Vidéo de la leçon : Tangentes et normales à la courbe représentative d’une fonction Mathématiques

Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à trouver les équations des tangentes et des normales à des courbes d’équations implicites, paramétriques ou trigonométriques à l’aide de la dérivation. Commençons par rappeler les bases sur les tangentes et les normales. Pour un point donné sur une courbe, le coefficient directeur de la tangente à la courbe est égal à la dérivée de la fonction en ce point. Sa dérivée première peut être exprimée par d𝑦 sur d𝑥, 𝑓 prime de 𝑥 ou autre, selon la forme de l’équation de la courbe. Nous pouvons obtenir l’équation de la tangente à une courbe en un point donné en substituant les coordonnées de ce point, que nous appellerons 𝑥 un, 𝑦 un, et le coefficient directeur de la tangente, que nous appellerons 𝑚, dans l’équation point-pente de la droite : 𝑦 moins 𝑦 un égale 𝑚 𝑥 moins 𝑥 un.

La méthode pour déterminer l’expression de la fonction du coefficient directeur de la tangente, et donc calculer sa valeur en un point donné, dépend de la façon dont la courbe est définie. Au cours de cette vidéo, nous allons voir comment le faire pour des courbes d’équations implicites, paramétriques ou trigonométriques. Mais si nous souhaitons plutôt déterminer l’équation de la normale à une courbe en un point donné, nous rappelons que la normale est perpendiculaire à la tangente en ce point. Nous rappelons également que si deux droites sont perpendiculaires, alors le produit de leurs coefficients directeurs est égal à moins un. Ou, en d’autres termes, leurs coefficients directeurs sont les inverses opposés l’un de l’autre.

Nous pouvons donc déterminer le coefficient directeur de la normale à une courbe en un point donné en calculant l’inverse opposé du coefficient directeur de la tangente en ce point. Nous procédons ensuite de la même manière en substituant ce coefficient directeur et les coordonnées du point auquel on recherche la normale dans l’équation point-pente de la droite. Commençons par un exemple dans lequel nous devons déterminer l’équation de la normale à une courbe définie implicitement.

Déterminez l’équation de la normale à la courbe trois 𝑦 carré moins neuf 𝑦𝑥 plus sept 𝑥 carré égale un au point moins un, moins un.

La courbe donnée est définie implicitement. C’est une fonction de 𝑥 et de 𝑦 et elle ne peut pas être facilement réarrangée en une forme où 𝑦 est exprimé en fonction de 𝑥. Pour trouver l’équation de la normale à cette courbe, nous allons utiliser l’équation point-pente d’une droite. Elle est de la forme 𝑦 moins 𝑦 un égale 𝑚 𝑥 moins 𝑥 un. Nous connaissons les coordonnées d’un point sur la normale, le point moins un, moins un. Mais nous devons calculer son coefficient directeur. Nous rappelons que la normale à une courbe est perpendiculaire à la tangente à la courbe en ce point. Nous commençons donc par calculer le coefficient directeur de la tangente. Et nous devons pour cela trouver la dérivée de la fonction. Rappelons maintenant comment dériver une fonction définie implicitement.

La dérivation implicite est une application de la formule de la dérivée d’une composée. On rappelle que si 𝑦 est une fonction de 𝑢 et 𝑢 est une fonction de 𝑥, alors la formule de la dérivée d’une composée stipule que d𝑦 sur d𝑥 est égal à d𝑦 sur d𝑢 fois d𝑢 sur d𝑥. On calcule donc la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥 en multipliant la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑢 par la dérivée de 𝑢 par rapport à 𝑥. Voyons comment nous pouvons appliquer cela à l’équation de notre courbe. Nous dérivons terme par terme, en commençant par le premier terme trois 𝑦 au carré. Comme trois 𝑦 carré est une fonction de 𝑦 et que l’on peut considérer 𝑦 comme une fonction de 𝑥, alors d’après la formule de la dérivée d’une composée, la dérivée par rapport à 𝑥 de trois 𝑦 carré est égale à la dérivée par rapport à 𝑦 de trois 𝑦 carré fois d𝑦 sur d𝑥.

Selon la formule de la dérivée d’une puissance, la dérivée par rapport à 𝑦 de trois 𝑦 carré est simplement six 𝑦. La dérivée par rapport à 𝑥 de trois 𝑦 carré est donc égale à six 𝑦 d𝑦 sur d𝑥. On a ainsi dérivé implicitement le premier terme de l’équation. Dériver le troisième terme est simple car il est uniquement en fonction de 𝑥. Selon la formule de la dérivée d’une puissance, la dérivée par rapport à 𝑥 de sept 𝑥 carré est 14𝑥. Dériver le terme du membre droit de l’équation est facile car il s’agit d’une constante. Et on sait que la dérivée de toute constante par rapport à 𝑥 est simplement égale à zéro.

