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Fiche explicative de la leçon : Principes fondamentaux du dénombrement : le principe additif Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment déterminer le nombre de toutes les issues possibles de 2 ou plusieurs évènements combinés en utilisant le principe additif du dénombrement.

Supposons qu’il y a deux restaurants dans un quartier, Pizza Boutique et Soupe Cuisine. Pizza Boutique a 10 différentes pizzas sur leur menu, tandis que Soupe Cuisine a 7 soupes sur leur menu.

On veut trouver le nombre d’options possibles pour le déjeuner si on déjeune dans l’un de ces restaurants. On peut additionner le nombre d’éléments sur les menus des deux restaurants et constater qu’on a 10+7=17 différentes options pour le déjeuner.

Ci-dessus, on a montré qu’il est possible de compter le nombre de différentes options pour le déjeuner des deux restaurants en déterminant la somme des options de chaque restaurant. Cela est vrai car il n’y a pas de repas commun vendu dans les deux restaurants. Généralisons cette approche.

Deux évènements sont incompatibles s’il n’y a pas de résultat commun entre eux. Dans le contexte de notre exemple précédent, les deux événements sont « acheter un déjeuner chez Pizza Boutique » et « acheter un déjeuner chez Soupe Cuisine ». Pizza Boutique ne vend que des pizzas, tandis que Soupe Cuisine ne vend que des soupes. Par conséquent, les deux événements ne peuvent pas avoir une issue commune. Cela signifie que les évènements sont incompatibles. Pour des problèmes de dénombrement de deux évènements incompatibles, on peut utiliser le principe additif.

Théorème : Principe additif

Soient 𝐴 et 𝐵 deux événements incompatibles. S’il y a 𝑚 différentes issues de l’événement 𝐴 et 𝑛 issues de l’évènement 𝐵, alors il y a 𝑚+𝑛 différentes issues de soit 𝐴 ou 𝐵.

Revenons à notre exemple dans lequel nous devons acheter un déjeuner chez Pizza Boutique ou Soupe Cuisine. Il y a 𝑚=10 différentes issues si on achète un déjeuner chez Pizza Boutique, tandis qu’il y a 𝑛=7 différentes issues si on achète un déjeuner chez Soupe Cuisine. Par conséquent, le principe additif stipule qu’il y a 𝑚+𝑛=10+7=17 différentes issues.

Dans de nombreux problèmes de dénombrement, on peut utiliser le principe additif avec d’autres principes de dénombrement. Rappelons les définitions de combinaison et d’arrangements.

Définition : Combinaisons et arrangements

Une combinaison est le nombre de différentes façons de sélectionner 𝑘 objets d’un total de 𝑛 différents objets, où l’ordre des 𝑘 objets n’est pas important. Ce nombre est noté C.

Un arrangement est le nombre de différentes façons d’arranger 𝑘 objets en ordre d’un total de 𝑛 différents objets. Ce nombre est noté 𝐴.

Dans notre premier exemple, nous allons utiliser la combinaison et le principe additif ensemble.

Exemple 1: Dénombrement des issues de deux événements en utilisant le principe additif

Il y a 10 garçons et 6 filles. Quelle est l’expression numérique qui nous permet de calculer le nombre de façons de former un groupe constitué de 3 garçons ou de 2 filles?

  1. CC×
  2. CC+
  3. 𝐴×𝐴
  4. 𝐴+𝐴
  5. CC

Réponse

On rappelle le principe additif pour deux évènements:si deux évènements sont incompatibles, alors le nombre d’issues de l’un ou l’autre des deux évènements est calculé par la somme des nombres d’issues des deux évènements.

Dans cet exemple, les événements sont « former un groupe composé de 3 garçons » et « former un groupe composé de 2 filles ». On note qu’il ne peut y avoir une issue commune aux deux événements, par conséquent, ils sont incompatibles. Ainsi, on peut utiliser le principe additif pour obtenir une réponse si on connait le nombre d’issues des deux évènements.

On doit compter le nombre d’issues des deux évènements. On rappelle que le nombre de différentes façons de sélectionner 𝑘 objets d’un total de 𝑛 différents objets, où l’ordre des 𝑘 objets n’est pas important, est désigné par C.

