sélectionne quatre balles de même couleur parmi 10 bleues, six vertes et sept rouges. L’information clé de cette question qui nous aidera à y répondre est qu’aucune des balles n’est identique. Lorsque l’on choisit quatre balles, on choisit donc quatre bleues, quatre vertes ou quatre rouges. Comme il n’y a aucune issue commune entre les événements consistant à choisir quatre balles bleues, quatre balles vertes et quatre balles rouges, les trois événements sont incompatibles deux à deux.

Le principe additif stipule alors que le nombre d’issues distinctes de cette réunion d’événements incompatibles deux à deux est égal à la somme des nombres d’issues distinctes de chaque événement. Nous devons donc déterminer le nombre de façons de choisir quatre balles bleues parmi un total de 10, quatre balles vertes parmi un total de six et quatre balles rouges parmi un total de sept. Puis additionner ces valeurs.

Maintenant, puisque l’ordre dans lequel ces balles sont choisies n’a pas d’importance - choisir, par exemple, quatre balles bleues donnera la même issue, quel que soit l’ordre dans lequel elles sont choisies – on sait que nous devons compter des combinaisons. Et le nombre de façons de choisir 𝑟 éléments parmi un total de 𝑛 éléments distincts lorsque l’ordre n’a pas d’importance est la combinaison 𝑟 parmi 𝑛. Donc, le nombre de façons de choisir les quatre balles bleues parmi un total de 10 est quatre parmi 10. Le nombre de façons de choisir quatre balles vertes parmi un total de six est quatre parmi 6. Et le nombre de façons de choisir quatre balles rouges parmi un total de sept est quatre parmi 7.

Le principe additif stipule alors que le nombre total d’issues est égal à la somme de ces valeurs. Par conséquent, l’expression permettant de le calculer est 4 parmi 10 plus 4 parmi 6 plus quatre parmi 7. Et il s’agit de la réponse (D).

Une propriété puissante du principe additif est qu’il peut être utilisé en association avec le principe fondamental du dénombrement. Que l’on l’appelle également principe multiplicatif. Alors que le principe additif, comme nous l’avons vu, nécessite que les événements soient incompatibles, le principe fondamental du dénombrement nécessite quant à lui que les événements soient indépendants. C’est-à-dire que l’issue d’un événement n’affecte pas le nombre d’issues possibles de l’autre événement.

Le principe fondamental du dénombrement stipule alors que pour deux événements indépendants 𝐴 et 𝐵 tels que l’événement 𝐴 a 𝑚 issues possibles et l’événements 𝐵 a 𝑛 issues possibles, le nombre total d’issues possibles distinctes de ces deux événements combinés est égal à 𝑚 fois 𝑛. Voyons avec un exemple comment utiliser le principe fondamental du dénombrement avec le principe additif.

Une tasse contient 10 billes bleues, six billes vertes et sept billes rouges. Aucune des billes de la tasse n’est identique. De combien de façons peut-on choisir quatre billes dans la tasse de telle sorte qu’exactement trois d’entre elles soient de la même couleur ?

Commençons par identifier les différents événements qui produisent une issue de quatre billes où exactement trois sont de la même couleur. On peut sélectionner quatre billes de telle sorte qu’exactement trois d’entre elles soient bleues. On peut en sélectionner quatre où exactement trois d’entre elles sont vertes, ou quatre où exactement trois d’entre elles sont rouges. On remarque alors que ces trois événements n’ont aucune issue en commun. On peut donc dire que ces événements sont incompatibles.

Et cela nous permet d’utiliser le principe additif. Il stipule que le nombre d’issues distinctes de la réunion d’événements incompatibles deux à deux est égal à la somme des nombres d’issues distinctes de chaque événement. Nous devons donc calculer le nombre d’issues de chaque événement. Commençons par le premier, choisir trois billes bleues. Cette situation revient à choisir trois billes bleues et une autre qui n’est pas bleue. Et cela représente en fait deux événements indépendants : l’issue de l’un n’affecte pas le nombre d’issues possibles de l’autre. On peut donc utiliser le principe fondamental du dénombrement. Il nous indique que le nombre d’issues des deux événements combinés est égal au produit des nombres d’issues de chaque événement.

Il y a 10 billes bleues, et il y a six plus sept billes qui ne sont pas bleues. Ce qui fait 13. Cela signifie qu’il y a 13 façons de choisir une bille qui n’est pas bleue. Le calcul est légèrement plus complexe pour choisir trois billes bleues parmi un total de 10. L’ordre dans lequel on choisit ces billes n’a pas d’importance. Il y a trois parmi 10 façons de choisir trois billes bleues parmi un total de 10. Le principe fondamental du dénombrement nous indique alors que le nombre de façons de sélectionner quatre billes de sorte qu’exactement trois d’entre elles soient bleues est égal à 13 fois trois parmi 10.