Il nous reste un terme à dériver, moins neuf 𝑦𝑥. Et il est un peu plus complexe car c’est un produit impliquant à la fois 𝑦 et 𝑥. Nous devons donc utiliser la dérivation implicite. Commençons par rappeler la formule de la dérivée d’un produit. Elle stipule que pour deux fonctions dérivables 𝑢 et 𝑣, la dérivée par rapport à 𝑥 de leur produit 𝑢𝑣 est égale à 𝑢 fois d𝑣 sur d𝑥 plus 𝑣 fois d𝑢 sur d𝑥. On considère alors 𝑢 égal moins neuf 𝑦 et 𝑣 égal 𝑥. On doit ensuite trouver leurs dérivées individuelles par rapport à 𝑥. d𝑣 sur d𝑥 est simple car 𝑣 est une fonction de 𝑥 uniquement. Comme 𝑣 est égal à 𝑥, d𝑣 sur d𝑥 égale un.

Pour d𝑢 sur d𝑥 cependant, comme 𝑢 est une fonction de 𝑦, on doit à nouveau utiliser la dérivation implicite. Selon la formule de la dérivée d’une composée, la dérivée par rapport à 𝑥 de moins neuf 𝑦 est égale à la dérivée par rapport à 𝑦 de moins neuf 𝑦 fois d𝑦 sur d𝑥. La dérivée par rapport à 𝑦 de moins neuf 𝑦 est simplement moins neuf. On a donc d𝑢 sur d𝑥 égale moins neuf d𝑦 sur d𝑥. On substitue ensuite chacune de ces expressions dans la formule de la dérivée d’un produit. La dérivée par rapport à 𝑥 de moins neuf 𝑦𝑥 est égale à 𝑢 fois d𝑣 sur d𝑥. Soit moins neuf 𝑦 fois un. À laquelle on ajoute 𝑣 fois d𝑢 sur d𝑥. Soit 𝑥 fois moins neuf d𝑦 sur d𝑥. Et cela se simplifie par moins neuf 𝑦 moins neuf 𝑥 d𝑦 sur d𝑥.

Nous avons donc maintenant dérivé la totalité de l’équation, obtenant six 𝑦 d𝑦 sur d𝑥 moins neuf 𝑦 moins neuf 𝑥 d𝑦 sur d𝑥 plus 14𝑥 égale zéro. Nous souhaitons cependant évaluer la fonction du coefficient directeur en un point particulier. Nous devons donc d’abord réorganiser cette équation pour obtenir une expression explicite de d𝑦 sur d𝑥. En d’autres termes, nous devons isoler d𝑦 sur d𝑥. On commence par regrouper les termes en fonction de d𝑦 sur d𝑥 sur un membre de l’équation et les autres termes sur l’autre membre. On a donc six 𝑦 d𝑦 sur d𝑥 moins neuf 𝑥 d𝑦 sur d𝑥 égale neuf 𝑦 moins 14𝑥. On peut alors factoriser le membre gauche de l’équation pour obtenir six 𝑦 moins neuf 𝑥 fois d𝑦 sur d𝑥 égale neuf 𝑦 moins 14𝑥.

Et pour trouver une expression de d𝑦 sur d𝑥 en fonction de 𝑥 et 𝑦, on divise les deux membres de l’équation par six 𝑦 moins neuf 𝑥. Nous avons donc d𝑦 sur d𝑥 égale neuf 𝑦 moins 14𝑥 sur six 𝑦 moins neuf 𝑥. Et c’est une expression générale de la fonction du coefficient directeur de la tangente à la courbe. Mais nous devons évaluer le coefficient directeur en un point particulier, le point moins un, moins un. Nous devons donc substituer la valeur moins un à 𝑥 et 𝑦. On obtient moins neuf plus 14 au numérateur et moins six plus neuf au dénominateur, ce qui se simplifie par cinq sur trois.

Rappelez-vous cependant qu’il s’agit du coefficient directeur de la tangente à la courbe au point moins un, moins un, alors que nous cherchons à trouver l’équation de la normale. Mais nous savons que le coefficient directeur de la normale est l’inverse opposé du coefficient directeur de la tangente. Le coefficient directeur de la normale est donc égal à moins trois sur 5. On inverse la fraction et on change le signe.

Comme nous connaissons maintenant les coordonnées d’un point de la normale et son coefficient directeur, nous pouvons trouver son équation en utilisant la forme point-pente de l’équation d’une droite. 𝑦 moins moins un égale moins trois sur 5 𝑥 moins moins un. Et cela donne bien sûr 𝑦 plus un égale moins trois sur 5 𝑥 plus un. On peut multiplier par cinq et distribuer les parenthèses du membre droit pour obtenir cinq 𝑦 plus cinq égale moins trois 𝑥 moins trois. Et on termine par regrouper tous les termes sur le membre gauche de l’équation. En utilisant la dérivation implicite, nous avons donc trouvé que l’équation de la normale à la courbe au point moins un, moins un est cinq 𝑦 plus trois 𝑥 plus huit égale zéro.