Tout d’abord, on considère l’événement de la formation d’un groupe composé de 3 garçons. Étant donné qu’on choisit 3 garçons sur 10, et que l’ordre des garçons n’est pas important, le nombre d’issues possibles de cet événement est déterminé par la combinaison C.

Ensuite, on considère la formation d’un groupe composé de 2 filles. Étant donné qu’on choisit 2 filles sur 6, et que l’ordre des filles n’est pas important, le nombre d’issues possibles de cet événement est déterminé par la combinaison C.

Si on utilise le principe additif, le nombre de façons de former un groupe composé de 3 garçons ou 2 filles est CC+.

C’est la réponse B.

Dans l’exemple précédent, nous avons utilisé le principe additif pour deux évènements incompatibles. On peut généraliser le principe additif pour l’utiliser pour plus de deux évènements. Pour ce faire, on doit d’abord comprendre comment la condition d’incompatibilité de deux événements peut être étendue lorsqu’il s’agit de trois événements ou plus. Dans ce cas, il faut que chaque paire d’événements soit incompatible. En d’autres termes, trois évènements ou plus sont deux à deux incompatibles quand aucune issue n’est commune à deux évènements.

Revenons à notre problème du déjeuner. Précédemment, nous avons supposé que notre ville ne possède que deux restaurants:Pizza Boutique, qui propose 10 plats différents, et Soupe Cuisine, qui propose 7 plats différents. Maintenant, un nouveau restaurant, Sandwicherie, a ouvert, avec 5 sandwichs différents au menu. On peut constater qu’il n’y a aucun repas commun à deux restaurants, de sorte que les événements d’acheter un déjeuner dans différents restaurants sont incompatibles. Alors, on a 10+7+5=22 différentes options pour le déjeuner.

De même, on peut étendre le principe additif pour les événements deux à deux incompatibles.

Théorème : Principe additif

Le nombre de différentes issues de l’ensemble d’évènements deux à deux incompatibles est la somme du nombre de différentes issues de chaque évènement.

Dans l’exemple suivant, nous allons appliquer le principe additif à trois évènements deux à deux incompatibles.

Exemple 2: Dénombrement des issues de trois événements à l’aide du principe additif

Quelle est l’expression numérique que nous devons utiliser pour déterminer le nombre de façons dont on peut sélectionner 4 balles de la même couleur parmi 10 balles bleues, 6 balles vertes et 7 balles rouges?On suppose que toutes les balles sont différentes.

  1. CCC××
  2. 𝐴×𝐴×𝐴
  3. 𝐴+𝐴+𝐴
  4. CCC++
  5. CCC×+

Réponse

On remarque qu’il y a 3 évènements qui mènent à la sélection de 4 balles de la même couleur:sélectionner 4 balles bleues, sélectionner 4 balles vertes, et sélectionner 4 balles rouges. Il n’y a pas d’issue commune à deux événements différents, et donc les trois événements sont incompatibles.

On rappelle que le principe additif stipule que le nombre de différentes issues de l’ensemble d’évènements deux à deux incompatibles est la somme du nombre de différentes issues de chaque évènement.

Ainsi, si on connait le nombre d’issues pour chacun des 3 évènements, on peut obtenir la solution en additionnant les trois nombres.

Commençons par trouver le nombre de façons de sélectionner 4 balles bleues. On rappelle que le nombre de différentes façons de sélectionner 𝑘 objets d’un total de 𝑛 différents objets, où l’ordre des 𝑘 objets n’est pas important, est noté C. Étant donné qu’on choisit 4 balles parmi 10 balles bleues, le nombre d’issues de cet événement est C.

Ensuite, on considère le nombre de façons de sélectionner 4 balles vertes. Étant donné qu’on choisit 4 balles parmi 6 balles vertes, le nombre d’issues de cet événement est C.

Enfin, on choisit 4 balles sur un total de 7 balles rouges, et le nombre d’issues différents de cet événement est C.