Passons à présent aux billes vertes. Il y a six billes vertes au total, donc 17 qui ne sont pas vertes. Il y a ainsi trois parmi 6 façons de choisir trois billes vertes parmi un total de six. Donc d’après le principe fondamental du dénombrement, le nombre de façons de sélectionner quatre billes de telle sorte qu’exactement trois d’entre elles soient vertes est égal à 17 fois trois parmi six.

Enfin, nous terminons avec les billes rouges. Sept billes sont rouges et 16 ne le sont pas. Cela signifie qu’il y a trois parmi 7 façons de choisir ces trois billes rouges parmi un total de sept. Et il y a 16 façons de choisir une bille qui n’est pas rouge. Donc le principe fondamental du dénombrement nous dit que le nombre de façons de sélectionner quatre billes de telle sorte qu’exactement trois soient rouges est égal à 16 fois trois parmi 7.

On applique enfin le principe additif. Par conséquent, le nombre de façons différentes dont on peut choir quatre billes dans la tasse tel qu’exactement trois d’entre elles soient de la même couleur est la somme de ces valeurs. Il est égal à 13 fois trois parmi 10 plus 17 fois trois parmi 6 plus 16 fois trois parmi 7. Et c’est la réponse (C).

Étudions un dernier exemple, mais sans combinaisons cette fois.

Déterminez la formule permettant de calculer le nombre de façons de garer deux voitures et au moins deux camions sur cinq places de parking consécutives. Est-ce (A) A 5 2 fois 3 A 3 plus 5 A 2 fois 3 A 2, (B) 2 parmi 5 fois 3 parmi 3 plus 2 parmi 5 fois 2 parmi 3 ? (C) 5 A 2 plus 3 A 3 plus 5 A 2 plus 3 A 2 ? (D) 2 parmi 5 plus 3 A 3 plus 5 A 2 plus 3 A 2 ou (E) 5 A 2 fois 5 A 3 plus 5 A 2 fois 5 A 2 ?

Commençons par identifier les différents événements qui nous donneront l’issue attendue. On pourrait garer deux voitures et trois camions, ou garer deux voitures et deux camions. Et ces événements n’ont aucune issue en commun, ils sont donc incompatibles. Le principe additif pour deux événements stipule que si les événements sont incompatibles, alors le nombre d’issues de ces deux événements réunis est égal à la somme des nombres d’issues distinctes de chaque événement.

Calculons donc le nombre d’issues de chaque événement. On commence par l’événement où on gare deux voitures et trois camions. Et on le divise en deux autres événements qui sont garer deux voitures et garer trois camions. Puisque l’issue d’un événement n’affecte pas le nombre d’issues possibles de l’autre, ce sont des événements indépendants. Plus précisément, si on gare deux voitures à n’importe quelles places de parking, il reste encore trois places de parking pour les camions.

Et on peut donc utiliser le principe fondamental du dénombrement. Le nombre d’issues des deux événements combinés est le produit des nombres d’issues de chaque événement. Et comme l’ordre dans lequel on gare les voitures et les camions est important, nous devons faire appel aux arrangements. Le nombre de façons de classer 𝑟 éléments parmi un total de 𝑛 éléments lorsque l’ordre est important est 𝑛 A 𝑟.

Dans ce cas, le nombre de façons de garer les deux voitures dans les cinq emplacements de parking est donc de 5 A 2. Une fois que l’on a garé les voitures, il ne reste plus que trois places de parking disponibles. Il faut donc ranger ces trois camions dans ces trois places. Ce qui fait 3 A 3 possibilités. Puisque ces événements sont indépendants, le principe fondamental du dénombrement nous dit que le nombre total d’issues est le produit de ces valeurs. Il est donc égal à 5 A 2 fois 3 A 3.

Répétons maintenant ce raisonnement pour deux voitures et deux camions. La première partie est la même. Le nombre d’issues est 5 A 2. On choisit deux places parmi un total de cinq. Mais le nombre de façons de classer les deux camions dans les trois espaces restants est par contre égal à 3 A 2. D’après le principe fondamental du dénombrement, le nombre total d’issues est égal au produit de ces valeurs. Soit 5 A 2 fois 3 A 2.

Maintenant, comme garer deux voitures et trois camions est incompatible avec garer deux voitures et deux camions, le nombre total d’issues, le nombre de façons dont on peut garer deux voitures puis au moins deux camions sur cinq places de parking, est égal à la somme de ces deux expressions. C’est-à-dire 5 A 2 fois 3 A 3 plus 5 A 2 fois 3 A 2. C’est donc la réponse (A).

Récapitulons maintenant les points clés de cette leçon. Dans cette vidéo, nous avons appris que si 𝐴 et 𝐵 sont des événements incompatibles tels que 𝐴 a m issues distinctes et 𝐵 a n issues distinctes, la réunion de A et B a un total de 𝑚 plus 𝑛 issues distinctes. Et ce principe peut être étendu à plus de deux événements s’ils sont incompatibles deux à deux. Nous avons également vu qu’il peut être appliqué en association avec le principe fondamental du dénombrement pour résoudre des problèmes plus complexes.