Étudions maintenant un exemple dans lequel nous devons déterminer l’équation de la tangente à une courbe définie par des équations paramétriques.

Déterminez l’équation de la tangente à la courbe 𝑥 égale 𝑡 au cube plus un, 𝑦 égale 𝑡 puissance quatre plus 𝑡 au point correspondant à la valeur 𝑡 égale moins un.

Les équations de cette courbe sont données sous forme paramétrique. 𝑥 et 𝑦 sont tous les deux exprimés en fonction d’une troisième variable 𝑡. Nous pourrions écrire 𝑥 égale une fonction 𝑓 de 𝑡 et 𝑦 égale une autre fonction 𝑔 de 𝑡 si nous le souhaitions. Pour déterminer l’équation de la tangente, nous pouvons utiliser la forme point-pente de l’équation d’une droite. Nous avons alors besoin de deux informations: les coordonnées d’un point situé sur la tangente et son coefficient directeur. Commençons par trouver les coordonnées du point sur la tangente. On nous dit que ce point correspond à 𝑡 égale moins un. Nous pouvons donc trouver ses coordonnées en substituant 𝑡 égale moins un dans les équations paramétriques de 𝑥 et 𝑦.

Lorsque 𝑡 égale moins un, 𝑥 égale moins un au cube plus un, soit moins un plus un, ce qui est égal à zéro. Et 𝑦 égale moins un puissance quatre plus moins un. Cela fait un moins un, ce qui est aussi égal à zéro. Nous savons donc maintenant que la tangente que nous recherchons est la tangente à l’origine, le point zéro, zéro.

Nous devons ensuite déterminer le coefficient directeur de la tangente, ce que nous pouvons faire en utilisant la dérivation paramétrique pour trouver la dérivée de la courbe en ce point. On rappelle que si 𝑥 et 𝑦 sont chacun des fonctions d’un troisième paramètre 𝑡, alors d𝑦 sur d𝑥 est égal à d𝑦 sur d𝑡 sur d𝑥 sur d𝑡. On doit alors trouver les dérivées individuelles de 𝑥 et 𝑦 par rapport à 𝑡, ce que l’on peut faire en utilisant la formule de la dérivée d’une puissance. d𝑥 sur d𝑡 égale trois 𝑡 carré et d𝑦 sur d𝑡 égale quatre 𝑡 au cube plus un. En substituant chacune de ces expressions dans la formule de d𝑦 sur d𝑥, on obtient d𝑦 sur d𝑥 égale quatre 𝑡 au cube plus un sur trois 𝑡 au carré. Cette expression est bien sûr en fonction du paramètre 𝑡.

Pour trouver le coefficient directeur au point où 𝑡 est égal à moins un, on substitue 𝑡 égale moins un dans l’expression de d𝑦 sur d𝑥. On obtient moins quatre plus un sur trois fois un. Ce qui fait moins trois sur trois, soit moins un. Et nous trouvons donc que le coefficient directeur de cette tangente est égal à moins un. Nous savons maintenant que cette tangente passe par l’origine et a un coefficient directeur de moins un. Nous pouvons passer par l’étape de substitution de ces valeurs dans la forme point-pente de l’équation d’une droite si nous le souhaitons. Ou nous pouvons peut-être reconnaître l’équation de cette tangente. Il s’agit de 𝑦 égale moins 𝑥.

Dans le dernier exemple, nous devons déterminer l’équation de la normale à une courbe dont la définition implique des fonctions trigonométriques et trigonométriques inverse.

Déterminez l’équation de la normale à la courbe 𝑦 égale huit cosinus de 𝑥 moins trois sécante de 𝑥 en 𝑥 égale 𝜋 sur trois.

Pour trouver l’équation de la normale à n’importe quelle courbe, nous devons connaître les coordonnées d’un point situé sur la normale et son coefficient directeur. On nous demande la normale au point où 𝑥 est égal à 𝜋 sur trois. Nous pouvons trouver la valeur de y de ce point en substituant 𝑥 égale 𝜋 sur trois dans l’équation de la courbe. cos de 𝜋 sur trois égale un sur 2, donc sécante de 𝜋 sur trois égale deux. On obtient huit fois un sur 2 moins trois fois deux. Cela fait quatre moins six, ce qui est égal à moins deux. Les coordonnées du point auquel nous recherchons l’équation de la normale sont donc 𝜋 sur trois, moins deux.