En utilisant le principe additif, on peut additionner ces nombres pour obtenir le nombre de différentes façons de sélectionner 4 balles de la même couleur. Ainsi, on obtient CCC++.

C’est la réponse D.

On peut également utiliser le principe additif avec le principe fondamental du dénombrement, également connu sous le nom de principe multiplicatif. Alors que le principe additif exige que les événements soient incompatibles, le principe fondamental du dénombrement exige que les événements soient indépendants. On rappelle que deux évènements sont indépendants si une issue spécifique d’un évènement ne change pas le nombre d’issues possibles de l’autre évènement.

Théorème : Principe fondamental du dénombrement

Si on a deux évènements indépendants 𝐴 et 𝐵 de sorte que le nombre d’issues possibles de l’évènement 𝐴 est 𝑚 et le nombre d’issues possibles de l’évènement 𝐵 est 𝑛, le nombre total de différentes issues possibles de ces deux évènements ensemble est le produit 𝑚×𝑛.

Considérons un exemple dans lequel nous utilisons le principe additif avec le principe fondamental du dénombrement.

Exemple 3: Dénombrement des issues des événements à l’aide du principe additif et du principe fondamental du dénombrement

Une tasse contient 10 billes bleues, 6 billes vertes et 7 billes rouges. Toutes les billes dans la tasse sont différentes. Combien de façons peut-on choisir 4 billes dans la tasse pour qu’exactement 3 d’entre elles soient de la même couleur?

  1. 13×𝐴+17×𝐴+16×𝐴
  2. 𝐴+𝐴+𝐴
  3. 13×+17×+16×CCC
  4. CCC++
  5. CCC××

Réponse

On note qu’il y a trois évènements différents qui mènent au résultat décrit:

  • sélectionner 4 billes de sorte que 3 soient bleues;
  • sélectionner 4 billes de sorte que 3 soient vertes;
  • sélectionner 4 billes de sorte que 3 soient rouges.

On peut constater qu’aucune issue n’est commune à deux événements, et donc ces événements sont incompatibles.

On rappelle le principe additif:le nombre de différentes issues de l’ensemble d’évènements deux à deux incompatibles est la somme du nombre de différentes issues de chaque évènement.

Considérons le nombre d’issues dans chaque événement, en commençant par l’événement où on sélectionne exactement 3 billes bleues. Cet événement peut être divisé en deux événements:« sélectionner 3 billes bleues » et « sélectionner 1 bille qui n’est pas bleue ». Puisqu’une issue spécifique d’un événement n’affecte pas le nombre d’issues possibles de l’autre événement, il s’agit d’événements indépendants. Selon le principe fondamental du dénombrement, le nombre d’issues des deux évènements ensemble est le produit du nombre d’issues des deux évènements.

Puisqu’il y a 6+7=13 billes qui ne sont pas bleues, il y a 13 différentes issues de la sélection de 1 bille qui n’est pas bleu. Pour trouver le nombre d’issues pour la sélection de 3 billes bleues, rappelons que le nombre de différentes façons de sélectionner 𝑘 objets d’un total de 𝑛 objets distincts, où l’ordre des 𝑘 objets n’est pas important, est noté C. Par conséquent, il y a C façons de choisir 3 billes parmi 10 billes bleues. En utilisant le principe fondamental du dénombrement, le nombre de façons de sélectionner 4 billes de sorte que 3 d’entre elles soient bleues est 13×.C

On peut compter le nombre d’issues des deux autres évènements de la même manière. Ensuite, on considère le nombre de façons de sélectionner 4 billes de sorte que 3 d’entre elles soient vertes. On divise cet événement en deux événements indépendants:« sélectionner 3 billes vertes » et « sélectionner 1 bille qui n’est pas verte ». Il y a C différentes façons de choisir 3 billes parmi 6 billes vertes, et il y a 10+7=17 différentes billes qui ne sont pas vertes. Selon le principe fondamental du dénombrement, le nombre de façons de sélectionner 4 billes pour que 3 soient vertes est:17×.C

Enfin, on compte le nombre de différentes façons de sélectionner 4 billes de sorte que 3 d’entre elles soient rouges. Il y a C différentes façons de choisir 3 billes parmi 7 billes rouges, et 10+6=16 billes qui ne sont pas rouges. Selon le principe fondamental du dénombrement, le nombre de façons de sélectionner 4 billes pour que 3 d’entre elles soient rouges est:16×.C

Ainsi, si on utilise le principe additif, le nombre de différentes façons de choisir 4 billes dans la tasse de sorte que 3 d’entre elles soient de la même couleur est 13×+17×+16×.CCC

Cela nous mène à la réponse C.

