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Déterminez l’équation de la normale à la courbe d’équation 𝑦 au cube est égal à six 𝑥 au carré moins six 𝑥 plus un en 𝑥 est égal à un.
Nous devons trouver l’équation de la droite normale à une courbe lorsque 𝑥 est égal à un. Pour commencer, comme la normale est une droite, cette équation prendra la forme d’une droite. Nous rappelons que cela est de la forme 𝑦 moins 𝑦 un est égal à 𝑚 fois 𝑥 moins 𝑥 un où notre droite passe par le point 𝑥 un, 𝑦 un et a une pente de 𝑚. Donc, pour trouver l’équation de cette normale, nous devons trouver deux choses. Tout d’abord, nous devons trouver un point par lequel passe notre droite. Et nous devons également trouver sa pente.
Commençons par trouver un point traversé par notre droite. La question nous demande de trouver la normale à la courbe au point où 𝑥 égale un. Cela nous indique que notre droite normale doit passer par le point sur notre courbe lorsque 𝑥 est égal à un. Donc, nous savons que la valeur de 𝑥 un sera un. Et nous pouvons trouver la valeur de 𝑦 un en substituant 𝑥 est égal à un dans notre équation pour la courbe. Ce faisant, nous obtenons 𝑦 un au cube est égal à six fois un carré moins six fois un plus un.
Et nous pouvons calculer cela simplement. Le membre droit de notre équation se simplifie pour nous en donner un. Ensuite, nous pouvons simplement résoudre pour trouver 𝑦 un en prenant les racines cubiques des deux membres de cette équation. Nous avons que 𝑦 un est la racine cubique de un, ce qui est bien sûr juste égal à un. Nous avons donc trouvé le point de passage de notre droite normale. Il ne reste plus qu’à trouver la valeur de sa pente.
Pour ce faire, nous devons rappeler que la droite normale à une courbe en un point sera perpendiculaire à la droite tangente de la même courbe au même point. Donc, la première chose que nous voulons faire est de trouver la pente de la tangente à notre courbe lorsque 𝑥 est égal à un. Cependant, nous pouvons voir que nous avons un problème. Notre courbe n’est pas donnée comme 𝑦 fonction de 𝑥. Au lieu de cela, nous avons 𝑦 au cube en fonction de 𝑥.
Heureusement, nous savons que la fonction cubique a une réciproque pour toute valeur réelle. Nous pouvons simplement prendre la racine cubique des deux membres. Nous obtenons 𝑦 est égal à la racine cubique de six 𝑥 au carré moins six 𝑥 plus un. Et nous voulons l’utiliser pour trouver la pente de la tangente à notre courbe. Nous devons trouver une expression pour d𝑦 sur d𝑥. Cela signifie que nous devons dériver la racine cubique de six 𝑥 au carré moins six 𝑥 plus un.
Et il y a plusieurs façons de le faire. Par exemple, nous pourrions le faire en utilisant la règle de dérivation en chaîne. Cependant, comme notre fonction extérieure est une fonction de puissance, nous pouvons utiliser la règle générale de la puissance. Les deux méthodes fonctionneront. C’est à vous de choisir. Nous allons le faire en utilisant la règle générale de puissance.
Nous rappelons que la règle générale de puissance nous dit que pour la fonction dérivable 𝑔 de 𝑥 pour toute constante réelle 𝑛, la dérivée de 𝑔 de 𝑥 le tout élevé à la puissance n-ième par rapport à 𝑥 est égale à 𝑛 fois 𝑔 prime de 𝑥 multipliée par 𝑔 de 𝑥 le tout élevé à la puissance 𝑛 moins un. Et nous pouvons voir que cela s’applique dans ce cas. Notre exposant 𝑛 sera égal à un tiers, et notre fonction 𝑔 de 𝑥 sera le polynôme de second degré six 𝑥 au carré moins six 𝑥 plus un.
Ainsi, nous trouverons notre expression pour d𝑦 sur d𝑥 en utilisant la règle de puissance générale. Nous devons multiplier par 𝑛, qui est un tiers. Ensuite, nous devons dériver notre fonction interne. Nous pouvons, bien sûr, faire ceci terme par terme en utilisant la règle de dérivation d’une puissance. Nous voulons multiplier par notre exposant de 𝑥 et réduire cet exposant par un. Nous obtenons 12𝑥 moins six.
Enfin, nous multiplions simplement cela par notre fonction d’origine. Cependant, nous réduisons l’exposant d’une unité. Ainsi, nous avons d𝑦 sur d𝑥 est un tiers fois 12𝑥 moins six multiplié par six 𝑥 au carré moins six 𝑥 plus un tous élevés à la puissance un tiers moins un. Et nous pouvons simplifier cette expression légèrement pour obtenir d𝑦 sur d𝑥 est égal à quatre 𝑥 moins deux multiplié par six 𝑥 au carré moins six 𝑥 plus un le tout élevé à la puissance moins deux sur trois.
Maintenant, nous sommes prêts à trouver la pente de notre tangente à la courbe lorsque 𝑥 est égal à un. Nous substituons simplement 𝑥 est égal à un dans notre expression pour d𝑦 sur d𝑥. Ce faisant, nous obtenons quatre fois un moins deux multiplié par six fois un au carré moins six fois un plus un le tout élevé à la puissance moins deux sur trois. Et nous pouvons simplifier cette expression. Dans notre premier ensemble de parenthèses, quatre fois un moins deux est égal à deux. De même, dans notre deuxième ensemble de parenthèses, six fois un carré moins six fois un plus un est égal à un.
Ainsi, la pente de notre tangente lorsque 𝑥 est égal à un est donnée par deux fois un à la puissance moins deux sur trois. Mais un élevé à n’importe quel exposant est égal à un. Donc, cela se simplifie pour nous donner deux fois un, ce qui est bien sûr égal à deux. Nous avons donc trouvé la pente de notre droite tangente à ce stade. Mais rappelez-vous, nous ne cherchons pas la pente de notre droite tangente ; nous recherchons la pente de la droite normale.
Par conséquent, notre normale est perpendiculaire à notre droite de pente deux. Et pour trouver la pente d’une droite perpendiculaire à cela, il suffit de prendre l’inverse négative. En d’autres termes, nous devons diviser moins un par deux pour trouver la pente de notre droite normale. 𝑚 est égal à moins un demi.
Maintenant que nous connaissons un point que notre droite normale traverse et sa pente, nous pouvons substituer ces valeurs dans l’équation de notre droite pour trouver l’équation de notre normale à la courbe en ce point. En substituant 𝑥 un est égal à un, 𝑦 un est égal à un et 𝑚 est égal à moins un demi dans notre équation pour notre droite, nous obtenons 𝑦 moins un est égal à moins un demi multiplié par 𝑥 moins un. Et nous pouvons simplifier cette expression. Nous allons distribuer moins un demi sur nos parenthèses. Cela nous donne 𝑦 moins un est égal à moins 𝑥 sur deux plus un demi.
Et nous ferons encore une chose pour simplifier cette expression. Nous écrirons tous nos termes du même membre de l’équation. En faisant cela, puis en simplifiant, nous obtenons 𝑥 sur deux plus 𝑦 moins trois sur deux est égal à zéro, qui est notre réponse finale. Par conséquent, nous avons pu trouver l’équation de la normale à la courbe 𝑦 au cube est égal à six 𝑥 au carré moins six 𝑥 plus un à 𝑥 est égal à un. Elle a l’équation 𝑥 sur deux plus 𝑦 moins trois sur deux est égal à zéro.