Nous devons ensuite trouver le coefficient directeur de la normale. On rappelle que la normale à une courbe en un point est perpendiculaire à la tangente en ce même point. Et que leurs coefficients directeurs sont donc les inverses opposés l’un de l’autre. Le coefficient directeur de la tangente est égal à la dérivée de la courbe en ce point. Nous pouvons donc utiliser la dérivation pour le déterminer. Nous allons pour cela rappeler deux formules de dérivation des fonctions trigonométriques. Elles ne sont valables que pour des angles 𝑥 mesurés en radians. Tout d’abord, la dérivée par rapport à 𝑥 de cosinus 𝑥 est moins sinus 𝑥. De plus, la dérivée par rapport à 𝑥 de sécante de 𝑥 est sécante de 𝑥 fois tangente 𝑥. Vous devriez être familier avec les dérivées des trois fonctions trigonométriques sinus, cosinus et tangentes ainsi qu’avec celles de leurs inverses cosécante, sécante et cotangente.

En appliquant ces résultats, on obtient d𝑦 sur d𝑥 égale huit fois moins sin 𝑥 moins trois fois sec 𝑥 tan 𝑥. Nous avons donc la fonction du coefficient directeur de la tangente à la courbe. Nous devons l’évaluer au point où 𝑥 est égal à 𝜋 sur trois. Cela donne moins huit sin de 𝜋 sur trois moins trois sec de 𝜋 sur trois fois tan de 𝜋 sur trois. En l’évaluant sur une calculatrice ou en se rappelant les valeurs connues des fonctions trigonométriques, on obtient moins huit fois racine carrée de trois sur deux moins trois fois deux fois racine carrée de trois. Cela fait moins quatre racines carrées de trois moins six racine carrée de trois, ce qui se simplifie par moins 10 racine carrée de trois.

Rappelez-vous cependant qu’il s’agit du coefficient directeur de la tangente au point où 𝑥 égale 𝜋 sur trois. Le coefficient directeur de la normale est égal à son inverse opposé. On peut annuler les signes négatifs et multiplier le numérateur et le dénominateur par racine carrée de trois afin d’obtenir un entier au dénominateur. Nous trouvons donc que le coefficient directeur de la normale est racine carrée de trois sur 30.

Nous pouvons enfin formuler l’équation de la normale en substituant les coordonnées du point et le coefficient directeur que nous avons calculés dans la forme point-pente de l’équation d’une droite. On a 𝑦 moins moins deux égale racine carrée de trois sur 30 fois 𝑥 moins 𝜋 sur trois. En simplifiant à gauche puis en distribuant les parenthèses à droite, on obtient 𝑦 plus deux égale racine carrée de trois 𝑥 sur 30 moins racine carrée de trois 𝜋 sur 90. On regroupe enfin tous les termes sur un même membre de l’équation. Et nous concluons que l’équation de la normale à la courbe au point où 𝑥 est égal à 𝜋 sur trois est 𝑦 moins racine carrée de trois 𝑥 sur 30 plus racine carrée de trois 𝜋 sur 90 plus deux égale zéro.

Résumons maintenant les points clés de cette vidéo. Nous avons commencé par rappeler les bases sur les tangentes et les normales. Le coefficient directeur de la tangente à une courbe en un point donné est égal à la dérivée de la courbe en ce point. La normale est perpendiculaire à la tangente, et le produit de leurs coefficients directeurs est égal à moins un, ce qui signifie que leurs coefficients directeurs sont les inverses opposés l’un de l’autre. Nous pouvons trouver la fonction du coefficient directeur de la tangente à une courbe à l’aide de la dérivation. Et la méthode que nous utilisons dépend de la définition de la courbe. Pour une courbe définie implicitement, nous utilisons la dérivation implicite, qui est une application de la formule de la dérivée d’une composée. Si 𝑦 est une fonction de 𝑢 et 𝑢 est une fonction de 𝑥, alors d𝑦 sur d𝑥 égale d𝑦 sur d𝑢 fois d𝑢 sur d𝑥.

Pour une courbe définie par des équations paramétriques en fonction de 𝑡, d𝑦 sur d𝑥 égale d𝑦 sur d𝑡 divisé par d𝑥 sur d𝑡. Nous devons connaître les dérivées des fonctions trigonométriques où l’argument est donné en radians. La dérivée par rapport à 𝑥 de sinus 𝑥 est cosinus 𝑥. La dérivée par rapport à 𝑥 de cosinus 𝑥 est moins sinus 𝑥. Et la dérivée par rapport à 𝑥 de tangente 𝑥 est sécante carré de 𝑥. Ainsi que les formules des dérivées des trois fonctions trigonométriques inverses. Ces formules et ces méthodes nous permettent de déterminer les équations des tangentes et des normales aux courbes représentatives de fonctions plus avancées.