Considérons un autre exemple dans lequel le principe additif et le principe fondamental du dénombrement sont utilisés ensemble.

Exemple 4: Dénombrement des issues des événement à l’aide du principe additif et du principe fondamental du dénombrement

De combien de façons peut-on former un groupe de 6 personnes à partir de 5 enseignants et 10 parents, de sorte que le groupe ait au moins un parent mais moins de quatre enseignants?

  1. CCCCCCCC×+×+×+×
  2. CCCCCC+++++
  3. CCCCCC×××××
  4. CCCCCCCC+++++++
  5. CCCCCC×+×+×

Réponse

On note qu’il y a trois évènements différents qui mènent au résultat décrit:

  • former un groupe avec 1 enseignant et 5 parents;
  • former un groupe avec 2 enseignants et 4 parents;
  • former un groupe avec 3 enseignants et 3 parents.

On peut constater qu’aucune issue n’est commune à deux événements, et donc ces événements sont deux à deux incompatibles.

On rappelle le principe additif:le nombre de différentes issues de l’ensemble d’évènements deux à deux incompatibles est la somme du nombre de différentes issues de chaque évènement

Considérons le nombre d’issues de chaque événement, en commençant par l’événement où on forme un groupe avec 3 enseignants et 3 parents. Cet événement peut être divisé en deux événements:« former un groupe avec 3 enseignants » et « former un groupe avec 3 parents ». Puisqu’une issue spécifique d’un événement n’affecte pas le nombre d’issues possibles de l’autre événement, il s’agit d’événements indépendants. Selon le principe fondamental du dénombrement, le nombre d’issues des deux évènements est le produit du nombre d’issues de ces deux évènements.

Rappelons que le nombre de différentes façons de sélectionner 𝑘 objets d’un total de 𝑛 objets, où l’ordre des 𝑘 objets n’est pas important, est noté C. Par conséquent, il y a C façons de former un groupe de 3 à partir de 5 enseignants, et C façons de former un groupe de 3 à partir de 10 parents. Si on utilise le principe fondamental du dénombrement, le nombre de façons de former un groupe avec 3 enseignants et 3 parents est de CC×.

On peut compter le nombre d’issues des deux autres évènements de la même manière. Ensuite, on considère le nombre de façons de former un groupe avec 2 enseignants et 4 parents. Il y a C différentes façons de former un groupe de 2 à partir de 5 enseignants, et C différentes façons de former un groupe de 4 à partir de 10 parents. Par le principe fondamental du dénombrement, le nombre de façons de former un groupe avec 2 enseignants et 4 parents est égal à CC×.

Enfin, on compte le nombre de différentes façons de former un groupe avec 1 enseignant et 5 parents. Il y a C différentes façons de choisir 1 parmi 5 enseignants, et C différentes façons de former un groupe de 5 à partir de 10 parents. Selon le principe fondamental du dénombrement, le nombre de façons de former un groupe de 1 enseignant et 5 parents est égal à CC×.

Ainsi, si on utilise le principe additif, le nombre de différentes façons de former un groupe de 6 personnes à partir de 5 enseignants et 10 parents de sorte que le groupe ait au moins un enseignant mais moins de quatre enseignants est CCCCCC×+×+×.

C’est la réponse E.

Dans les exemples précédents, nous avons considéré des problèmes de dénombrement dans lesquels nous avons utilisé les combinaisons et le principe additif. Dans notre dernier exemple, nous allons considérer un problème de dénombrement dans lequel nous allons utiliser des arrangements avec le principe additif et le principe fondamental du dénombrement.

Exemple 5: Dénombrement des issues d’événements à l’aide du principe additif et du principe fondamental du dénombrement

Écrivez l’expression numérique qu’on utilise pour déterminer le nombre de façons de garer 2 voitures, puis au moins 2 camions dans 5 places de parking consécutives.

  1. 𝐴×𝐴+𝐴×𝐴
  2. CCCC×+×
  3. 𝐴+𝐴+𝐴+𝐴
  4. C+𝐴+𝐴+𝐴
  5. 𝐴×𝐴+𝐴×𝐴

Réponse

On note qu’il y a deux évènements différents qui mènent au résultat décrit:

  • garer 2 voitures et 3 camions;
  • garer 2 voitures et 2 camions.

On peut constater que les deux évènements n’ont pas d’issue commune, donc ces évènements sont incompatibles.

On rappelle le principe additif pour deux évènements:si deux évènements sont incompatibles, alors le nombre d’issues des deux évènements est la somme du nombre de différentes issues de chaque évènement.

Considérons le nombre d’issues dans chaque événement, en commençant par l’événement où on gare 2 voitures et 3 camions. Cet événement peut être divisé en deux événements:« garer 2 voitures » et « garer 3 camions ». Une issue spécifique d’un événement n’affecte pas le nombre d’issues possibles de l’autre événement. Plus précisément, si on gare 2 voitures à deux places de parking, il reste encore 3 places pour garer les camions. Par conséquent, ce sont des événements indépendants. Le principe fondamental du dénombrement nous indique que le nombre d’issues des deux évènements indépendants est le produit du nombre d’issues de ces deux évènements.

Rappelons que le nombre de différentes façons d’arranger 𝑘 objets en ordre d’un total de 𝑛 objets différents est désigné par 𝐴 , qui est l’arrangement. Considérons le problème du dénombrement du nombre de différentes façons de garer 2 voitures dans 5 places de parking dans le contexte des arrangements. Pour ce contexte, on peut noter l’une des voitures « voiture 1 » et l’autre « voiture 2 ». Ainsi, l’évènement de garer ces deux voitures dans deux des 5 places disponibles est équivalent à l’évènement de choisir 2 des 5 places de parking disponibles et de les classer dans l’ordre « voiture 1 » et « voiture 2 ». Par conséquent, le nombre de différentes façons de garer 2 voitures dans 5 places de parking disponibles est 𝐴.

Après avoir garé 2 voitures, il reste 3 places de parking disponibles. Des arguments similaires à ceux donnés précédemment nous donnent que le nombre de différentes façons de garer 3 camions dans 3 places de parking disponibles est;𝐴. Ainsi, selon le principe fondamental du dénombrement, le nombre de différentes façons de garer 2 voitures et 3 camions dans 5 places de parking consécutives est égal à 𝐴×𝐴.

Ensuite, on considère le nombre de différentes façons de garer 2 voitures et 2 camions. On sait qu’il y a 𝐴 différentes façons de garer 2 voitures dans 5 places de parking disponibles et 𝐴 différentes façons de garer 2 camions dans les 3 places de parking restantes. Donc, le principe fondamental du dénombrement nous indique que le nombre de différentes façons de garer 2 voitures et 3 camions dans 5 places de parking consécutives est de 𝐴×𝐴.

Enfin, en utilisant le principe additif, le nombre de différentes façons de garer 2 voitures et au moins 2 camions dans 5 places de parking consécutives est égal à 𝐴×𝐴+𝐴×𝐴.

C’est la réponse A.

Résumons quelques concepts importants de cette fiche explicative.

Points clés

  • Soient 𝐴 et 𝐵 des événements incompatibles. S’il y a 𝑚 différentes issues pour l’événement 𝐴 et 𝑛 issues pour l’évènement 𝐵, alors il y a 𝑚+𝑛 différentes issues de soit 𝐴 ou 𝐵.
  • Le nombre de différentes issues de l’ensemble d’évènements deux à deux incompatibles est la somme du nombre de différentes issues de chaque évènement.
  • On peut appliquer le principe additif avec le principe fondamental du dénombrement pour résoudre des problèmes plus compliqués qui contiennent des combinaisons et des arrangements.

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